线性代数答案(人大出版社-第四版)赵树嫄主编

线性代数习题线性代数习题 习题一 A 1 6 2 222 22 22 2 22 12 1 4 11 1 1 21 11 tt tt tt t tt tt 7 1log 0 log1 b a a b 2 3 7 4 0 4 或者 2 34 100 01 k kkk k 0k 1k 5 2 31 40240 02 10 x xxxxx x 且 8 1 4 2 7 3 13 4 N n n 1 21 n 1 n 2 2 1 1 2 n n 10 列号为 3k42l 故 k l 可以选 1 或 5 若 k 1 l 5 则 N 31425 3 为负号 故 k 1 l 5 12 1 不等于零的项为 13223441 1a a a a 2 234 1 1 1223341 1 1 1 Nnn nnn a a aaann 13 3 2112 342153521534215100061230 6123000 2809229092280921000280921000 ccrr 4 将各列加到第一列 2 2 2 xyyxy Dxyxyx xyxy 1 2 1 1 yxy xyxy xyx 1 2 0 0 yxy xyxy xyx 33 2 xy 17 1 从第二行开始每行加上第一行 得到 11111111 11110222 8 11110022 111 10002 2 433221 rr rr rr 43 11111111 12340123 1 136100136rr 3 各列之和相等 各行加到第一行 18 3 21 34 31 24 41 2240112011201120 4 24135413503550164 23 22 31233123048300105 2 2051205102110211 rr rr rr rr rr 433443 342424 112011201120 722016401640164 101010 00210021000272 02110013700114 rrrrrr rrrrrr 34 1120 0164 10 00114 00027 rr 270 20 第一行加到各行得到上三角形行列式 123 0262 0032 000 n n nn n 21 各行之和相等 将各列加到第一列并且提出公因式 1 nx 从第二行开始各行减去第一行得到 1 10 1 10 10 xxxx xxx nx xxx xxx 111 1 0000 1 1 1 1 1 0000 0000 nnnn xxxx x nxnxxnx x x 22 最后一列分别乘以再分别加到第 1 2 n 1 列得到上三角 121 n aaa 形行列式 112231 2231 31 12 1 01 001 0001 00001 nn nn nn n n xaaaaaaa xaaaaa xaaa xaxaxa xa 23 按第一列展开 1 221 103 11 00011111111 000000000 00000 0000000 000000000 n nn nnn a aaa Daa aa aaa 11 222 43 1 1111111111 00000000 00000000 1 0000000 000000000 n nn aa aa aa aa 0122341341231120 1 1 n nnnnn i i a a aaa a aaa a aaa a aaa aa a a 24 将第二列加第一列 然后第三列加第二列 第 n 列加第 n 1 列 最后按 第一行展开 D 1 22 00 00 0 00 000 121 11 nn a aa aa 1 2 00 00 00 00 000 0 123 1 n a a a nn 12 1 1 n n na aa 25 1 21 43 22 22 22 11231123 12220100 1 4 0 23152315 23190004 rr rr xx xx xx 1 2 x x 2 各行之和相等 3 与 22 题类似 4 当时 代入行列式都会使行列式有两行相同 所以0 1 2 3 2xn 它们都是方程的根 28 41424344 1040 140140 2112 6 212 6 03018 0600 111111 1111 AAAA 29 其中 1 3 两行对应成比例 所以为零 11121314 1111 dcbb AAAA bbbb cdad 32 从第二行开始每一行乘以 1 加到上一行然后按第一列展开 123401111 1123101111 112200111 11300011 1200001 1111 n nx xnx Dxxnx xxx xxxxxx 1 11111 11111 01111 1 00011 00011 n x x x 1 112 1 2 1 000000 100000 010000 1 1 001000 000000 0000011 ii rr nnn in x xx xx xxx x x 33 按第一列展开 1 000000 000000 00000000 00000000 00000000 n abab abab aa Da abab baba 按第一列 展开 阶 1 0000 000 000 00000 0000 n b ab ab b b ab 1 1nnn ab 1 34 原方程化为 2 1211 123122 2 4 00212 002 xx xx xxx x 35 12 34 111100 11111111 111100 11111111 rr rr xxx xx yyy yy 0 22 11001100 1111000 00110011 1111000 xx xyxyx y yy 解得或者0 x 0y 36 范德蒙行列式 1111 1213 21 1 1 12 3 1 32 3 1 48 1419 18127 37 解 12 23222222222 11 11 abxbxaaxbaxaxa cc xabxaabbax bab cc xabxaabbxaabb 21 2 11 11 00 xa rr ax baxabax ba xab xaab xaabb xab ax bx ba 40 3 D 63 D1 63 D2 126 D3 189 1 2 3 1 2 3 x x x 6 D 20 D1 60 D2 80 D3 20 