结构动力学 期末复习重点

一 1 结构动力学计算的特点 对比静力问题 动力反应要计算全部时间点上的一系列的解 比静力问题复杂要 1 消耗更多的计算时间 与静力问题相比 由于动力反应中结构的位置随时间迅速变 2 化 从而产生惯性力 惯性力对结构的反应又产生重要的影响 2 结构动力学是研究什么的 包含什么内容 结构动力学 是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理 和 方法的一门理论和技术学科 目的 在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础 二 1 动力系数 有阻尼 无阻尼 简谐 半功率点法 位移计 2 动力系数和哪些因素有关 动力放大系数受阻尼比控制 Rd 曲线形状可以反映出阻尼比的影响 主要有两点 其一是峰值大小 其二是曲线的胖瘦 3 动力系数在工程 隔震 调频减震 的应用 4 如何用动力系数测阻尼比 三 1 阻尼 阻尼也称阻尼力 是引起结构能量的耗散 使结构振幅逐渐变小的作用 阻尼的来源 1 固体材料变形时的内摩擦 或材料快速反应引起的热耗散 2 结构连接 部位的摩擦 3 结构周围外部介质引起的阻尼 2 阻尼比常用的测量方法及其优缺点 1 对数衰减率法 相邻振动峰值比的自然对数值称为对数衰减 率 采用自由振动试验 测一阶振型的阻尼比较容易 测量高阶 振型阻尼比的关键是能激发出按相应振型的自由振动 2 共振放大法 采用强迫振动试验 通过共振得到 Rd max 由于静荷载下的位移较难确定 应用上存在一定 的技术困难 但通过一定数学上的处理还是可以用的 Ust 是零频时的静位移 不容易测得 3 半功率点 带宽 法 采用强迫振动试验 测出 Rd w wn 图上 振幅值等于 1 倍最大振幅的点 对应的长度的 1 2 即为阻尼比 不2 但能用于单自由度体系 也可以用于多自由度体系 对多自由度体系要求共振频率稀 疏 即多个自振频率应相隔较远 保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受 相邻自振频率的影响 3 等效粘滞阻尼比 粘性阻尼是一种理想化的阻尼 具有简单和便于分析计算的优点 工程中结构 1 2 的阻尼源于多方面 其特点和数学描述更为复杂 这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上 等效成粘性阻尼 一般采用基于能量等效的原则 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力 3 4 m st d u u R 0max 2 2 1 nk k ln 2 1 y y n n ab f ff 2 的滞回曲线反映 4 Rayleigh 阻尼理论 阻尼 C 推导到阻尼比 用阻尼比来考虑 假设结构的阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的组合 C a0 M a1 K 其中 a0 和 a1 是 两个比例系数 分别具有 s 1 和 s 的量纲 可以用实际测量得到的结构阻尼比来确定 或 通过给定的两个振型阻尼比的值来确定 为此要把 Rayleigh 阻尼公式化成由阻尼比表示的 形式 原则 选择的两个用于确定常数 a0 和 a1 的频率点 wi wj 覆盖结构分析中感兴趣的 频段 在频段内 阻尼比略小于给定的阻尼比 这样 在该频段内由于计算的阻尼略小 于实际阻尼 结构的反应将略大于实际的反应 这样的计算结果对工程设计而言是安全的 如果 i 和 j 选择得好 则可以保证这种增大程度很小 在频段 i j 以外 其阻尼比将 迅速增大 这样频率成份的振动反应会被抑制 其计算值将远远小于实际值 四 1 列运动方程 列运动方程 二自由度体系 求频率 振型 101 页 2 振型叠加法 振型叠加法 有阻尼稳态求解步骤 公式 如何用振型叠加法 不写推导过程 3 振型叠加法的优缺点 振型叠加法的优缺点 虽然振型叠加法有计算速度快 节省时间这些突出的优点 但存在局限性 主要局限 是由于采用了叠加原理 因而原则上仅适用于分析线弹性问题 限制了使用范围 第二个 局限是由于要求阻尼正交 对实际工程中存在的大量不满足阻尼正交条件的问题 迫使必 须采用额外的处理方法 近似处理方法包括采用正交阻尼代替非正交阻尼 或采用复模态 方法 但复模态分析将使问题维数扩大一倍 虽然通过选择合适的振型数目 可保证足够的计算精度 但也会产生一定的误差 为 进一步减小由忽略高阶振型影响而引起的误差 可以采用静力修正法 所谓静力修正法是 指在采用振型叠加法进行求解时 考虑所有高阶振型的影响 但高阶振型相应的振型坐标 反应的求解并不通过直接求解动力方程而获得 而是采用简化的静力分析方法 4 位移按振型展开有限项如何展开 这两种方法的关系 特点 位移按振型展开有限项如何展开 这两种方法的关系 特点 静力修正法 P127 Nd n n n nnn K tP tqtPKtU 1 1 振型加速度法 Nd n n n n n n nn tq tq tPKtU 1 2 1 2 这两种方法均考虑了高阶振型的影响 且求解并不是直接求解动力方程而获得 避免 了由于采用数值时域逐步积分方法求解高阶振型反应而可以显著节省计算时间 具有更快 的收敛性且误差少 静力修正法比振型加速度法更合理地解释加快收敛的原因 比较而言 静力修正法更 方便而言 因为它在计算中仅涉及到相对简单的振型位移计算 而振型加速度法中则要涉 及振型加速度和速度 但对于计算机而言 这种差异导致的工作量又是可以忽略的 5 时域积分算法 时域积分算法 共性 只假设结构本构关系在一个微小的时间步距内是线性的 相当于用分段直线来 逼近实际的曲线 此外 它是研究离散点上的值 体系运动微分方程不一定要求在全部时 间上满足 仅要求在离散点上满足 在每个时间间隔的起点和终点建立动力平衡条件 并 以一个假设的反应机理为根据 近似地计算在时间增量范围内体系的运动 判断方法 1 收敛性 当离散时间步长 t 0 时 数值解是否收敛于精确解 2 计算 精度 截断误差与时间步长 t 的关系 若误差 0 t 的 N 次方 则称具有 N 阶精 度 3 稳定性 随计算时间步数 i 的增大 数值解是否远离精确解 4 计算效率 所花费计 算时间的多少 逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组 可分为两大类 隐式方法 显式方法 算法 分段解析法 如果结构是线性的 并采用等时间步长 则 A D 均为常数 其计算效 率非常高 在 p t 离散采样的定义下是精确解 但如果是非线性问题 则 A D 均为变量 计算效率会大为降低 分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设 而在连续时间轴上严格 满足运动微分方程 中心差分法 中心差分方法用位移的有限差分来近似表示速度和加速度 中心差分方 法存在计算中的起步问题 即仅能给出 i 0 时刻的反应 而不能给出 i 0 1 时刻的反应 因此需要从 t 0 时刻的位移函数的泰勒展开式中解出 i 0 1 时刻的位移 虽然稳定性略差 但因其所具有的简单 高效的特点也得到一系列的应用 线性加速度法 线性加速度法基本假设 在每个时间增量内 加速度线性变化 且体 系的阻尼 刚度特性在这个时间间隔内保持为常量 Newmark 法 同样将时间离散化 运动方程仅要求在离散的时间点上满足 假设 在 ti 时刻的运动均已求得 然后计算 ti 1 时刻的运动