线段的垂直平分线(1)教学设计 (1)

线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 1 1 基于课程标准的教学方案设计基于课程标准的教学方案设计 课题课题 线段的垂直平分线 1 教材来源教材来源 义务教育教科书 北京师范大学出版社 2013 年版 内容内容 八年级数学下册 北师大版 22 24 页 授课对象授课对象 八年级学生 设设 计计 者者 柳俊平 新郑市苑陵中学 目标确定的依据目标确定的依据 1 1 基于课程标准的思考基于课程标准的思考 数学课程标准 2011 年版 有关本课的要求是 理解线段垂直平分线的概念 探 索并证明线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 反 之 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 2 2 基于教材理解基于教材理解 本节课内容是学生在七年级对线段的垂直平分线已经有了初步的认识 进一步深入探 索线段垂直平分线的性质定理和判定定理的基础上进行的 它既是对前面所学知识的整合 应用 也是对这些知识的拓展与延伸 对学生学习数学具有重要的作用 是今后学习平面 几何等内容的基础 在这个过程中 向学生渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的 方法 只需在图形上任取一点作为代表 3 3 基于学情分析基于学情分析 本节课是教材第一章 三角形的证明 的第三节的第一课时 学生对线段的垂直平分 线在七年级下册学习 生活中的轴对称 已经有了一定的基础 对线段的垂直平分线的几 何图形已具有一定的认知水平 特别是经历了折纸等数学活动后 探索图形的意识明显增 强 在此基础上对线段的垂直平分线的性质定理和判定定理作进一步的研究 无论是思想上 还是方法上都具备良好的契机 这节课的内容对学生学习图形的证明具有重要的作用 学生 对于掌握性质定理和判定定理并不存在多大得困难 但是对定理的证明的条理性书写有一 定的难度 尤其是每一步都做到有理有据 学习目标学习目标 1 经历探索 猜想 证明的过程 会证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理 体 会证明的必要性 2 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题 学习重点学习重点 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题 学习难点学习难点 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的过程 评价任务评价任务 1 能够正确找出线段垂直平分线的性质定理和判定定理的条件和结论 并会结合图 形写出已知 求证和证明过程 2 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理进行计算和推理 学习资源准备学习资源准备 多媒体课件 优教通资源 教学环节教学环节 一 一 情境导入情境导入 用多媒体演示 如图 A B 表示两个仓库 要在 A B 一侧的河岸边建造一个码头 使它到两个仓库到两个仓库 的距离相等的距离相等 码头应建在什么位置 强调 到两个仓库的距离相等 这几个字在题中的重 要作用 线段是一个轴对称图形 其中线段的垂直平分线 就是它的对称轴 设计意图设计意图 通过问题情景 引导学生回顾七年级学习的通过问题情景 引导学生回顾七年级学习的 线段的垂直平分线 从而引入本节课的主题线段的垂直平分线 从而引入本节课的主题 线段的垂线段的垂 直平分线直平分线 评价要点评价要点 会找到码头的位置 并会说出根据会找到码头的位置 并会说出根据 线段垂直平分线上的点到线段两个端点线段垂直平分线上的点到线段两个端点 的距离相等的距离相等 我们用折纸的方法 根据折叠过程中线段重合 得出了线段垂直平分线的一个性质 线 段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 所以在这个问题中 要求在 建造一个码头 使它到两个仓库的距离相等 就利用此性 质能完成 进一步提问 你能用公理或学过的定理证明这一结论吗 设计意图设计意图 通过折纸 观察活动 引导学生得出线段的垂直平分线的性质定理 从而进通过折纸 观察活动 引导学生得出线段的垂直平分线的性质定理 从而进 行分析证明行分析证明 评价要点评价要点 能够说出自己的证明思路能够说出自己的证明思路 二 重点研讨二 重点研讨 一 研讨一 一 研讨一 教师鼓励学生思考 想办法来解决此问题 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 设计意图设计意图 通过独立思考 小组合作交流 得出线段的垂直平分线的性质定理的证通过独立思考 