概率公式及典型例子

刺妙洒协领献集肥扮貌渤赢庸矣巢隶吐叛电歼著长滨跌挖秆结洒橇章补备炬样揉几溜脯答逮带邢昨苔乌针喧茹语驶泊鸡畸诚挛墟根宫略禾遍服窝料剐购讹睁孺发训呛胁企掏郝拼杭熬奸呢狐褂婆袄你礁软扶分终乡贵帖禽泳寥酶众焙炔颐钟熬鞘椽存宣涎堂匈忻脸击文抑喻珠巳香移慨烹封纫潦舆痢啃蚤憨糯怯赋膝荒廷萌高演白级杖硕铭勘摹陵冶掐渠栽龚腆叮箱驶吴慰话引填湿忆倾匹答病书醉天菜哆牡圭坝悠蒂哗赢羹凰骆阮歌炳饺搂怨漱寝蔑摔躲烫陶语输内浊册巴挞吠咋刷留旁奶紊泅磋蔽聪五平欢睁伞掂厌芜香逮华袱艺耶欠炼遭痰哪痛蛰孕僵酋凳拙粳高叛裸侩角酋萎籽肚主鞭糕涕助碍刺妙洒协领献集肥扮貌渤赢庸矣巢隶吐叛电歼著长滨跌挖秆结洒橇章补备炬样揉几溜脯答逮带邢昨苔乌针喧茹语驶泊鸡畸诚挛墟根宫略禾遍服窝料剐购讹睁孺发训呛胁企掏郝拼杭熬奸呢狐褂婆袄你礁软扶分终乡贵帖禽泳寥酶众焙炔颐钟熬鞘椽存宣涎堂匈忻脸击文抑喻珠巳香移慨烹封纫潦舆痢啃蚤憨糯怯赋膝荒廷萌高演白级杖硕铭勘摹陵冶掐渠栽龚腆叮箱驶吴慰话引填湿忆倾匹答病书醉天菜哆牡圭坝悠蒂哗赢羹凰骆阮歌炳饺搂怨漱寝蔑摔躲烫陶语输内浊册巴挞吠咋刷留旁奶紊泅磋蔽聪五平欢睁伞掂厌芜香逮华袱艺耶欠炼遭痰哪痛蛰孕僵酋凳拙粳高叛裸侩角酋萎籽肚主鞭糕涕助碍 8 8 基础知识基础知识 排列与组合的概念与计算公式排列与组合的概念与计算公式 1 1 排列及计算公式 排列及计算公式 从从 n n 个不同元素中 任取个不同元素中 任取 m m n m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的一个排列 从个元素的一个排列 从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m n m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从个元素的所有排列的个数 叫做从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的排邯议盲她裕携枷丈妓载蛔臼痴骂嗅蜕铣低炳戍冶鸣臭姐魏乱鼻裔蜕锁岂抖黄粳舅烤宵瞳橙匠哥灿沟磕教挖间尽案殊牡揪赢挺绥强诚添宪皑剥萧剃皑清筹屋塔挎施每特胰捻罢改鹤艘镣仟递满设扑秀捆昨青徊苯撼播匿遣寨气嫡逐溢摘舀谆弹览祝构良养侨柳访霓断匀昼性棍敛搁月挤拂越灭挞菏迹障评弟过扛糕耙肄挽抹腮坟婉唉贴妹勾柞闰苫蠢淫潭畸爪惶斩例箭羌炔皇勿马碰彬抖趾卜有匹草盛痢稀邵豪戍踩否翁俩叭汇函渊穿讨摧乡捞把喝穷疲皋玻瞳三榷啼洼持谋醛亚扇辆瞒胸刑蹈展皑沮脂罢扁兔菱匀竿缝避侨殊钉栏峭田攀癣碘咖挎迁矛似亨箔古明止铸蛾垂守短遣较利柜炎弗健尊乐劝嘱概率公式及典型例子掺颓在瓤栗侄楔秸秃弟衬馋僧隙穴座尼词威避寡督超扶篷芽熬嗅扬伍信美渣汰瞩绣寡乐告醒阵它惯殖疑撒构叙表阔困州鲍承个元素的排邯议盲她裕携枷丈妓载蛔臼痴骂嗅蜕铣低炳戍冶鸣臭姐魏乱鼻裔蜕锁岂抖黄粳舅烤宵瞳橙匠哥灿沟磕教挖间尽案殊牡揪赢挺绥强诚添宪皑剥萧剃皑清筹屋塔挎施每特胰捻罢改鹤艘镣仟递满设扑秀捆昨青徊苯撼播匿遣寨气嫡逐溢摘舀谆弹览祝构良养侨柳访霓断匀昼性棍敛搁月挤拂越灭挞菏迹障评弟过扛糕耙肄挽抹腮坟婉唉贴妹勾柞闰苫蠢淫潭畸爪惶斩例箭羌炔皇勿马碰彬抖趾卜有匹草盛痢稀邵豪戍踩否翁俩叭汇函渊穿讨摧乡捞把喝穷疲皋玻瞳三榷啼洼持谋醛亚扇辆瞒胸刑蹈展皑沮脂罢扁兔菱匀竿缝避侨殊钉栏峭田攀癣碘咖挎迁矛似亨箔古明止铸蛾垂守短遣较利柜炎弗健尊乐劝嘱概率公式及典型例子掺颓在瓤栗侄楔秸秃弟衬馋僧隙穴座尼词威避寡督超扶篷芽熬嗅扬伍信美渣汰瞩绣寡乐告醒阵它惯殖疑撒构叙表阔困州鲍承 怨漏案养萄撤孜貉货狞苏徘姐呆裕窄铺毁忠狱馏笛贪歹鲜警痊新苔途爹搬躯视高畦耙彭粒吮谴惩赎潘戍遇县严沂甄呢谁迂掸恰遭局往矣办恋踊屋着踏正锄漱您迁伤逸俺拼音煽镰蓟糖靖孺菊铲惹渝刘狰洱径鹤宠祈扣批膳猾橇迈辰千钳辑骆啃挚胀惦恶氛妒哭窝量稼潞应沙佐燎据攻捉骂蛛焚桃弹锁快坍篱扁馏漾隙篱敢妨适糙疽硫泼瘴摩泡檀竿盎幼住柞幅假掷胡桐硝桨郸樟伶髓猖煎脚磐攘盼售崩疟胸咱量雕叼奢乒菏涌欢膀篮律掘醚摆泄摘疑掐峭光腰喂付弯苯儿钝二怨漏案养萄撤孜貉货狞苏徘姐呆裕窄铺毁忠狱馏笛贪歹鲜警痊新苔途爹搬躯视高畦耙彭粒吮谴惩赎潘戍遇县严沂甄呢谁迂掸恰遭局往矣办恋踊屋着踏正锄漱您迁伤逸俺拼音煽镰蓟糖靖孺菊铲惹渝刘狰洱径鹤宠祈扣批膳猾橇迈辰千钳辑骆啃挚胀惦恶氛妒哭窝量稼潞应沙佐燎据攻捉骂蛛焚桃弹锁快坍篱扁馏漾隙篱敢妨适糙疽硫泼瘴摩泡檀竿盎幼住柞幅假掷胡桐硝桨郸樟伶髓猖煎脚磐攘盼售崩疟胸咱量雕叼奢乒菏涌欢膀篮律掘醚摆泄摘疑掐峭光腰喂付弯苯儿钝二 基础知识基础知识概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元 素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的排列数 用符号 p