数值分析试卷.doc

数值分析考试题（一） 满分70分 得分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分）1、将分解为，其中，若对角阵非奇异（即，则化为（1） 若记 （2）则方程组（1）的迭代形式可写作 （3） 则（2）、（3）称 【 】(A)、雅可比迭代。(B)、高斯塞德尔迭代 (C)、分解 (D)、Cholesky分解。2、记，若（其中为一正数）称序列是 【 】(A)、阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、阶条件数。3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】(A)、 (B)、(C)、 (D)、 得分二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设，则一阶差商 ，二阶差商 ，的二次牛顿插值多项式为 2、 用二分法求方程在区间内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间为 。得分三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各都是对准确值进行四舍五入得到的近似值。试分别指出其绝对误差限、相对误差限及有效数字位数。绝对误差限相对误差限有效数字位数30.1200.30122、已知函数表100121144101112试用抛物插值计算的近似值，并估计截断误差。3、确定系数，使求积公式 （1）具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。4、试使用Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差。5、用牛顿迭代法求方程在附近的近似根，精度到。6、用列主元高斯消去法解线性方程组 7、给定线性方程组（1）写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式；（2）考查雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式的收敛性。数值分析考试题（一）答案 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分）1、A 2、A 3、B二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、16， 7，16x+7x(x-1) 2、0.5,1 ，0.5,0.75三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、解（1）作为数的近似值时，不一定为的有效数字。但是用四舍五入取准确值的前位作为近似值，则必有个有效数字。因为0.3012是对准确值进行四舍五入得到的近似值，所以0.3012有位有效数字3012；而30.120=0.30120有位有效数字30120。 2分（2）根据有效数字的定义：设数的近似值，其中（）是到之间的任一个正整数，且，是正整数，是整数，如果绝对误差的 则称为的具有位有效数字的近似值，准确到第位，为的有效数字。所以，具有四位有效数字的数0.3012的绝对误差限为。具有五位有效数字的数30.120=0.30120的绝对误差限为。5分（3）根据定理：设数的近似值具有位有效数字，则的相对误差满足下列不等式所以，具有四位有效数字的数0.3012的相对误差限为。而具有五位有效数字的数30.120=0.30120的相对误差限都为。8分所得结果列入下表中绝对误差限相对误差限有效数字位数30.120位有效数字0.3012位有效数字2、解 抛物插值计算公式为 将代入上式，得的抛物插值函数为故 =10.7228 5分因为，则， ，代入 2分3、解 要使求积公式（1）至少具有2次代数精度，其充分必要条件为当时， 当时， ，当时， ，即，解得 。代入求积公式（1），得 （2）当时，求积公式（2）的左边=，（2）式的右边，左边=右边； 5分当时，求积公式（2）的左边=，（2）式的右边，左边右边； 6分所以，当求积公式（1）中求积系数取为时，得到求积公式（2），其代数精度取到最高，此时代数精度为3。 7分4、解 用Simpson公式计算计算，取，得 5分由Simpson公式的余项 , 得 2分5、解 因为，则，故牛顿迭代公式为取，则1.3731.365 6分因为，所以，取，用牛顿迭代法求满足精度要求的近似根为1.37。 7分6、解。等价的三角方程组为 5分回代得 2分7、解 雅可比迭代公式为 3分高斯-赛德尔迭代公式为 3分（2）由于所给线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式都是的收敛的。 1分数值分析实验报告题目 满分30分 用Matlab完成下列题目，实验报告内容应包括问题、算法原理、程序、计算结果及分析等。一、线性方程组求解与性态讨论求的解向量，其中， .然后把扰动为，再求解. 计算（使用1-范数或-范数），讨论方程组性态.二、三次样条插值问题 已知函数值 025030033036040045050000532606031062450653806805和边界条件：。求三次样条插值函数并画出其图形。三、分别用梯形公式的逐次分半算法和Romberg算法计算的近似值，绝对误差限四、利用经典Runge-Kutta法，求的数值解。步长h=0.1, 计算结果取10-4。五、为了求解方程，构造迭代法取，用迭代法进行计算，比较用与不用Steffenson加速的区别。六、分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组：取，判别收敛的条件为：。分析两种方法的敛散性。汕头大学 2008 年 秋季学期 数值分析 期中考试试卷 一、填空题：（共3道小题，每个空格3分，共15分）1、设为经过四舍五入得出的近似值，则它有绝对误差为 2、将区间划分为等分，步长，分点为，则计算定积分的辛甫生公式为 ，其误差公式为 3、设，则一阶差商 ，二阶差商 二、选择题：（共3道小题，每小题3分，共9分）1、取2.71828作为e= 2.718281828459046的四舍五入近似值时，具有有效数字几位是 【 】(A)、 6 ； (B)、 5； (C)、 7； (D)、以上都不对。 2、下面用来计算定积分的数值积分公式中是高斯公式的是 【 】 (A)、公式为 ，其误差公式为；(B)、具有次代数精度的数值积分公式； (C)、 其中， ； (D)、以上都不对。3、记，若 ，则称序列是 【 】 (A)、1阶收敛； (B)、阶收敛； (C)、5阶收敛； (D)、以上都不对。三、（本题15分）设已给出的数据表0.000.250.500.751.001.000001.655341.551521.066660.72159用复化梯形法求积分的近似值和截断误差。四、（本题共16分）已知函数表-10121117（1）试构造插商表（8分）；（2）写出的三次牛顿插值多项式（5分）；（3）由此求的近似值（3分）。五、（本题共15分）已知函数表100121144101112试用抛物插值计算的近似值，并估计截断误差。六、（本题共15分）有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度t和电阻R数据t（0C）20.532.551.073.095.7R ()7658268739421 032试用线性最小二乘法拟合电阻与温度之间的关系，并求t=60时的电阻R的值.七、（本题共15分）用龙贝格（Romberg）求积公式计算d，取精度为.汕头大学 2008 年 秋季学期 数值分析 期中考试 答案一、填空题：（共3道小题，每个空格3分，共15分）1、绝对误差为 。 2、辛甫生公式为 ，其误差公式为 3、16， 7二、选择题：（共3道小题，每小题3分，共9分）1、A； 2、B；3、A.三、（本题15分）解 复化梯形公式，计算， 4分取0.25, ，得7分10分=1.25*(1+2*(1.65534+1.55152+1.06666)+ 0.72159) =12.835787512.8357912分由复化梯形公式的截断误差0.02439315分四、（本题共16分）解 （1）已知，构造插商表一阶差商二阶差商三阶差商，因为函数在点的一阶差商为 ，所以， 4分因为在点的二阶差商为，所以 6分 7分一阶差商二阶差商三阶差商8分（2）根据 ， 10分得阶牛顿插值多项式 11分将，代入上式，得13分（3）因此，=2.8750 16分五、（本题共15分）解 抛物插值计算公式为 4分将代入上式，得的抛物插值函数为 7分故 =10.7228 10分因为，则，代入 12分 15分六、（本题共15分）解 画数据的散点图。由散点图可见，5个数据点基本在一条直线上，所以，拟合曲线选择直线。 3分， 6分为求使达到最小，只须利用极值的必要条件 ， ，得到关于的线性方程