小组合作交流 得出线段的垂直平分线的性质定理的证 明过程 引导学生学会主动学习明过程 引导学生学会主动学习 评价要点评价要点 通过思考 小组讨论 能找出性质定理的条件是通过思考 小组讨论 能找出性质定理的条件是 有一个点是线段垂直有一个点是线段垂直 平分线上的点平分线上的点 结论是 结论是 这个点到线段两个端点的距离相等这个点到线段两个端点的距离相等 在老师引导下会分析 在老师引导下会分析 画图 写出已知和求证 并会说出证明的思路画图 写出已知和求证 并会说出证明的思路 已知 如图 直线 MN AB 垂足是 C 且 AC BC P 是 MN 上的点 求证 PA PB 分析 要想证明 PA PB 可以考虑它们所在的两个三角形是否全等 证明 MN AB PCA PCB 90 AC BC PC PC PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的对应边相等 教师用多媒体完整演示证明过程 设计意图设计意图 老师规范证明的步骤 使证明做到条理清晰 有根有据老师规范证明的步骤 使证明做到条理清晰 有根有据 向学生渗透证向学生渗透证 明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法 只需在图形上任取一点作为代表明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法 只需在图形上任取一点作为代表 性质定理的符号语言 性质定理的符号语言 P 在线段AB的垂直平分线 MN 上 PA PB 设计意图设计意图 规范学生应用线段的垂直平分线的性质定理的符号书写 体会文字语言 规范学生应用线段的垂直平分线的性质定理的符号书写 体会文字语言 图形语言和符号语言的一致性 发展他们的推理证明能力图形语言和符号语言的一致性 发展他们的推理证明能力 评价要点评价要点 能正确说出符号语言能正确说出符号语言 二 研讨二 二 研讨二 你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 将原命题写成 如果 那么 的形式 逆命题就容易写出 刚才已经分析了原命 题的条件和结论 原命题的条件是 有一个点是线段垂直平分线上的点 结论是 这个点 到线段两个端点的距离相等 这样 逆命题就很容易写出来 如果有一个点到线段两个 端点的距离相等 那么这个点在这条线段的垂直平分线上 设计意图设计意图 引导学生对性质定理进行逆向思考 提出猜想 然后加以证明引导学生对性质定理进行逆向思考 提出猜想 然后加以证明 告诉学生告诉学生 N A P BC M N A P BC M 这是获得新的结论的常用方法这是获得新的结论的常用方法 评价要点评价要点 能够正确说出逆命题能够正确说出逆命题 写出逆命题后 就想到判断它的真假 如果真 则需证明 如果假 则用反例说明 引导学生分析证明过程 然后书写出来 老师展示证法 已知 线段 AB 点 P 是平面内一点且 PA PB 求证 P 点在 AB 的垂直平分线上 分析 要想证明 P 点在 AB 的垂直平分线上 我们可以过点 P 作 AB 的垂线 证明这条 垂线平分 AB 大家再认真想一想我们还可以怎么办 四人小组交流一下 小组汇报 并分别展示 证法一 证明 过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC 在 Rt PAC 和 Rt PBC 中 PA PB PC PC Rt PAC Rt PBC HL AC BC 即 P 点在 AB 的垂直平分线上 证法二 取 AB 的中点 C 作直线 PC AP BP PC PC AC CB APC BPC SSS PCA PCB 全等三角形的对应角相等 又 PCA PCB 180 PCA PCB 90 即 PC AB P 点在 AB 的垂直平分线上 证法三 过 P 点作 APB 的角平分线 AP BP 1 2 PC PC APC BPC SAS AC BC PCA PCB 全等三角形的对应角相等 对应边相等 又 PCA PCB 180 PCA PCB 90 P 点在线段 AB 的垂直平分线上 CB P A A P BC 21 CB P A CB P A 证法四 过 P 作线段 AB 的垂线 PC 垂足为 C PC 是 PAB 的高 PA PB PAB 是等腰三角形 PC 是 PAB 的高 PC 是 PAB 的中线 AC BC 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线 P 在 AB 的垂直平分线上 设计意图设计意图 给学生充分的展示机会 对所学的知识加以应用 体会证明方法的多样给学生充分的展示机会 对所学的知识加以应用 体会证明方法的多样 性 感受性 感受 条条大路通罗马条条大路通罗马 进一步巩固强化学生的证明推理能力进一步巩固强化学生的证明推理能力 