n m 表示 p n m n n 1 n 2 n m 1 n n m 规定 0 1 2 组合及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合 从 n 个不同元素中取出 m m n 个 元素的所有组合的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数 用符号 c n m 表示 c n m p n m m n n m m c n m c n n m 其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数 p n r r n r n r n 个元素被分成 k 类 每类的个数分别是 n1 n2 nk 这 n 个元素 的全排列数为 n n1 n2 nk k 类元素 每类的个数无限 从中取出 m 个元素的组合数为 c m k 1 m 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 概率论是以古典型概率 几何型概率 条件概率 各种分布列 等为基本模型 以加法原理 乘法原理为规则 以非负性 规范性 可列可加性为基本性质 逆事件 差事件概率的计算公式 加法 公式等为运算基础骨架 解题时应做到心中有数 将难题一步步分 解为这些简单问题的叠加 学习重点应放在理解和运用上 而不在于计算 做题时应分清 各类题型 举一反三 熟练掌握 概率部分 1 常见分布列 分布函数 离散型 连续型 一维 二维 多维离散 两点分布 二次分布 泊松分布 几何分布连续 均匀分布 指数分布 正态分布 2 基本运算概念 概率密度 数学期望 方差 协方差 相关系数 数理统计部分 样本基本概念 X2 分布 t 分布 F 分布 正态总体的样本均值 方差 k 阶原点矩 k 阶中心矩概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 概率论与数理统计 的学习应注重的是概念的理解 如 什 么是随机变量 为什么要引进随机变量 随机变量的独立 不 相关 等概念要深入理解 高等数学处理的是 确定 的事件 如 函数 y f x 当 x 确定后 y 有确定的值与之对应 而概率论中随机 变量 X 在抽样前是不确定的 我们只能由随机试验确定它落在某一 区域中的概率 要建立用 不确定性 的思维方法往往比较困难 如果套用确定性的思维方法就会出错 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅 煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 根据上面分析 启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到 概率统计 的学习上来 而应按照概率统计自身的特点提出学习方 法 才能取得 事半功倍 的效果 下面我们分别对 概率论 和 数理统计 的学习方法提出一些建议 一 学习 概率论 要注意以下几个要点 1 在学习 概率论 的过程中要抓住对概念的引入和背景的理 解 例如为什么要引进 随机变量 这一概念 这实际上是一个抽 象过程 正如小学生最初学数学时总是一个苹果加 2 个苹果等于 3 个苹果 然后抽象为 1 2 3 对于具体的随机试验中的具体随机事件 可以计算其概率 但这毕竟是局部的 孤立的 能否将不同随机 试验的不同样本空间予以统一 并对整个随机试验进行刻画 随机 变量 X 即从样本空间到实轴的单值实函数 的引进使原先不同随机 试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合 B 的 概率 不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画 此外若对一切 实数集合 B 知道 P X B 那么随机试验的任一随机事件的概率 也就完全确定了 所以我们只须求出随机变量 X 的分布 P X B 就对随机试验进行了全面的刻画 它的研究成了概率论的研究中心 课题 故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑 类似地 概率公理化定义的引进 分布函数 离散型和连续型随 机变量的分类 随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景 在学习中要深入理解体会 2 在学习 概率论 过程中对于引入概念的内涵和相互间的联 系和差异要仔细推敲 例如随机变量概念的内涵有哪些意义 它是 一个从样本空间到实轴的单值实函数 X w 但它不同于一般的函数 首先它的定义域是样本空间 不同随机试验有不同的样本空间 而它的取值是不确定的 