D4 20 1 2 3 4 3 4 1 1 x x x x 42 221069 124124 58201822 2323 3330 182205 原方程仅有零解 43 令 11220 11310 211211 kk kk 2 1 6kk 2 340kk 得 或 故当或时原齐次方程组有非零解 1k 4k 1k 4k 44 原齐次方程组的系数行列式 11200 11310 2 1 0 211211 kk kkkk 即当且时原齐次方程组仅有零解 1k 2k 习题二 A 2 1 1315 38282 37913 AB 2 141387 232525 2165 AB 3 3111 4040 1335 xBA 4 由 2A Y 2 B Y 0 得 3Y 2 A B 2 3 YAB 5533 2 0202 3 1133 1010 22 33 44 00 33 22 22 33 3 因为得方程组 2324 20 274 xuv ABC xyyv 解得 x 5 y 6 u 4 v 2 230 27 240 40 xu xy v yv 5 2 1041 431 3 14 123 246 369 7 10 51 17629 15 161532 02 11 1 设 则 ac X bd 2546 1321 ac bd 得到方程组 252546 3321 abcd abcd 解得 254 32 ab ab 2 0 a b 与解得 256 31 cd cd 23 8 c d 223 08 X 2 542 45 974 X 2 3 设 x Xy z 1112 2113 1116 x y z 解得于是 2 23 6 xyz xyz xyz 1 3 2 x y z 1 3 2 X 13 设所有可交换的矩阵为则 ab X cd 1111 0101 abab cdcd 解得从而 acbdaab cdccd 0 a b c da 0 ab X a 16 3 因为 所以 111111 000000 1111 0000 n 4 因为用数学归纳法可以推得 2 11111112 01010101 111 0101 n n 5 因为故可以推出 2 1 11 11 1221 1 2 1 11 11 1221 1 1 1 11 11 11 1 2 1 11 11 11 1 n n 20 334 mAmAm mm 21 1 22 2 2 TTnTnn A AmAmAm 28 因为 所以为对称矩阵 TTTTTT A AAAA A T AA 因为 所以为对称矩阵 TTTTTT AAAAAA T AA 31 1 原矩阵为 其中 1211122412 343132444 21 12 0 32 AAABABA BBB AAA BA BA BB 11 1202 1111 AB 1224 1210101 1 1101112 ABA B 31 0 033 1 A B 3244 1 0321022 0 A BA B 3 记原矩阵为 则有 0 0 aIIcI IbIdI 0 0 aIIcI IbIdI 22 22 aIacI IcIbdI aIacI Icbd I 00 00 100 010 aac aac cbd cbd 33 31231323 4242AAAAAAAA 123123 4288AAAAAA 34 2 因为 所以 0 ab adbc cd 1 1 abdb cdcaadbc 4 因为 故可逆 1A 143 153 164 A 1 143 153 164 A 6 因为 故可逆 12 0 n Aa aa 1211 12 iiiin Aa aa a a in 23 121 0 0 n n a aa A a aa 1 1 1 1 0 0 n a A a 40 1 1 25463546223 1321122108 X 2 1 11 0 113111113542 22 432210432111452 12511112531974 1 22 X 3 1 11 0 33 111221 111 211333 236 111662 11 0 22 X 42 由得到 2 AXIAX 2 AXXAI AI XAIAI 1 I AIAI XAIAI AI 201 140 022 XAI 44 两边同乘以 121 kk IA IAIA IAAAIAI 45 由得到 于是可逆并且 2 240AAI 3 AIAII AI 1 3AIAI 51 因为 1 2A 1 11131 12216 3 22 33327 AAAA AAA 52 11131 1 2 2 2 8 312 2 TT A BB AB A 53 3 初等行变换得到 2 132112 3123 3 1 3 5 1 3 112112112101100 321055011011010 120012003001001 r rrrrrr rrrr r 6 13131010 13000001 21050100 54 1 2312 2112 31 2 223100110010101021 110010043120011011 121001011011043120 rrrr rrrr rr 2342 13 3 4 101021100143 011011010153 001164001164 rrrr rr r 所以 1 223143 110153 121164 4 135710001002013 110 0123010001230100 0012001000120010 0001000100010001 1000131120 01000121 00100012 00010001 1 1357131120 01230121 00120012 00010001 55 1 4154415420041002 6158200401540154 1 02 54 XA B 2 111111111013 025202520016 101301220122 10091009 001601014 010140016 1 9 14 6 XA B 56 101301101301100522 110110011211010432 012014001223001223 1 522 2 432 223 BAIA 57 1 秩为 2 12341234 12450411 110120000 3 11210112101121011210 22420000000000003001 