高一数学同步辅导

对数函数及其性质对数函数及其性质 要点梳理要点梳理 要点一 对数函数的概念要点一 对数函数的概念 1 函数 y logax a 0 a 1 叫做对数函数 其中是自变量 函数的定义域是 值域为 x 0 R 2 判断一个函数是对数函数是形如的形式 即必须满足以下条件 log 0 1 a yx aa 且 1 系数为 1 2 底数为大于 0 且不等于 1 的常数 3 对数的真数仅有自变量 x 要点诠释 要点诠释 1 只有形如 y logax a 0 a 1 的函数才叫做对数函数 像 等函数 它们是由对数函数变化得到的 都不是对数函数 log 1 2log log3 aaa yxyx yx 2 求对数函数的定义域时应注意 对数函数的真数要求大于零 底数大于零且不等于 1 对 含有字母的式子要注意分类讨论 要点二 对数函数的图象与性质要点二 对数函数的图象与性质 a 00 a 1 图象 定义域 0 值域 R 过定点 1 0 即 x 1 时 y 0 在 0 上增函数在 0 上是减函数 性质 当 0 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 要点诠释 要点诠释 关于对数式 logaN 的符号问题 既受 a 的制约又受 N 的制约 两种因素交织在一起 应用时经常出错 下面介绍一种简单记忆方法 供同学们学习时参考 以 1 为分界点 当 a N 同侧时 logaN 0 当 a N 异侧时 logaN1 时 随 a 的增大 对数函数的图像愈靠近 x 轴 当 0 a0 a 1 N 0 c 0 c 1 这个公式称为对数的换底公式 这个公式称为对数的换底公式 a N N c c a log log log 要点四 反函数要点四 反函数 1 反函数的定义 反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域 如果由函数所解得的也是一个函数 A B yf x yf x xy 即对任意的一个 都有唯一的与之对应 那么就称函数是函数的反函yB xA xy yf x 数 记作 在中 是自变量 是的函数 习惯上改写成 1 xfy 1 xfy yxy 1 yfx 的形式 函数 与函数 为同一函 xB yA 1 xfy yB xA 1 yfx xB yA 数 因为自变量的取值范围即定义域都是 B 对应法则都为 1 f 由定义可以看出 函数的定义域 A 正好是它的反函数的值域 函数的 yf x 1 yfx yf x 值域 B 正好是它的反函数的定义域 1 yfx 要点诠释 要点诠释 并不是每个函数都有反函数 有些函数没有反函数 如 一般说来 单调函数有反函数 2 yx 2 2 反函数的性质 反函数的性质 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 yx 2 若函数图象上有一点 则必在其反函数图象上 反之 若在反函数 yf x a b b a b a 图象上 则必在原函数图象上 a b 典型例题典型例题 类型一 函数的定义域类型一 函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域 值域 其方法与一般函数的定义域 值域的求法类似 但要注 意对数函数本身的性质 如定义域 值域及单调性 在解题中的重要作用 例 1 求下列函数的定义域 1 2 2 logayx log 4 01 a yx aa 且 答案 1 2 0 x x 4 x x 解析 由对数函数的定义知 解出不等式就可求出定义域 2 0 x 40 x 1 因为 即 所以函数 2 0 x 0 x 2 log 0 a yxx x 的定义域为 2 因为 即 所以函数 40 x 4x log 4 4 a yxx x 的定义域为 总结升华 与对数函数有关的复合函数的定义域 求定义域时 要考虑到真数大于 0 底数大于 0 且不等于 1 若底数和真数中都含有变量 或式子中含有分式 根式等 在解答问题时需要保证各个方面 都有意义 一般地 判断类似于的定义域时 应首先保证 log a yf x 0f x 举一反三 举一反三 变式 1 求下列函数的定义域 1 y 2 且 1 1 log 1 2 1 33 x x ln 2 xx yak A0a 1 akR 答案 1 1 2 2 略 2 3 2 3 解析 1 因为 所以 1 1 log 0 1 log 01 2 1 2 1 x x x1 011 3 2 x x x 所以函数的定义域为 1 2 2 3 2 3 2 因为 所以 20 xx ak A 2 x a k 当时 定义域为 0k R 当时 0k i 若 则函数定义域为 2a 2 logak ii 若 且 则函数定义域为 02a 1a 2 logak iii 若 则当时 函数定义域为 当时 此时不能构成函数 否则定义域为2a 01k R1k 变式 2 函数的定义域为 1 2 求的定义域 2 x yf 