精选圆锥曲线专项训练

精选圆锥曲线专项训练精选圆锥曲线专项训练 一 一 填空题填空题 1 椭圆的中心在原点 有一个焦点 它的离心率是方程的一个F 0 1 2520 2 xx 根 椭圆的方程是 2 若椭圆则实数 k 的值是 x k y e 22 89 1 1 2 的离心率 3 过椭圆作直线交椭圆于 A B 二点 F2是此椭圆的另一焦点 则xy F 22 1 3625 1 的焦点 的周长为 ABF2 4 椭圆上有一点 P 到两个焦点的连线互相垂直 则 P 点的坐标是3721 22 xy 5 抛物线上一点 M 到准线的距离为 则点 M 到抛物线顶点的距离是 29 2 yx 73 8 6 焦点在直线上的抛物线的标准方程为 34120 xy 7 抛物线上一点到焦点距离等于 6 则 m yPx 2 2 Mm 4 8 一动点到 y 轴的距离比到点 2 0 的距离小 2 这动点的轨迹方程是 9 抛物线的焦点坐标为 yaxa 40 2 10 在抛物线上求一点 P 使点 P 到直线的距离最短 yx 2 2 xy 30 11 若抛物线的准线方程为 焦点为 则抛物线的对称轴方程是 2310 xy 21 12 P1P2是抛物线的通径 Q 是准线与对称轴的交点 则 PQP 12 13 双曲线上一点 P 到一个焦点的距离为 12 则 P 到另一个焦点的距离为 xy 22 259 1 14 以为渐近线 且经过点 1 2 的双曲线是 230 xy 15 双曲线的离心率 e 2 则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长 短两段的比是 16 双曲线的渐近线中 斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 x y 2 2 3 1 17 已知双曲线的渐近线方程为 一条准线的方程为 求这双340 xy 53 30y 曲线方程 18 与双曲线共轭的双曲线方程是 它们的焦点所在的圆方程是 xy 22 364 1 19 椭圆与双曲线的焦点相同 则 a xy a 22 2 4 1 x a y 22 2 1 20 如图 OA 是双曲线的实半轴 OB 是虚半轴 F 为焦 点 且 则设双曲线 BAO30S ABF 1 2 63 3 方程是 二 选择题 二 选择题 1 椭圆的准线方程是 44 22 xy A B C D x 4 3 3yx 4 3 3xy 4 3 3y 4 3 3 2 椭圆上的一点 P 到它的右准线的距离是 10 那么 P 点到它的左焦点的距 xy 22 10036 1 离是 A 14B 12C 10D 8 3 的曲线为椭圆时的 k x k y k 5 56 1 22 是方程 A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 非充分非必要条件 4 椭圆的左右焦点为 F1 F2 一个圆的圆心在 F2且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P 点 直 线 PF1是圆的切线 则椭圆的离心率为 A B C D 31 1 2 2 2 3 2 5 椭圆的焦点为 AB 是椭圆过焦点的弦 则的周长是 xy 22 925 1 FF 12 F1 ABF2 A 10B 12C 20D 16 6 点是椭圆上一点 为椭圆两焦点 若 则P xy 22 10064 1 FF 12 F PF 12 30 面积为 PF F 12 A 64B C D 64 23 64 23 64 3 3 7 已知双曲线上一点到它的右焦点的距离为 8 那么点到它的右准线 xy 22 6436 1 PP 的距离是 A 10B C D 2 7 32 7 7 32 5 8 双曲线的实轴长 虚轴长 焦距成等差数列 那么它的离 x a y b ab 2 2 2 2 100 心率为 A B C 2D 3 4 3 5 3 9 抛物线在处切线方程为 yx 2 8 M 24 A B xy 20 xy 20 C D xy 20 xy 20 10 若双曲线 1 的一条渐近线的倾斜角为锐角 则双曲线的离心率为 x a y b 2 2 2 2 A B C D sin cos sec tg 11 双曲线的离心率 则 k 的取值范围是 xy k 22 4 1 e 1 2 A B C D 0 3 0 12 0 6012 三 解答题 1 已知椭圆上一点 射线交椭圆于点OPR 又点 xy l xPl 22 2416 112 直线 是 Q 在 OP 上且满足 OQOPORPl 当点 在 2 上移动时 求点 Q 的轨迹方程 并说 明轨迹是什么曲线 2 已知椭圆中心在原点 焦点在坐标轴上 焦距为 另一双曲线与椭圆有公共焦点 2 13 且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大 4 椭圆离心率与双曲线的离心率之比为 