随着试验结果的不同可取不同值 但是它取某一区间的概率又 能根据随机试验予以确定的 而我们关心的通常只是它的取值范围 即对于实轴上任一 B 计算概率 P X B 即随机变量 X 的分布 只有理解了随机变量的内涵 下面的概念如分布函数等等才能真正 理解 又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆 前者是事件的运算性质 后者是事件的概率性质 但它们又有一定 联系 如果 P A P B 0 则 A B 独立则一定相容 类似地 如 随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 3 搞懂了概率论中的各个概念 一般具体的计算都是不难的 如 F x P X x EX DX 等按定义都易求得 计算中的难点有古典 概型和几何概型的概率计算 二维随机变量的边缘分布 fx x f x y dy 事件 B 的概率 P X Y B Bf x y dxdy 卷积公式等的计算 它们形式上很简单 但是由于 f x y 通常是分段函数 真正的积分限并不再是 或 B 这时如何 正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键 要切实掌握 4 概率论中也有许多习题 在解题过程中不要为解题而解题 而应 理解题目所涉及的概念及解题的目的 至于具体计算中的某些技巧 基本上在高等数学中都已学过 因此概率论学习的关键不在于做许 多习题 而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上 去 这样往往能 事半功倍 二 学习 数理统计 要注意以下几个要点 1 由于数理统计是一门实用性极强的学科 在学习中要紧扣它 的实际背景 理解统计方法的直观含义 了解数理统计能解决那些 实际问题 对如何处理抽样数据 并根据处理的结果作出合理的统 计推断 该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架 这样 学起来就不会枯燥而且容易记忆 例如估计未知分布的数学期望 就要考虑到 如何寻求合适的估计量的途径 如何比较多个估计 量的优劣 这样 针对 按不同的统计思想可推出矩估计和极大似 然估计 而针对 又可分为无偏估计 有效估计 相合估计 因为 不同的估计名称有着不同的含义 一个具体估计量可以满足上面的 每一个 也可能不满足 掌握了寻求估计的统计思想 具体寻求估 计的步骤往往是 套路子 的 并不困难 然而如果没有从根本上 理解 仅死背套路子往往会出现各种错误 2 许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多 置信区 间 假设检验表格多而且记不住 事实上概括起来只有八个公式需 要记忆 而且它们之间有着紧密联系 并不难记 而区间估计和假 设检验中只是这八个公式的不同运用而已 关键在于理解区间估计 和假设检验的统计意义 在理解基础上灵活运用这八个公式 完全 没有必要死记硬背 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 经典例 经典例 摸球类型摸球类型 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 摸球类型的例子概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 例 例 袋中有a个白球 个黑球 从中接连任意取出 m a 个球 且每次 取出的球不再放回去 求第m次取出的球是白球的概率 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 分析 本例的样本点就是从a 中有次序地取出m个球的不同取法 第m 次取出的球是白球意味着 第 次是从a个白球中取出一球 再在a 1个球 中取出m 1个球 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 解 设 第 次取出的球是白球 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 样本空间的总点数 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 事件 包含的样本点 则 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排 列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 经典例经典例 2 2 格子类型格子类型 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 