高数极限习题

第二章第二章导数与微分导数与微分 典型例题分析典型例题分析 客观题客观题 例例 1 设在点可导 为常数 则 xf 0 xba x xbxfxaxf x lim 00 0 0 xfabA 0 xfbaB 0 xfbaC 0 xf b a D 答案答案 C 解解 x xbxfxaxf x lim 00 0 x xfxbxfxfxaxf x lim 0000 0 xa xfxaxf a x lim 00 0 xb xfxbxf b x lim 00 0 0 xfba 例例 2 89303 设在的某个邻域内有定义 则在处可导的一个充分 xfax xfax 条件是 存在 存在 1 lim af h afhA h h hafhaf B h 2 lim 0 存在 存在 h hafhaf C h 2 lim 0 h hafaf D h lim 0 答案答案 D 解题思路解题思路 1 对于答案 不妨设 当时 则有 Ax h 1 h 0 x 存在 这只表明在 x afxaf af h afh xh lim 1 lim 0 xf 处右导数存在 它并不是可导的充分条件 故不对 ax A 2 对于答案与因所给极限式子中不含点处的函数值 因此与导数概 B Ca af 念不相符和 例如 若取 ax ax xf 0 1 则与两个极限均存在 其值为零 但 从而在 B C1 0 lim afxf ax xf 处不连续 因而不可导 这就说明与成立并不能保证存在 从而ax B C a f 与也不对 B C 3 记 则与是等价的 于是hx 0 x0 h lim lim lim lim 0 000 af x afxaf h afhaf h afhaf h hafaf x hhh 所以条件是存在的一个充分必要条件 D a f 例例 3 3 00103 设则在点可导的充要条件为 0 0 f xf0 x 存在 存在cosh 1 1 lim 2 0 f h A h 1 1 lim 0 h h ef h B 存在 存在 sinh 1 lim 2 0 hf h C h 2 1 lim 0 hfhf h D h 答案答案 B 解题思路解题思路 1 当时 所以如果存在 则必有0 h 2 1cosh1 2 h 0 f 2 00 2 0 2 0 cosh1 lim cosh1 0 cosh 1 lim 0 cosh 1 lim cosh 1 lim h ff h ff h f hhhh 若记 当时 所以cosh1 u0 h 0u 0 0 lim cosh1 0 cosh 1 lim 00 f u fufff hh 于是 2 0 cosh 1 lim h f h 0 2 1 f 这就是说由存在能推出存在 0 f cosh 1 1 lim 2 0 f h h 但是由于当时 恒有 而不是 因此0 h 0cosh1u0 u 存在只能推出存在 而不能推出cosh 1 1 lim 2 0 f h h x fxf f x 0 lim 0 0 存在 0 f 2 当时 于是0 h 1hoheh h ef h h 1 lim 0 h fhohf h 0 lim 0 0 lim 0 hoh fhohf h 由于当时 既能取正值 又能取负值 所以极限0 h hoh 存在与存在是互相等价的 因而 0 lim 0 hoh fhohf h 0 0 lim 0 f h fhf h 极限存在与存在互相等价 1 1 lim 0 h h ef h 0 f 3 当时 用洛比塔法则可以证明 所以0 h 6 1sinh lim 3 0 h h h 2 0 sinh lim h hf h h h h h fhf hh 3 00 sinh lim sinh 0 sinh lim 由于 于是由极限存在未必推出0 hh h h h fhf hh 3 00 sinh lim sinh 0 sinh lim 也存在 因而未必存在 sinh 0 sinh lim 0 h fhf h 0 f 4 在点可导一定有存在 但存在不一定在点可导 xf0 x D D xf0 x 例例 4 4 98203 函数有 个不可导点 2 32 xxxxxf 0 A1 B2 C3 D 答案答案 C 解题思路解题思路 当函数中出现绝对值号时 不可导的点就有可能出现在函数的零点 因为函数 零点是分段函数的分界点 因此需要分别考察函数在点考察导数的1 1 0 210 xxx 存在性 解解 将写成分段函数 xf xf 1 1 2 10 1 2 01 1 2 1 1 2 22 22 22 22 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 1 在附近 写成分段函数 0 0 x xf 2 32 xxxxxf 0 1 2 0 1 2 22 22 xxxxx xxxxx 容易得到 2 1 2 lim 0 lim 0 22 00 xxx x fxf f xx 2 1 2 lim 0 lim 0 22 00 xxx x fxf f xx 由于 所以不存在 0 0 ff 0 f 2 在附近 写成分段函数 1 1 x xf 2 32 xxxxxf 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 xxxxxx xxxxxx 4 2 1 lim 1 1 lim 1 2 11 xxxx x fxf f xx 4 2 1 lim 1 1 lim 1 2 11 xxxx x fxf f xx 由于 所以不存在 1 1 ff 1 f 3 在附近 写成分段函数 1 2 x xf 2 32 xxxxxf 