3 7 求椭圆 方程和双曲线方程 3 已知椭圆 在椭圆上求一点 P 使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离 xy 22 259 1 的 4 倍 求 P 点坐标 4 过抛物线的焦点的一条直线和这抛物线相交 两个交点的纵坐标为ypx p 2 20 yyyyp 1 2 12 2 求证 5 已知直角坐标平面上点 Q 0 2 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长与 MO 的比 等于常数入 求动点 M 的轨迹方程 说明它表示什么 0 6 椭圆过 P 作一条直线交椭圆于 A B 使线段 AB 中点是 xy P 22 94 121 内一点 点 P 求出直线方程 7 在椭圆上总有关于直线对称的相异两点 求 m 的取值范3412 22 xy yxm 4 围 8 已知向量 其中 是实数 又设向量 1 0 mx 1 1 1 n 2 2 1 ny xy 且 点的轨迹为曲线 C 求曲 12 2mmn 21 2nmn mn P x y 线的方程 设曲线与轴的正半轴的交点为 过点作一条直线 与曲CCyMMl 线交于另一点 当时 求直线 的方程 CN 4 2 3 MN l 9 如图所示 已知点 两点分别在轴和轴上运动 并且 3 0 0 App BCyx 满足 求动点的轨迹方程 0AB BQ 1 2 BCCQ Q 设过点的直线与的轨迹交于 两点 设 求直线 AQEF 3 0 Ap A E 的斜率之和 A F 10 已知 点 点满足 2 0 A 2 0 BCD 2AC 1 2 ADABAC 求点的轨迹方程 过点作直线 交以 为焦点的椭圆于 两DAlABMN 点 线段的中点到轴的距离为 且直线 与点的轨迹相切 求该椭圆的方程 MNy 4 5 lD 11 椭圆的焦点在轴上 其右顶点关于直线的对称点 22 2 1 4 xy b 0 b x04 yx 在椭圆的左准线上 求椭圆的方程 过椭圆左焦点的直线 交椭圆于 两点 交椭圆左FlAB 准线于点 设为坐标原点 且 求的面积 CO2OAOCOB OAB 12 已知为坐标原点 点 的坐标分别为和 点 运OEF 1 0 1 0 APQ 动时满足 2 AEEF AQQF 0PQ AF APEP 求动点的轨迹的方程 PC 设 是上两点 若 求直线的方程 MNC23OMONOE MN 13 在抛物线y2 4x上恒有两点关于直线y kx 3 对称 求k的取值范围 14 已知椭圆的两个焦点分别为 离心率 1 求椭圆 12 0 2 2 0 2 2 FF 2 2 3 e 方程 2 一条不与坐标轴平行的直线 与椭圆交于不同的两点 且组段中点的横lMN MN 坐标为 求直线 倾斜角的取值范围 1 2 l 15 已知椭圆 抛物线 且 的公共弦 1 C1 34 22 yx 2 C 0 2 2 ppxmy 1 C 2 C 过椭圆的右焦点 AB 1 C 1 当轴时 求的值 并判断抛物线的焦点是否在直线上 xAB pm 2 CAB 2 若且抛物线的焦点在直线上 求的值及直线的方程 3 4 p 2 CABmAB 16 已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部 0 0 240 x y xy 222 Cxaybr 所覆盖 试求圆的方程 若斜率为 1 的直线 与圆 C 交于不同两点Cl 满足 求直线 的方程 A BCACB l 17 若椭圆过点 3 2 离心率为 O 的圆心为原点 直 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 3 径为椭圆的短轴 M 的方程为 过 M 上任一点 P 作 O 的切4 6 8 22 yx 线 PA PB 切点为 A B 1 求椭圆的方程 2 若直线 PA 与 M 的另一交点为 Q 当弦 PQ 最大时 求直线 PA 的直线方程 3 求的最大值与最小值 OBOA 18 已知圆 O 圆 C 由两圆外一点引两1 22 yx1 4 2 22 yx baP 圆切线 PA PB 切点分别为 A B 如右图 满足 PA PB 求实数 a b 间满足的等量关系 求切线长 PA 的最小值 是否存在以 P 为圆心的圆 使它与圆 O 相内切并且与 圆 C 相外切 若存在 求出圆 P 的方程 若不存在 说明理 由 19 已知圆O 交轴于A B两点 曲线C是以为长轴 离心率为的椭 22 2xy xAB 2 2 圆 其左焦点为F 若P是圆O上一点 连结PF 过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的 左准线于点Q 求椭圆C的标准方程 若点P的坐标为 1 1 求 证 直线PQ与圆相切 O 试探究 当点P在圆O上运动时 不与 x y O P F Q AB B P A A B重合 