2 log yfx 答案 16 2 答案 由 可得的定义域为 4 再由得的12x yf x 2 1 2 1 log4 2 x 2 log yfx 定义域为 16 2 类型二 对数函数的单调性及其应用类型二 对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以 比较大小 解不等式 判断单调性 求单调区间 求值域和最值 要求同学们 一是牢固掌握对数函数的单调性 二是理解和掌握复合函数的单调性规律 三是树立定义域 优先的观念 例 2 比较下列各组数中的两个值大小 1 33 log 3 6 log 8 9 2 0 20 2 log1 9 log3 5 3 与 2 log 5 7 log 5 4 与 3 log 5 6 log 4 5 log 4 2 log 4 8 aa 01aa 且 思路点拨 利用函数的单调性比较函数值大小 答案 1 2 4 5 略 解析 由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成 1 解法 1 画出对数函数的图象 横坐标为 3 6 的点在横坐标为 8 9 的点的下方 所以 3 logyx 33 log 3 6log 8 9 解法 2 由函数在 R 上是单调增函数 且 3 6 8 9 所以 3 logyx 33 log 3 6log 8 9 2 与第 1 小题类似 在 R 上是单调减函数 且 1 9 3 5 所以 0 2 logyx 0 20 2 log1 9log3 5 3 函数和的图象如图所示 当时 的图 2 logyx 7 logyx 1x 2 logyx 象在的图象上方 这里 7 logyx 5x 27 log 5log 5 4 3366 log 5log 31log 6log 4 36 log 5log 4 5 注 底数是常数 但要分类讨论 a 的范围 再由函数单调性判断大小 解法 1 当时 在 0 上是增函数 且 5 1 5 9 所以 1a logayx log 4 2log 4 8 aa 当时 y logax 在 0 上是减函数 且 4 2 4 8 所以 01a log 4 2log 4 8 aa 解法 2 转化为指数函数 再由指数函数的单调性判断大小 令 则 令 则 1 log 4 2 a b 1 b a 4 2 2 log 4 8 a b 2 4 8 b a 当时 在 R 上是增函数 且 4 2 4 8 1a x ya 所以 b1 b2 即log 4 2log 4 8 aa 当时 在 R 上是减函数 且 4 2b2 即 aa log 4 2 log 4 8 总结升华 比较两个对数值的大小的基本方法是 1 比较同底的两个对数值的大小 常利用对数函数的单调性 2 比较同真数的两个对数值的大小 常有两种方法 先利用对数换底公式化为同底的对数 再利 用对数函数的单调性和倒数关系比较大小 利用对数函数图象的互相位置关系比较大小 3 若底数与真数都不同 则通过一个恰当的中间量来比较大小 例 3 比较其中 0 a 11 的大小 11 log log log log abab ba ba 答案 11 loglogloglog abba ba ab 解析 由 0 a 11 得 1 a b 1 b a 1 loglog1 aaa b 1 loglog1 bbb a 11 loglog ba ab 即 11 loglog ba ab loglog ba ab loglog ba ab 11 loglogloglog abba ba ab 总结升华 若底数与真数都不同 则通过一个恰当的中间量来比较大小 中间变量常常用 0 和 1 用 0 和 1 把所给的数先分两组 然后组内再比较大小 举一反三 举一反三 变式 1 已知则 3 24 log 0 3 log 3 4log 3 6 1 5 5 5 abc A B C D abc bac acb cab 答案 C 解析 另 在同一坐标系下作出三个函数图像 由图像可 2 log 3 4m 4 log 3 6n 3 10 log 3 l 得 mln 又 为单调递增函数 5xy acb 故选 C 变式 2 比较 323 log log3 log2abc 的大小 答案 cba 解析 33233 log2log3log31log 3log cba 例例 4 4 求函数的值域和单调区间 2 1 2 log 21 yxx 思路点拨 先解不等式 保证原式有意义 然后再在定义域范围内求内函数 2 210 xx 的单调区间 然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性 同增异减 来求 2 21txx 解 答案 1 增区间为 减区间为 1 12 12 1 解析 设 则 y 为减函数 且 2 21txx 2 1 2tx 1 2 log t02t 即函数的值域为 1 再由 函数的定义域为 1 2 log 21y 2 1 2 log 