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 xxxxxx xxxxxx 0 2 1 lim 1 1 lim 1 2 11 xxxx x fxf f xx 0 2 1 lim 1 1 lim 1 2 01 xxxx x fxf f xx 由于 所以存在 0 1 1 ff 1 f 综合上述分析 有两个不可导的点 xf 例例 5 95103 设具有一阶连续导数 则是 xf sin 1 xxfxF 0 0 f 在处可导的 xF0 x 必要但非充分条件 充分但非必要条件 A B 充分且必要条件 既非充分也非必要条件 C D 答案答案 C 分析分析 从在的导数定义着手 将 xF0 x sin sin 1 xxfxfxxfxF 解解 0 F 0 0sin 0 sin lim 0 0 lim 0 0 lim 000 x fxxf x fxf x FxF xxx 0 0 ff 0 F 0 0 lim 0 x FxF x 0 0sin 0 sin lim 0 0 lim 00 x fxxf x fxf xx 0 0 ff 于是推知的充分必要条件是 0 F 0 F 0 0 f 例例 6 6 92103 设函数 则使存在的最高阶数 3 23 xxxxf 0 n f n 0 A1 B2 C3 D 答案答案 C 解题思路解题思路 应先去掉中的绝对值 将改写为分段函数 xf xf 3 23 xxxxf 04 02 3 3 xx xx 解解 由 3 23 xxxxf 04 02 3 3 xx xx 得 x f 012 06 2 2 xx xx 且 x f 024 012 xx xx x f 024 012 x x 又 0 0 lim 0 0 x fxf f x 0 0 02 lim 3 0 x x x 0 0 04 lim 0 0 lim 0 3 00 x x x fxf f xx 所以存在 0 f 0 0 06 lim 0 0 lim 0 2 00 x x x fxf f xx 0 0 012 lim 0 0 lim 0 2 00 x x x fxf f xx 所以存在 0 f 12 0 012 lim 0 0 lim 0 00 x x x fxf f xx 24 0 024 lim 0 0 lim 0 00 x x x fxf f xx 即 因而使存在的最高阶数是 2 0 f 0 f 0 n f 例例 7 存在的最高阶导数的阶数等于 cos 2 xxxxf A 0 B 1 C 2 D 3 答案答案 C 解题思路解题思路 注意 所以只需考察在点的情况 xxcos cos 2 xx0 x 例例 8 96203 设在区间内有定义 若当时 恒有 0 xf x 则必是的 2 xxf 0 x xf 间断点 A连续而不可导的点 B 0 0 fC 可导的点 且0 0 fD 可导的点 且 答案答案 C 解解 由题目条件易知 因为0 0 f 0 2 x x x xf x fxf 所以由夹逼定理 0 lim lim 0 lim 2 000 x x x xf x fxf xxx 于是 0 0 f 例例 9 87103 设 则为 0 0 0 1 2 x x x e xf x 0 f 0 A 2 1 B1 C1 D 答案答案 C 解题思路解题思路 因为分段函数 故它在分段点处的导数应按导数的定义 又由于是型 xf 0 0 未定式 可用洛必达法则求极限 解解 0 0 lim 0 0 x fxf f x 0 0 1 lim 2 0 x x e x x 2 0 2 1 lim x e x x 当时 与是等价无穷小 所以当时 与是等价无穷小 因而0 u1 u eu0 x 2 1 x e 2 x 1 1 lim 2 0 2 x e x x 例例 10 88103 设可导且 则时 在处的微分与 xf 2 1 0 x f0 x xf 0 xdy 比较是 的无穷小 x 等价 同阶 低阶 高阶 A B C D 答案 B 解题思路解题思路 根据在处的微分的定义 xfy 0 xx xxfdy 0 解解 可知与是同阶的无穷小 2 1 2 1 limlim 00 x x x dy xx dyx 例例 11 87304 函数在处 0 0 0 1 sin x x x x xf0 x 连续 且可导 连续 不可导 A B 不连续 不仅可导 导数也连续 C D 答案答案 B 解题思路解题思路 一般来说 研究分段函数在分段点处的连续性时 应当分别考察函数的左右 极限 在具备连续性的条件下 为了研究分段函数在分界点处可导性 应当按照导数定义 或 者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在 因此 本题应分两步 1 讨论连续性 2 讨论可导性 解解 1 讨论函数在点处的连续性0 x 由于 可知函数在点处是连续的 0 0 1 sinlim lim 00 f x xxf xx xf0 x 2 讨论函数在点处的可导性0 x 由于不存在 所以 函数在点 xx x x x fxf xxx 1 sinlim 0 1 sin lim 0 0 lim 000 xf 处不可导 0 x 例例12 设 在点可导 但是导数在点不连续 则 0 0 0 1 sin x x x x xf p 0 x x f 0 x 必须满足 p 10 pA21 pB20 pC31 pD 答案答案 B 解题思路解题思路 1 当时 下述极限不存在 1 p x x x x x x fxf p x p xx 1 sinlim 1 sin lim 0 lim 1 000 因此不存在 0 f 当时 1 p x x x x x x fxf p x p xx 1 sinlim 1 sin