直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系 若是 请证明 若不是 请说 明理由 20 在平面直角坐标系中 设二次函数的图象与两坐标轴xoy 1 2 2 bbxxxf 有三个交点 经过这三个交点的圆记为 C 求圆 C 的方程 设定点 A 是圆 C 经过的某定点 其坐标与无关 问是否存在常数使直线与圆交于点b kkkxy C 且 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 NM ANAM k 21 设点为曲线上任一点 以点为圆心的圆与轴交于点 与轴C 0 2 x x yCxAE 交于点 EB 1 证明 多边形的面积是定值 并求这个定值 EACB 2 设直线与圆交于点 若 求圆的方程 42 xyCNM ENEM C 圆锥曲线专项训练答案 一 一 1 2 3 24 4 yx 22 43 1 kk 4 5 4 或 7 2 3 2 7 2 3 2 5 10 6 7 8 9 焦yxxy 22 1612 或 4 2yxxyx 2 8000 点坐标为 0 1 16a 10 11 12 13 22 或 2 14 1 2 13280 xy 90 15 3 1 49320 22 xy 16 17 18 19 2 3 yx 22 4 3 36 1 yx xy 22 22 436 140 a 1 20 xy 22 93 1 OAaOBbABOFcBAO 30 于是abcb 32 SABAF ABF 1 2 sin 150 1 4 c ca 由已知可得 1 4 2 b 23 1 2 23 2 bbb 1 2 23 1 2 3 3 2 bb 从而 故双曲线方程为 b23a 2 9 xy 22 93 1 二 二 1 C2 B3 B4 A5 C6 C7 D 8 B 9 C 10 C 11 C 三 三 1 解 设点的坐标分别为由题设PQR 12 yx yxy PRR xx R 00 ROQR xy y x y x y x x xy y y xy y y x RR R R p R R P 在椭圆上及点 三点共线 22 2 2 22 2 2 22 2416 1 12 48 23 1 48 23 2 12 3 y y x P 12 3 OQOPOR xyyxy PRR 2 2222222 12 将 1 2 3 式代入上式 整理得点 Q 的方程为 x y x 1 2 3 10 2 2 为中心 长 短半轴长分别为 且长轴在 x 轴上 的 点 的轨迹是以Q 101 6 3 和 椭圆 去掉坐标原点 注意 注意 目标是消去 式中的三个字母 因此需要三个独立方程 yxy pRR Q R P 三点共线已线提供了两个独立方程 最后对曲线的说明 要说明曲线的长轴为 水平方向 这是易漏之处 2 设焦点在 x 轴上的椭圆方程为 双曲线方程为 由已知得 x a y b 2 2 2 2 1 x m y n 2 2 2 2 1 椭圆方程为 c am c a c m c a m 13 4 37 13 7 3 若焦点在 y 轴上 同样可得方程为 xyxy 222 4936 1 94 1 双曲线方程为 xy 22 4936 1 yx 22 94 1 3 求得 由椭圆定义有 4 5 25 4 准线方程为x PFPF 12 10 可求得 又解得 又由圆锥曲线 42 1211 PFPFPFPFPH PH 5 2 PHxxy 000 25 4 15 4 代入椭圆方程求得 3 7 4 15 4 3 7 4 P 4 抛物线 y2 2Px 的焦点为 当过焦点的直线不与 x 轴垂直时 设直线方程为 p 2 0 y k x k 0 与抛物线 y2 2Px 联立消去 x 得 ky2 2Py kP2 0 由韦达定理 p 2 当直线与 x 轴垂直时 结论也成立 yyP 12 2 5 设 MN 切圆于 N 则动点 M 组成的集合是 点 pMMNMQ 0 设 M 的坐标为 则得 当 xy 22222 14140 xyx 方程化为 1 5 4 时 表示直线 当x 1时 xy 2 1 13 1 2 2 22 2 22 表示圆 6 直线方程为所求 89250 xy 7 设相异的两对称点坐标为 两式相减 A x yB xy 112 2 则 3412 3412 1 2 1 2 1 2 1 2 xy xy 得 又设 AB 中点坐标为340 1 2 2 2 1 2 2 2 xxyy p xyx xx y yy 000 12 0 12 22 则 yy xx x y yx yxmxm ym p xy mmm mm 12 12 0 0 00 0000 0 2 0 2 222 3 4 1 4 31 43 3412 34912 4 13 2 13 13 2 13 13 又 点 应在椭圆内部 即 的取值范围是 8 由已知 2 2 2 2 0 22 xyyxm 2 2 2 2 0 xxn 即所求曲线的方程是 0 2 