21 xx 即 2 210 xx 1212x 在上递增而在上递减 而 y 为减函数 2 21txx 12 1 1 12 1 2 log t 函数的增区间为 减区间为 2 1 2 log 21 yxx 1 12 12 1 总结升华 对数型复合函数一般可分为两类 一类是对数函数为外函数 即型 另一log a yf x 类是内函数为对数函数 即型 对于型的函数的单调性 有以下结论 函数 log a yfx log a yf x 的单调性与函数的单调性 当时相同 当时相反 log a yf x uf x 0f x 1a 01a 研究型复合函数的单调性 一般用复合法来判定即可 复合函数的单调性就是内函数与 log a yfx 外函数的单调性 同增异减 研究对数型复合函数的单调性 一定要注意先研究函数的定义域 也就是要坚持 定义域优先 的原 则 举一反三 举一反三 变式 1 求函数的值域和单调区间 2 2 log4yx 答案 减区间为 增区间为 2 0 0 解析 设 则 y t 为增函数 2 4tx 2 44tx 2 log 2 222 loglog 4 log 42tx 的值域为 2 2 log4yx 2 再由 的定义域为 2 2 log 4 yx R 在上是递增而在上递减 而 y t 为增函数 2 4tx 0 0 2 log 函数 y 的减区间为 增区间为 2 2 log 4 x 0 0 变式 2 求函数的单调区间 log x a yaa 答案 减区间是 和 1 1 解析 若则递增 且递减 而 即 1 a logayt x taa 0 x aa 1 x aax 在上递减 log x a yaa 1 若 则递减 且递增 而 即 01a logayt x taa 0 x aa 1 x aax 在上递减 log x a yaa 1 综上所述 函数的单调递减区间是 和 log x a yaa 1 1 类型三 函数的奇偶性类型三 函数的奇偶性 例 5 判断下列函数的奇偶性 1 2 2 ln 2 x f x x 2 lg 1 f xxx 思路点拨 判断函数奇偶性的步骤是 1 先求函数的定义域 如果定义域关于原点对称 则进行 2 如果定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 2 求 如果 则函 fx fxf x 数是偶函数 如果 则函数是奇函数 fxf x 答案 1 奇函数 2 奇函数 解析 首先要注意定义域的考查 然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行 1 由 2 0 22 2 x x x 可得 所以函数的定义域为 2 2 关于原点对称 又 1 222 lnln ln 222 xxx fxf xfxf x xxx 即 所以函数是奇函数 2 ln 2 x f x x 总结升华 此题确定定义域即解简单分式不等式 函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质 说明 判断对数形式的复合函数的奇偶性 不能轻易直接下结论 而应注意对数式的恒等变形 2 解析 由 2 1 0 xxxR 可得 所以函数的定义域为 R 关于原点对称 又 22 22 22 1 1 1 lg 1 lglg lg 1 11 xxxx fxxxxxf x xxxx 即 f x f x 所以函数 2 lg 1 f xxx 是奇函数 总结升华 此题定义域的确定可能稍有困难 函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧 要求掌 握 类型四 反函数类型四 反函数 例 6 求出下列函数的反函数 1 2 1 6 logyx 1 x y e 答案 1 2 1 6 x y 1 log e yx 解析 1 对数函数 它的底数为 所以它的反函数是指数函数 1 6 logyx 1 6 1 6 x y 2 指数函数的反函数是对数函数 1 x y e 1 log e yx 总结升华 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的 特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确 定的自变量的取值范围不一致时 一定要注明反函数的定义域 举一反三 举一反三 高清课堂 对数函数高清课堂 对数函数 369070369070 例例 5 5 变式 1 若函数 yf x 是函数且 a 1 的反函数 且 2 1f 则 f x 0 x yaa A x 2 log B x 2 1 C x 2 1 log D 2 2 x 答案 A 解析 解法 1 函数 yf x 是函数且 a 1 的反函数 0 x yaa 又 2 1f logaf xx log 21 a 2a 故选 A 解法 2 函数 yf x 是函数且 a 1 的反函数 且 2 1f 0 x yaa 点 1 2 