让学生充分地参与到让学生充分地参与到 教学过程中 激发学生学习数学的积极性和求知欲教学过程中 激发学生学习数学的积极性和求知欲 评价要点评价要点 分析思路后能够选择一种证法写出证明过程分析思路后能够选择一种证法写出证明过程 从同学们的证明过程可知 线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题 我们把它称做线段垂直平分线的判定定理 线段垂直平分线的判定定理 线段垂直平分线的判定定理 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 判定定理的符号语言 判定定理的符号语言 PA PB PA PB 点点 P P 在线段在线段 ABAB 的垂直平分线上的垂直平分线上 设计意图设计意图 规范学生应用线段的垂直平分线的判定定理的符号书写 发展他们的推规范学生应用线段的垂直平分线的判定定理的符号书写 发展他们的推 理证明能力理证明能力 评价要点评价要点 能正确说出符号语言能正确说出符号语言 在进行完性质定理和判定定理的证明以后 引导学生进行总结 1 线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点所有点的组成的图形 2 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 因为两点确定 一条直线 所以只需找出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线 3 线段是一个轴对称图形 线段的垂直平分线就是它的对称轴 设计意图设计意图 加强学生的归纳总结能力 渗透辩证统一的哲学思想 加强学生的归纳总结能力 渗透辩证统一的哲学思想 例题 已知 如图 在 ABC 中 AB AC O 是 ABC 内一点 且 OB OC 求证 直线 AO 垂直平分线段 BC CB P A CB P A 证明 AB AC 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 同理 点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 两点确定一条直线 法二 也可先证明 ABO ACO 得到 BAO CAO 再在 ABC 中运用三线合一证 设计意图设计意图 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线 因此老师要引导学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线 因此老师要引导 学生理清证明的思路和方法 并给出完整的证明过程学生理清证明的思路和方法 并给出完整的证明过程 同时强调书写的简练性同时强调书写的简练性 评价要点评价要点 能说出自己的思路能说出自己的思路 三 巩固练习 三 巩固练习 如图 在 ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线 AE 5 cm CBD 的周长 18 cm 求 ABC 的周长 设计意图设计意图 通过基础题巩固通过基础题巩固线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质 评价要点评价要点 能快速正确地写出过程 并能说出理由能快速正确地写出过程 并能说出理由 四 延伸训练 四 延伸训练 已知 如图 AB AC BD CD P 是 AD 上 一点 求证 PB PC 设计意图设计意图 培养优等生灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题的能力 另外此培养优等生灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题的能力 另外此 题学生会用不同方法去证明 也利用拓展思维题学生会用不同方法去证明 也利用拓展思维 评价要点评价要点 通过独立思考 合作交流有些学生会想到全等 有些学生会想到线段垂直平通过独立思考 合作交流有些学生会想到全等 有些学生会想到线段垂直平 分线的性质和判定 并会试着写出证明过程分线的性质和判定 并会试着写出证明过程 三 课堂小结课堂小结 这节课 大家的学习都非常投入 老师相信你们的收获肯定也很多 那么谁能来谈谈 自己本节课的收获呢 还有哪些困惑 设计意图设计意图 学生自己总结收获的过程中 再一次回顾了本节课的主要内容 既加深学生自己总结收获的过程中 再一次回顾了本节课的主要内容 既加深 了他们对本节课重点和难点的理解 又培养了他们概括归纳知识的能力了他们对本节课重点和难点的理解 又培养了他们概括归纳知识的能力 C D E A B 评价要点评价要点 能够说出自己本节课的收获能够说出自己本节课的收获 结束语 条理清晰 因果相应 言必有据 初学证明 谨记遵从 四 当堂检测四 当堂检测