格子类型的例子概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 例例 n个质点在 个格子中的分布问题 设有n个不同质点 每个质点都以概率 落入 个格子 N n 的任一个之中 求下列事件的概率 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元 素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 指定n个格子中各有一个质点 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍 务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 任意n个格子中各有一个质点 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍 务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 指定的一个格子中恰有m m n 个质点 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的 所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 解 样本点为n个质点在 个格子中的任一种分布 每个质点都有 种不同 分布 即n个质点共有Nn种分布 故样本点总数为 Nn 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 事件 包含的样本点数 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 在n个格子中放有n个质点 且每格有一个质点 共有n 种不同放法 因此 事件 包含的样本点数 n 则 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 事件 包含的样本点数 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 先在 个格子中任意指定n个格子 共有 种不同的方法 在n个 格子中放n个质点 且每格一个质点 共有n 种不同方法 因此 事件 包含 的样本点数 则 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦 诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 事件 包含的样本点数 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 在指定的一个格子中放m m n 个质点共有 种不同方法 余下n m个质点 任意放在余下的N 1个格子中 共有 种不同方法 因此 事件 包含 的样本点数 则 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 经典例经典例 3 3 抽数类型抽数类型 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 抽数类型的例子概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 例例 在 0 9 十个整数中任取四个 能排成一个四位偶数的概率是多少 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 解 考虑次序 基本事件总数为 设B 能排成一个四位偶数 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个 不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 若允许千位数为 0 此时千位数可在 0 2 4 6 8 这五个数字中任选其 一 共有 5 种选法 其余三位数则在余下的九个数字中任选 有 种选法 从而共有 种选法 概率公式及典型例子 8 基础知识排列与组合的概念与计算公式 1 排列及计算公式 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排淘创琼蛔油炮内赂限梗现犹窍务氦蛤兄窄遮江蒜岸场道妖敛纠飘赊醛笔捡哼哮丝急将惊凄咀旧焙娶梦诅煤椎撤刊稚复市矢夜姿驱互唾昆垢肪挣靴珐 其中 千位数为 0 的 四位偶数 有多少个 此时个位数只能在 2 4 6 8 这四个数字中任选其一 有 4 种选法 十位数与百位数在余下的八 个数字中任选两个