在函数的图象上 x ya 2a 故选 A 类型五 利用函数图象解不等式类型五 利用函数图象解不等式 例 7 若不等式 当时恒成立 求实数 a 的取值范围 2log0 x a x 1 0 2 x 思路点拨 画出函数的图象与函数的图象 然后借助图象去求借 2xy logayx 答案 2 2 1 1 2 a 答案 要使不等式在时恒成立 即函数的图在内恒在2log0 x a x 1 0 2 x logayx 1 0 2 函数图象的上方 而图象过点 由右图可知 2xy 2xy 1 2 2 1 log2 2 a 显然这里 0 a 1 函数递减 又 logayx 2 1 log2log 2 aaa 即 所求的 a 的取值范围为 2 1 2 a 2 2 1 2 a 2 2 1 1 2 a 总结升华 数 是数学的特征 它精确 量化 最有说服力 而 形 则形象 直观 能简化思 维过程 降低题目的难度 简化解题过程 把它们的优点集中在一起就是最佳组合 本例中 利用图形的 形象直观快速地得到答案 简化了解题过程 正因为如此 数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思 想方法之一 因此我们必须熟练地掌握这一思想方法 并能灵活地运用它来分析和解决问题 在涉及方程与不等式的问题时 往往构造两个函数与 则 的实数解等价于两 f x g x f x g x 个函数与的图象的交点的横坐标 而的的解等价于函数的图象 yf x yg x f x g x yf x 在的图象下方的点的横坐标的取值范围 利用图象的形象性 直观性 可使问题得到顺利地解决 yg x 而且分散了问题解决的难度 简化了思维过程 因此 我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式 的问题 举一反三 举一反三 变式 1 当 x 1 2 时 不等式恒成立 求 a 的取值范围 2 1 logaxx 答案 1 a 2 答案 设 要使当 x 1 2 时 不等式恒 2 1 1 f xx 2 logafxx 2 1 logaxx 成立 只需在 1 2 上的图象在的下方即可 当 2 1 1 f xx 2 logafxx 0 a 1 时 由图象知显然不成立 当 a 1 时 如图 2 2 5 所示 要使在 1 2 上 的图象在的下方 2 1 1 f xx 2 logafxx 只需 12 2 2 ff 即 1 a 2 2 2 1 log 2 a log 21 a 类型六 对数函数性质的综合应用类型六 对数函数性质的综合应用 例 8 1 已知函数的定义域为 求实数的取值范围 2 lg 2 yxxa Ra 2 已知函数的值域为 求实数的取值范围 2 lg 2 yxxa Ra 3 的定义域为 求实数的取值范围 2 2 log log aa f xxx 1 0 2 a 思路点拨 与求函数定义域 值域的常规问题相比 本题属非常规问题 关键在于转化成常规问题 的定义域为 R 即关于的不等式的解集为 R 这是不等式中的常规问题 f xx 2 20 xxa 的值域为 R 与恒为正值是不等价的 因为这里要求取遍一切实数 即要求 f x 2 2xxa f x 取遍一切正数 考察此函数的图象的各种情况 如图 我们会发现 使能取遍一切正数 2 2uxxa u 的条件是 0 答案 1 2 3 1a 1a 1 32 解析 1 的定义域为 R 2 lg 2 yxxa 恒成立 2 20 xxa 440a 1a 2 的值域为 R 2 lg 2 yxxa 取遍一切正数 2 2xxa 440a 1a 3 由题意 问题可等价转化为不等式的解集为 记 2 2 log0 a xx 1 0 2 作图形 如图所示 只需过点 2 122 log a Cyx Cyx 12 CC与 2 C 1 1 2 4 即满足 且即可 解得 021a 1 0 2 a 2 2 11 log 22 a 1 32 a 总结升华 如果函数的定义域为某个区间 D 则函数在这个区间 D 的任何子集内部都有 f x f x 意义 如果函数在区间 E 上有意义 而的定义域为 D 则必有 f x f xED 巩固练习巩固练习 1 若 则的取值范围是 2 log1 5 a a A B 或 C D 或 2 0 5 a 2 3 a 1a 2 1 5 a 2 0 5 a 1a 2 函数的定义域为 1 2 log 21 yx A B C D 1 2 1 1 1 2 1 3 函数的图象关于 2 2 log 1 f xxxxR A 轴对称 B 轴对称 C 原点对称 D 直线对称xyyx 4 函数的大致图象是 2 log x yx x 5 设 则 5 log 4a 2 5 log 3b 4 log 5c A B C D acb bca abc bac 6 图中曲线是对数函数 y logax 的图象 已知 a 值取 则相应于 C1 C2 C3 C4的 a 值 10 1 5 3 3 4 3 依次为 A B 