2021高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和教学案理北师大版202002110454.doc
2021高考数学一轮复习 第6章 数列课件+教学案（打包10套）理 北师大版
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2021高考数学一轮复习
第6章
数列课件+教学案（打包10套）理
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北师大
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1第三节第三节等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为q(nn n，q为非零常数)an1an(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数g，使得a，g，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， ，g2ab，g，那么g叫作a与b的等比中项即：g是agabgab与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1amqnm.(2)前n项和公式：snerror!常用结论等比数列的常用性质1在等比数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kn n)，则amanapaqa.2k2若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，1an2n仍然是等比数列anbn3等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为1 时，n为偶数时除外一、思考辨析(正确的打“” ，错误的打“”)(1)满足an1qan(nn n，q为常数)的数列an为等比数列()(2)g为a，b的等比中项g2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()2(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.()a1an1a(5)数列an为等比数列，则s4，s8s4，s12s8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()a5b5c4d4c caa3a72816，a54.2 5又a5a3q20，a54.2等比数列an的前n项和为sn，已知s3a210a1，a59，则a1()a.b.1313c.d.1919c cs3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比q29，又a5a1q4，a1 .故选 c.a5q4981193在数列an中，a12，an12an，sn为an的前n项和若sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列又sn126，126，212n12解得n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 mb，然后每 3 秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_秒，该病毒占据内存 8 gb(1 gb210 mb)39由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则 2n8210213，n13.即病毒共复制了 13 次所需时间为 13339(秒)3考点 1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q1 和q1 两类分别讨论1.设sn为等比数列an的前n项和，已知 3s3a42,3s2a32，则公比q()a3b4c5d6b b因为 3s3a42,3s2a32，所以两式相减，得 3(s3s2)(a42)(a32)，即 3a3a4a3，得a44a3，所以q4.a4a32(2019全国卷)记sn为等比数列an的前n项和若a1 ，aa6，则132 4s5_.设等比数列的公比为q，由已知a1 ，aa6，所以2q5，又q0，所1213132 4(13q3)13以q3，所以s5.a11q51q131351312133等比数列an的各项均为实数，其前n项和为sn，已知a3 ，s3 ，则3292a2_.3 或 法一：(直接法)数列an是等比数列，32当q1 时，a1a2a3 ，显然s33a3 .3292当q1 时，由题意可知error!解得q 或q1(舍去)12a2 (2)3.a3q32综上可知a23 或 .324法二：(优解法)由a3 得a1a23.323，a3q2a3q即 2q2q10，q 或q1.12a23 或 .a3q324(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记sn为an的前n项和，若sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2 或q2.故an(2)n1或an2n1(nn n)(2)若an(2)n1，则sn.12n3由sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则sn2n1.由sm63 得 2m64，解得m6.综上，m6.抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如 t3，方法二避免了讨论考点 2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若q(q是不为零的常数)，则数列an是等比数列；an1an(2)等比中项法：若aanan2(nn n，an0)，则数列an是等比数列；2n1(3)通项公式法：若anaqn(a，q是不为零的常数)，则数列an是等比数列设数列an中，a11，a2 ，an2an1an，令bnan1an(nn n)535323(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)an2an1an，53235an2an1 (an1an)，而bnan1an，23bn1bn，又b1a2a1 ，2323bn是首项为 ，公比为 的等比数列2323(2)由(1)知bn n1n，23(23)(23)anan1n1，(23)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a11 2n123(23)(23)33n.1(23)n123(23)逆向问题已知数列an的前n项和为sn，且sn2an3n(nn n)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由解(1)当n1 时，s1a12a13，解得a13，当n2 时，s2a1a22a26，解得a29，当n3 时，s3a1a2a32a39，解得a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：sn2an3n，sn12an13n3，an1sn1sn2an12an3，即 2an3an1，2(an3)an13，2，an13an3存在3，使得数列an3是首项为a136，公比为 2 的等比数列an362n1，即an3(2n1)(nn n)(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2) 已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题教师备选例题6设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11 及sn14an2，有a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又error!，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1， ，an12n1an2n34故是首项为 ，公差为 的等差数列an2n1234 (n1) ，an2n12343n14故an(3n1)2n2.(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1 (anbn)12又因为a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为 的等比数列12由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.12n1所以an (anbn)(anbn)n ，1212n12bn (anbn)(anbn)n .1212n127考点 3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为 3 类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(1)一题多解已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()a7b5 c5d7(2)设sn是等比数列an的前n项和，若3，则()s4s2s6s4a2b73cd1 或 2310(3)已知等比数列an共有 2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比q_.(1)d d(2)b b(3)2(1)法一：(基本量法)设数列an的公比为q，则由题意得error!所以error!或error!所以a1a10a1(1q9)7.法二：(性质法)由error!解得error!或error!所以error!或error!所以a1a10a1(1q9)7.(2)设s2k，s43k，数列an为等比数列，s2，s4s2，s6s4也为等比数列，又s2k，s4s22k，s6s44k，s67k， ，故选 b.s6s47k3k73(3)由题意，得error!解得error!所以q2.s偶s奇160808在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度教师备选例题数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的 4 倍，前三项之积为 64，则此数列的通项公式an_. 12n1设此数列an的公比为q，由题意，知s奇s偶(13)4s偶，所以s奇3s偶，所以q .s偶s奇13又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)a q364，3 1所以a1q4.又q ，所以a112，所以ana1qn112n1.13(13)1.已知数列an是等比数列，若a21，a5 ，则18a1a2a2a3anan1(nn n)的最小值为()ab
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