lim 0 lim 1 000 0 所以 0 f 0 这就是说 只有当时 才存在 所以选项可以被排除 1 p 0 f CA 2 当时1 p 0 1 cos 1 sin 0 0 21 x x x x px x xf pp 当且仅当 即时 所以当且仅当时 02 p2 p 0 0 lim 0 fxf x 21 p 在点可导 但是在点不连续 xf 0 x x f 0 x 例例 13 95403 设可导 且满足条件则曲线在 xf 1 2 1 1 lim 0 x xff x xfy 处的切线斜率为 1 1 f 2 A 2 B 2 1 C1 D 答案答案 B 解解 记 则有xu 1 2 1 1 1 lim 2 1 2 1 1 lim 00 f u fuf x xff ux 例例 14 设 则 21ln xy 10 y A 10 21 9 x B 10 21 9 x C 10 9 21 2 10 x D 10 10 21 2 9 x 答案答案 D 解题思路解题思路 求高阶导数的一般方法是 先求出一阶 二阶 三阶导数 找出规律 即可写 出高阶导数 x y 21 2 2 21 2 1 2 x y 2 21 1 2 1 2 x 3 21 2 2 2 1 2 x y 21 2 9 10 10 10 x y 例例 1717 90103 设函数有任意阶导数 且 则 xf 2 xfxf 2 nxf n A 1 xfn n B 1 xnf n C 2 xf n D 2 xfn n 答案答案 A 解题思路解题思路 这是一个求高阶导数的问题 涉及到求抽象函数的导数 解解 由有任意阶导数且 可知 xf 2 xfxf 2 2 2 322 xfxfxfxfxfxfxf 23 2 23 xfxfxfxf 3 4 xf 依此由归纳法可知 xf n 1 xfn n 注意注意 1 当时虽然也正确 但当就不正确了 所以将排除之 2 1 nn B2 n B 2 在求导数时 可将函数看成是由与复合而成的 2 xf 2 xf 2 ty xft 则根据复合函数的求导法则 故 2 2 22 xfxfxftxftxf 初学者可能会这样做 后面丢掉一个因子 2 2 xfxf x f 例例 18 91303 若曲线和在点处相切 其中baxxy 23 12xyy 1 1 是常数 则 ba 2 0 baA3 1 baB 1 3 baC1 1 baD 答案答案 D 解题思路解题思路 两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线 从而两曲线的斜 率也应相等 解解 曲线在点处的斜率是 baxxy 2 1 1 1 2 1 x baxxk aax x 2 2 1 另一条曲线是由隐函数确定 该曲线在点处的斜率可以由隐函数求导 3 12xyy 1 1 数得到 对于方程两边求导得到 解出得到此曲线在点 3 12xyy 32 32yyxyy y 处的斜率为 1 1 1 32 1 1 2 3 1 1 2 y x y x xy y yk 令 立即得到 再将代入中得出 21 kk 1 a1 1 1 yxabaxxy 2 1 b 例例 19 设定义在 且都在处连续 若 xgxf 1 1 0 x 则 02 0 x x x xg xf 0 0 0 lim 0 gxgA x 且1 0 0 lim 0 gxgB x 且 0 0 1 lim 0 gxgC x 且2 0 0 lim 0 gxgD x 且 答案答案 D 解题思路解题思路 分析函数的表达式 并运用在处连续这一关键条件 xf xf0 x 解解 既然在处连续 于是必有 于是必有 xf0 x2 lim lim 00 x xg xf xx 于是又有 0 lim 0 xg x 2 lim 0 lim 0 00 x xg x gxg g xx 例例 2020 99103 设 其中是有界函数 则在 0 0 cos1 2 xxgx x x x xf x g xf 处 0 x 极限不存在 极限存在 但不连续 A B 连续 但不可导 可导 C D 答案答案 D 解题思路解题思路 若能首先判定在处可导 则 均可被排除 xf0 x A B C 解解 0 0 lim 0 0 x fxf f x 2 3 0 cos1 lim x x x 2 3 2 0 2 lim x x x 0 2 lim 2 1 0 x x 2 cos10 2 x xx 时 是有界函数 0 0 lim 0 0 x fxf f x x xgx x lim 2 0 0 lim 0 xxg x xg 由于在点的左导数等于右导数 因而 在处可导 xf0 x xf0 x 例例 2121 设 则 xxfsin xff xxAcos cos sin xxBcos sin sin xxCsin cos cos xxDsin sin cos 答案答案 A 例例 2222 设是可导函数 则 xf 为偶函数则为奇函数若 xfxfA 为单调函数则为单调函数若 xfxfB 为奇函数则为奇函数若 xfxfC 为非负函数则为非负函数若 xfxfD 答案答案 A 解题思路解题思路 根据导数定义 利用函数的奇性 解解 由于 所以 ufuf x xfxxf x xfxxf xf xx lim lim 00 lim 0 xf x xfxxf x 因此为偶函数 x f 例例 2323 设 则 x ey 2 sin dy x eA 2 sin xeB x sin2 2 sin xeC x cos2 2 sin xeD x 2sin 2 sin 答案答案 D 解题思路解题思路 运用复合函数微分法 例例 2424 设存在 则 0 f e x xf x x 1 0 sin cos1 1 l