10 1 5 3 3 4 3 5 3 10 1 3 4 3 C D 10 1 5 3 3 3 4 5 3 10 1 3 3 4 7 函数的值域为 2 log 31 x f x A B C D 0 0 1 1 8 下列函数中 在上为增函数的是 0 2 A B 1 2 log 1 yx 2 2 log1yx C D 2 1 logy x 2 1 2 log 45 yxx 9 函数的图象过定点 log23 a yx 10 已知 则 0 1 间的大小关系是 log 7log 70 mn mn 11 已知函数 则 1 2xf x 1 4 f 12 函数是 奇 偶 函数 2 lg1f xxx 13 已知函数 判断的奇偶性和单调性 1010 1010 xx xx f x f x 答案与解析答案与解析 1 答案 D 解析 由 当时 为增函数 所以 得 当 2 log1log 5 aaa 1a logayx 2 5 a 1a 时 为减函数 所以 得 故选 D 01a logayx 2 5 a 2 0 5 a 2 答案 C 解析 要使函数有意义 则解得 故选 C 1 2 210 log210 x x 1 1 2 x 3 答案 C 解析 22 22 log 1 log 1 fxf xxxxx 22 22 log 1 log 10 xx 为奇函数 故其图象关于原点对称 f x 4 答案 D 解析 易知为奇函数 又时 所以选 D f x0 x 2 logf xx 5 答案 D 解析 因为 所以 44 log 5log 41cc 55 0log 41 0log 31aa 所以 故选 2 5555 log 3log 3 log 4log 4ba Abac 6 答案 A 解析 在第一象限内 从顺时针方向看图象 逐渐增大 在第四象限内 1a a 4 3 3 从顺时针方向看图象 逐渐增大 所以相应于 C1 C2 C3 C4的 a 值依次为01a a 31 510 选 A 4 3 1 3 3 5 10 7 答案 A 解析 因为 所以 故选 A 311 x 2 log 31 x f x 2 log 10 8 答案 A 解析 复合函数的单调性是由内函数 外函数的单调性决定的 两个函数的单调性 同增异减 即 内外函数的单调性相同 复合函数单调增 内外函数的单调性相反 复合函数单调减 9 答案 1 3 解析 函数的图象过定点 函数的图象过定点 1 3 logayx 1 0 log23 a yx 10 答案 01nm 解析 又在 0 1 内递增且函数值小log 7log 70 mn 77 0loglogmn 7 logyx 于 0 01nm 11 答案 1 解析 由得 12 242 x f x 1x 1 4 1f 12 答案 奇 解析 为奇 1lg 1 1 lg 1lg 2 2 2 xfxfxx xx xxxfRx 且 函数 13 答案 奇函数 增函数 解析 1 2 2 1010101 1010101 xxx xxx f xxR 2 2 1010101 1010101 xxx xxx fxf x xR 是奇函数 f x 2 且 2 12 2 101 101 x x f xxRx x 设 12 xx 则 1212 1212 2222 12 2222 1011012 1010 0 101101 101 101 xxxx xxxx f xf x 12 22 10 10 xx 为增函数 f x 幂函数 1 幂函数的定义 幂函数的定义 一般地 我们把形如的函数称为幂函数 其中是自变量 是常数 xy x 注意 注意 1 幂函数的特征是以幂的底为自变量 指数为常数 x 2 所有的幂函数在区间都有定义 并且图象都通过点 1 1 0 3 学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点 形如形式的函数不是幂函数 2 2 2 xyxyxy 幂函数中的为任意实数 xy 确定一个幂函数 只需求出即可 2 幂函数的图像 幂函数的图像 我们只讨论幂函数中时的图象 xy 1 2 1 3 2 1 在同一平面直角坐标系作出幂函数的图象 1 2 1 32 xyxyxyxyxy 1 列表 描点 连线 用光滑的曲线将各点连结起来 如图 2 记熟上面各函数图象的形状 及它们之间的 高低 关系 3 函数可记为 x y 1 1 xy 4 时 图象都过点 时 只过 1 1 不过 0 0 点 0 a 1 1 0 0 0 a 3 幂函数的性质幂函数的性质 从上图可以观察到幂函数的特征如下 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1 xy 定义域RRR 0 0 xxxR 值域R 0 R 0 0 yyyR 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 时 0 x 增 时 0 x 减 单调性增 时 0 x 减 增增 时 0 x 减 定点 1 1 0 0 1 1