30611030410004000040 03001030010300100000 秩为 3 4 秩为 3 58 初等行变换得到 因为秩为 2 必有 111111 121010 231001 10 1 59 111111110 112001100 123100001 a aa 当当 1 2 ar A 1 3ar A 60 11211121 1210142 3110464 Aaa bb 因为 所以第二第三两行成比例从而得到 2r A 解得 464 142 b a 1a 2b 习题三 A 1 用消元法解下列线性方程组 1 123 123 123 123 233 350 43 3136 xxx xxx xxx xxx 解 2133131361313613136 315031500834180153 4113411301353270135327 131362133072915072915 A b 回代 131361313613136 015301530153 00121200110011 006600110000 方程组有唯一 1313610231001 015301530102 001100110011 000000000000 解 1 2 3 1 2 1 x x x 2 1234 1234 1234 21 21 255 xxxx xxxx xxxx 解 1211112111 1211100022 1215500064 A b 12111 00022 000010 系数矩阵的秩为 2 而增广矩阵的秩为 3 方程组无解 3 1234 1234 1234 1 0 1 22 2 xxxx xxxx xxxx 解 A 11111 1111111111 1 11110002210011 2 13 0000011220033 22 得到同解方程组 1 1100 2 1 0011 2 00000 1212 3434 11 22 11 22 xxxx xxxx 设 则得到一般解为 21 xc 42 xc 11 21 32 42 1 2 1 2 xc xc xc xc 6 1245 1234 12345 12345 30 20 426340 242470 xxxx xxxx xxxxx xxxxx 解 A 110311103111031 112100222102221 4263406615000093 2424702210500000 得到同解的方程组 7 110311010 6 1 50111 0110 2 6 1 10001 0001 3 3 00000 00000 令 135 235 45 7 0 6 5 0 6 1 0 3 xxx xxx xx 135 235 45 7 6 5 6 1 3 xxx xxx xx 31 xc 52 xc 得到 112 212 31 42 52 7 6 5 6 1 3 xcc xcc xc xc xc 2 确定 a b 的值使下列线性方程组有解 并求其解 2 123 123 2 123 1axxx xaxxa xxaxa 解 方程的系数行列式 D 2 11 11 1 2 11 a aaa a 当且时 方程有唯一解 2a a 0D 2 1 2 111 1 1 1 1 Daaaa aa 2 2 2 11 11 1 1 a Daa aa 于是得 22 3 2 11 1 1 1 11 a Daaaa a 1 2 2 3 1 2 1 2 1 2 a x a x a a a x a 2 当时 方程组为 方程组有无穷多解 1a 123 1xxx 123 1xxx 112 21 32 1xcc xc xc 当时 方程组为 其增广矩阵为2a 123 123 123 21 22 24 xxx xxx xxx A b r A 2 r A b 3 方程组 21112111 12121212 11240003 无 解 补充 123 23 123 21 1 0 1 32 axbxx bxx axbxb xb 解 2121 01100110 13200122 abab A bbb abbbbb 此时 增广矩阵为0 1ab 当时有唯一解 解为 53 0 22 01 1 22 00 1 b ab b b b b b 5 00 2 01 1 22 00 1 b a b b b 1 2 3 5 2 1 22 1 b x a x b b x b 当 有无穷多解 a 0 且b 1时 1 2 3 0 c x a xc x 当有无穷多解 a 0 且b 1 1 2 3 1 0 xc x x 有无穷多解 a 0 且b 1 1 2 3 1 3 0 xc x x 3 1 1234 3254 23 18 17 2 1234 52 12 12 11 4 1 1 5 2 0 3 5 7 9 4 0 5 9 2 13511 27 5 3 5 7 9 1 5 2 0 7 5 22222 3 6 1 a 设 112233 kkk 得 123 1 0 1 1 1 1 0 1 1 3 5 6 kkk 化为方程组 1 2 3 1103 0115 1116 k k k 1 1 2 3 1103011311 0115111514 111610169 k k k 123 11149 b 对矩阵进行初等行变换 123 TTTT 可得 110310011 011501014 11160019 123 11149 2 1234 25 9 由题设得到 11 22 33 111 111 111 1 11 22 33 111 111 111 1 2 3 11 0 22 11 0 22 11 0 22 即 112 11 22 223 11 22 313 11 22 10 1 矩阵为 可知 102 123123 5 02502501 2 102025 000 线性相关 312 5 2 2 2 矩阵为 线性无关 132132132 1120012013 3270020001 141013000 11 由对应向量构成的矩阵的行列式等于 线性无关 1122 0 nn a aa 12 由对应向量构成的矩阵 11 22 33 210 110 130 线性相关 211 1130 000 1 2 3 13 证明 令 11212312312 0 ss kkkk 整理得到 1122 0 ssss kkkkk 因为线性无关 所以有 12 s 解得 从而向量组 1 2 0 0 0 s s s kk kk k 1 2 0 0 0 s