2 2 2 2 xxynm 1 2 2 2 y x 由 I 求得点 M 0 1 显然直线 l 与 x 轴不垂直 故可设直线 l 的方程为 y kx 1 由 解得 x1 0 x2 分别为 04 21 1 1 2 22 2 2 kxxky kxy y x 得消去 21 2 21 4 xx k k M N 的横坐标 由 1 2 3 4 21 4 1 1 2 2 21 2 k k k kxxkMN解得 所以直线 l 的方程 x y 1 0 或 x y 1 0 9 2 0 2 1 y BCQBCyxQ 所以因为设 2 3 2 3 0 3 y xBQ y pABpA 所以又 由已知 0 4 3 3 0 2 ypxBQAB则 4 4 22 pxyQpxy 点轨迹方程为即 设过点 A 的直线为 F x2 y2 联立方程组 0 3 11 yxEkpxky y1y2 12p2 03 4 4 3 2 2 kpyy p k x pxy pxky 得消去 3 3 33 33 21 212121 2 2 1 1 pxpx pyxypyxy px y px y kk FAEA 所以 2 2 21 2 1 4 4pxypxy 又 3 3 3 4 3 4 21 2 2 1 21 2 2 1 pxpx py p y ypy p y y kk FAEA 由y1y2 12p2 得 0 3 3 3 4 21 21 21 pxpx p p yy yy FAEA kk 10 设 点的坐标分别为 则 CD 00 C xy D x y 00 2 ACxy 4 0 AB 00 1 3 222 xy ADABAC 2 ADxy 解得 即 0 0 32 2 2 x x y y 0 0 22 2 xx yy 2AC 22 00 2 4xy 即为点的轨迹方程 22 1xy D 易知直线 与轴不垂直 设直线 的方程为 又设椭圆方lxl 2 xky 程为 因为直线 与圆相切 故 22 22 1 4 xy aa 2 4 a l1 22 yx 2 2 1 1 k k 解得 2 1 3 k 将 代入 整理得 而 0444 4 2422222222 aakaxkaxaka 2 1 3 k 即 设 则 22242 3 3 40 4 axa xaa 11 M x y 22 N xy 2 12 2 3 a xx a 由题意有 求得 经检验 此时 故所求的椭圆方程 2 2 4 2 35 a a 2 4 a 8 2 a 0 为 22 1 84 xy 11 椭圆的右顶点为 2 0 设关于直线的对称点为 2 0 2 0 04 yx 00 xy 则 解得 所求椭 00 0 0 2 40 22 1 2 xy y x 0 4x 2 a4 4 cc 1c 3 b 圆方程为1 34 22 yx 设 A由 4 32211 yCyxByx 01248 4k 3 1 1443 2222 22 kxkx xky yx 得 所以 43 8 2 2 21 k k xx 43 124 2 2 21 k k xx 因为 即 所2OAOCOB 2 4 22211 yxyyx 以 42 12 xx 由 得代入 得 2 21 22 484 3434 k xx kk 整理得 所以 所以 2 2 22 2 43 124 43 4 43 84 k k kk k 054 24 kk 4 5 2 k 由于对称性 只需求时 OAB 的面积 4 7 2 1 21 xx 2 5 k 此时 所以 5 8 3 5 4 3 21 yy 5 16 9 2 1 21 yyOFS OAB 12 为 AF 的中点 AQQF Q 0PQ AF PQAF 是的垂直平分线 A E P 三 PQAF PAPF APEP 点共线 P 为 AF 的垂直平分线与 AE 的交点 2 4PEPFPEPAAEEF 点 P 的轨迹为椭圆 且 所求的椭圆方24a 1c 2 4a 2 3b 程为 1 34 22 yx 设两交点的坐标为 则 11 yxM 22 yxN 22 11 3412xy 22 22 3412xy 由已知可得 23OMONOE 12 23xx 12 20yy 由上式可组成方程组为 把 代入 得 22 11 22 22 12 12 34121 34122 233 204 xy xy xx yy 1216123627 2 2 2 22 yxx 4 得 把代入 得 直线 MN 与 x 轴显然 2 7 4 x 2 7 4 x 2 3 5 8 y 不垂直 所求直线 MN 的斜率 所求的直线 MN 的方 2122 2122 35 3312 yyyy k xxxx 程为 5 1 2 yx 13 设 B C 关于直线 y kx 3 对称 直线 BC 方程为 x ky m 代入 y2 4x 得 y2 4ky 4m 0 设 B x1 y1 C x2 y2 BC 中点 M x0 y0 则 y0 y1 y2 2 2k x0 2k2 m 点 M x0 y0 在直线上 2k 