k k k 线性无关 11212 s 14 令 21 2060 111 k kkk k 3 2 当时 线性无关 当时 线性相关 k3且k 2k 3或 2 16 1 对矩阵施以初等行变换 得到 1234 TTTT A 10021002 01010101 00130013 11100000 是极大线性无关组 123 41 2 23 3 2 对矩阵施以初等行变换 得到 1234 TTTT A 101310131013 011201120112 110301160000 000000000014 111101020000 10131001 01120102 00140014 00000000 00000000 是极大线性无关组 123 4123 4 17 对施以初等行变换 得到 1234 TTTT A 1 1151 11511151 7 11230274012 2 31810274 0000 139704148 0000 是极大线性无关组 并且 3 101 2 7 012 2 0000 0000 12 312 37 22 412 2 2 1114311143 1132102262 2135501131 3156702262 10212 01131 00000 00000 是极大线性无关组 并且 12 312 2 412 3 512 2 20 1 对系数矩阵进行变换得 得方程组 124712471000 21210510150120 312400020001 A 令 得 即为基础解系 11 2323 44 00 202 00 xx xxxx xx 3 1x 1 2 3 4 0 2 1 0 x x x x 0 2 1 0 V 2 1211112111 21123054 32112044 251220100 Ab 3 5 4 5 1 得方程组 17 100 28 12111 15 01100010 28 004 15 001 00000 28 00000 8 5 令得到 45 45 5 1 34 2 17 28 15 28 15 28 xx xx x x xx x 4 5 1 0 x x 1 2 3 1 2 1 2 1 2 x x x 再令得到于是基础解系为 4 5 0 1 x x 1 2 3 7 8 5 8 5 8 x x x 12 1 2 1 2 7 8 1 2 10 01 5 8 5 8 3 1211112111 211110533 17550966 321105522 Ab 3 5 6 1 得到方程组 1011110000 0111101000 0011100100 0021100011 令得 得到基础解系为 1 2 3 45 0 0 0 x x x xx 5 1x 4 1x 0 0 0 1 1 23 对系数或增广矩阵进行变换得 1 得方程组 2111204720015 2103001201012 013601360012 222500000000 令得到 1414 2424 3434 2150215 12012 202 xxxx xxxx xxxx 4 2xc 1 2 3 4 15 24 4 2 xc xc xc xc 基础解系为 其中 c 为任意常数 15 24 4 2 vc 2 111117110117 321132000000 01226230102623 5433112001000 得方程组 1001516 000000 0102623 001000 145145 245245 33 516516 26232623 00 xxxxxx xxxxxx xx 对应的齐次线性方程组为 145 245 3 5 26 0 xxx xxx x 令 得特解 4 5 0 0 x x 1 2 3 4 5 16 23 0 0 0 x x x x x 再令得 4 5 1 0 x x 1 2 3 4 5 1 2 0 1 0 x x x x x 得 基础解系为 4 5 0 1 x x 1 2 3 4 5 5 6 0 0 1 x x x x x 15 26 00 10 01 原方程组的通解为 其中 为任意常 12 1615 2326 000 010 001 Ucc 1 c 2 c 数 3 2131 4151 135401135401111130431212111101431 rr rr rr rr Ab 2 2 5 7 2 35 454 5 1 7 8 107535 00321 001612612 00322 01431 rr rrr 2 1 2 24 25 4 1 2 107535 0131 0086 0032 000000 r r rr r 4 2 6 3 2 1 3413 2323 3 7 4 3 100535 01031 001000 0002 000000 rr rr rr rr 2 2 1 314 24 4 5 1 3 2 1 10000 100535 2 010311 01001 2001000 001000 1 00011 1 2 00011 2000000 000000 rrr rr r 2 得到方程组 特解 基础解系 15 25 3 45 1 2 1 1 2 0 1 1 2 xx xx x xx 0 1 0 1 0 1 2 1 2 0 1 2 1 于是全部解是 1 2 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 1 ccR 24 2 113112112 1121120110 11211301133 A b 2 112112 01100110 00310031 2 1 2 讨论如下 1 当时 方程组无解 2 2 当时有唯一解 21 且 3 当时有无穷多解 此时方程组为 基础解系为 123 2xxx 特解为 全部解为 11 10 01 0 0 2 1212 11 010 001 ccc c 2 为任意实数 25 将增广矩阵化为 T 阵 得 可知 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 11000 11000 01100 01100 00110 00110 00011 00011 1000100000 i i i a a a a a a a a aa 当且仅当 0 时方程组有解 一般解为 5 1 i i i a 即 为任意实数 112345 22345 3345 445 xaaaax xaaax