2k2 m 3 m 又 BC 与抛物线交于 k kk322 3 不同两点 16k2 16m 0 把 m 代入化简得即 0 32 3 k kk 0 3 1 2 k kkk 解得 1 k 0 14 分析 由焦点坐标可知 由离心率可求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 设椭圆方程为2 2c a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 2 2 2 b x a y 由已知 由解得 a 3 为所求22 c 3 22 e1 b 2 2 1 9 y x 解 设直线 l 的方程为 y kx b k 0 解方程组 将 代入 并化简 1 9 2 2 x y bkxy 得 092 9 222 bkbxxk 22222 2 12 2 90 2 4 9 9 0 29 1 92 kbkbkb kbk xxb kk 将 代入 化简后 得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头解得 0276 24 kk3 2 k33 kk或 15 当 AB x 轴时 点 A B 关于 x 轴对称 所以 m 0 直线 AB 的方程为 x 1 从而点 A 的坐标为 1 或 1 因为点 A 在抛物线上 所以 2 3 2 3 即 p2 4 9 8 9 p 此时 C2的焦点坐标为 0 该焦点不在直线 AB 上 16 9 解 当 C2的焦点在 AB 时 由 知直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程 为 1 xky 由消去 y 得 1 34 1 22 yx xky 01248 43 2222 kxkxk 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2是方程 的两根 x1 x2 2 2 43 8 k k 因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦 又是过 C2的 焦点的弦 所以 2 1 4 2 1 2 2 1 2 2121 xxxxAB 且 3 4 2 2 212121 xxpxx p x p xAB 从而 所以 即 解得 2 1 4 3 4 2121 xxxx 9 16 21 xx 9 16 43 8 2 2 k k 6 6 2 kk即 因为 C2的焦点在直线上 所以 即 3 2 m F 1 xkykm 3 1 3 6 3 6 mm或 当时 直线 AB 的方程为 当时 直线 AB 的方程为 3 6 m 1 6 xy 3 6 m 1 6 xy 16 解 1 由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部 且 0 0 4 0 0 2 OPQ 是直角三角形 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 故圆心是 2 1 半径是OPQ 5 所以圆的方程是 2 设直线 的方程是 C 22 2 1 5xy lyxb 因为 所以圆心到直线 的距离是 即 解得 CACB Cl 10 2 22 21 10 2 11 b A y B O x 15b 所以直线 的方程是 l15yx 17 解 1 由题意得 所以椭圆的方程为 10 15 3 3 1 49 2 2 222 22 b a cba a c ba 1 1015 22 yx 2 由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心 8 6 时 弦 PQ 最大 因为直线 PA 的斜率 一定存在 设直线 PA 的方程为 y 6 k x 8 又因为 PA 与圆 O 相切 所以圆心 0 0 到直线 PA 的距离为10 即 可得 所以直线 PA 的方程为 10 1 68 2 k k 9 13 3 1 kk或 0509130103 yxyx或 18 解 连结 PO PC PA PB OA CB 1 PO 2 PC 2 从而 化简得实数 a b 间满足的等量关 2222 4 2 baba 系为 052 ba 由 得 052 ba52 ba 1 2222 baOAPOPA 当时 1 52 22 bb4 2 524205 22 bbb2 b 2 min PA III 圆 O 和圆 C 的半径均为 1 若存在半径为 R 圆 P 与圆 O 相内切并且与圆 C 相 外切 则有 且 于是有 即 1 RPO1 RPC2 POPC 2 POPC 从而得 两边平方 整理得2 4 2 2222 baba 2 4 22 baba 将代入上式得 故满足条件的实数 a b 不存在 不存52 ba01 22 ba 在符合题设条件的圆 P 19 解 因为 所以 c 1 则 b 1 即椭圆的标