电磁感应中的导轨模型

1 电磁感应中的电磁感应中的 杆杆 导轨导轨 模型模型 一 单棒模型一 单棒模型 阻尼式阻尼式 1 电路特点 导体棒相当于电源 2 安培力的特点 安培力为阻力 并随速度减小而减小 3 加速度特点 加速度随速度减小而减小 4 运动特点 a 减小的减速运动 5 最终状态 静止 6 三个规律 1 能量关系 2 动量关系 3 瞬时加速度 7 变化 1 有摩擦 2 磁场方向不沿竖直方向 电动式电动式 1 电路特点 导体为电动棒 运动后产生反电动势 等效于电机 2 安培力的特点 安培力为运动动力 并随速度增大而减小 3 加速度特点 加速度随速度增大而减小 4 运动特点 a 减小的加速运动 5 最终特征 匀速运动 6 两个极值 1 最大加速度 v 0 时 E反 0 电流 加速度最大 2 最大速度 稳定时 速度最大 电流最小 7 稳定后的能量转化规律 8 起动过程中的三个规律 1 动量关系 2 能量关系 3 瞬时加速度 发电式发电式 1 电路特点 导体棒相当于电源 当速度为 v 时 电动势 E Blv 2 安培力的特点 安培力为阻力 并随速度增大而增大 v v0 0 2 2 B B l v FBIl Rr 2 2 B FB l v a mm Rr 2 0 1 0 2 mvQ 0 0BIltmv 0 mv q Bl Bls qn RrRr 2 2 B FB l v a mm Rr B FBIl BElv Bl Rr 克 克 EE Bl Rr 克克 B Fmg a m B Elv Blg m Rr 克 m E I Rr m m Fmg a m mm FBI l min m EBlv I Rr minmin mgFBIl l rR BlvE B m 22 lB rRmg Bl E vm minmin 2 minm IEIEIRrmgv 克 0 m BLqmgtmv 2 1 2 Em qEQmgSmv B Fmg a m B Elv Blg m Rr 克 F F B FBIl Blv Bl Rr 2 2 B l v Rr 克 v 2 3 加速度特点 加速度随速度增大而减小 4 运动特点 a 减小的加速运动 5 最终特征 匀速运动 6 两个极值 1 v 0 时 有最大加速度 2 a 0 时 有最大速度 7 稳定后的能量转化规律 8 起动过程中的三个规律 1 动量关系 2 能量关系 3 瞬时加速度 电容放电式 电容放电式 1 电路特点 电容器放电 相当于电源 导体棒受安培力而运动 2 电流的特点 电容器放电时 导体棒在安培力作用下开始运动 同 时产生阻碍放电的反电动势 导致电流减小 直至电流为零 此时 UC Blv 3 运动特点 a 渐小的加速运动 最终做匀速运动 4 最终特征 匀速运动 但此时电容器带电量不为零 5 最大速度 vm 电容器充电量 放电结束时电量 电容器放电电量 对杆应用动量定理 6 达最大速度过程中的两个关系 安培力对导体棒的冲量 安培力对导体棒做的功 易错点 认为电容器最终带电量为零 电容无外力充电式电容无外力充电式 1 电路特点 导体棒相当于电源 电容器被充电 2 电流的特点 导体棒相当于电源 F安为阻力 棒减速 E 减小 有 I感 I感渐小 电容器被充电 UC渐大 阻碍电流 当 Blv UC时 I 0 F安 0 棒匀速运动 3 运动特点 a 渐小的减速运动 最终做匀速运动 4 最终特征 匀速运动 但此时电容器带电量不为零 B FFmg a m 2 2 FB l v g mm Rr m Fmg a m B FFmg a m 2 2 0 FB l v g mm Rr 2 2 m FmgRr v B l 2 m mm BLv Fvmgv Rr 0 m FtBLqmgtmv 2 1 2 Em FsQmgSmv B FFmg a m 2 2 0 FB l v g mm Rr 0 QCE m QCUCBlv 0m QQQCECBlv m mvBIltBl Q 2 2 m BlCE v mB l C 2 2 m mBlCE Imv mB l C 克 2 2 2 2 1 22 m m BlCE Wmv mB l C 克 v v0 0 C BlvU I R 3 5 最终速度 电容器充电量 最终导体棒的感应电动势等于电容两端电压 对杆应用动量定理 电容有外力充电式电容有外力充电式 1 电路特点 导体棒为发电棒 电容器被充电 2 三个基本关系 导体棒受到的安培力为 导体棒加速度可表示为 回路中的电流可表示为 3 四个重要结论 1 导体棒做初速度为零匀加速运动 2 回路中的电流恒定 2 2 CBlmg I mgCB l 3 导体棒受安培力恒定 4 导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能 证明 二 双棒模型二 双棒模型 无外力等距式无外力等距式 1 电路特点棒 2 相当于电源 棒 1 受安培力而加速起动 运动后产生反电动势 2 电流特点 随着棒 2 的减速 棒 1 的加速 两棒的相对速度 v2 v1变小 回路中电流也变小 3 两棒的运动情况 安培力大小 两棒的相对速度变小 感应 电流变小 安培力变小 棒 1 做加速度变小的加速运动 棒 2 做加速度变小的减速运动 qCU UBlv 0 mvmvBIltBlq 2 2 0 B l C vv m B FBIl B FF a m QC ECBl v ICBla ttt 22 mg a mCB L 2 2 2 2 B CB l mg F mCB l 1 2 2 WC Blv 克B 克克 4 最终两棒具有共同速度 4 两个规律 1 动量规律 两棒受到安培力大小相等方向相反 系统合外力为零 系统动量守恒 2 能量转化规律 系统机械能的减小量等于内能的增加量 两棒产生焦耳热之比 5 几种变化 1 初速度的提供方式不同 2 磁场方向与导轨不垂直 3 无外力不等距式 4 两棒都有初速度 5 两棒位于不同磁场中 有外力等距式有外力等距式 1 电路特点 棒 2 相当于电源 棒 1 受安培力而起动 2 运动分析 某时刻回路中电流 最初阶段 a2 a1 3 稳定时的速度差 2 012 m v mm v 克 5 4 变化 1 两棒都受外力作用 2 外力提供方式变化 无外力不等距式无外力不等距式 1 电路特点 棒 1 相当于电源 棒 2 受安培力而加速起动 运动后产生反电动势 2 电流特点 随着棒 1 的减速 棒 2 的加速 最终当 Bl1v1 Bl2v2时 电流为零 两 棒 都做匀速运动 3 两棒的运动情况 安培力大小 两棒的相对速度变小 感应电流变小 安培力变小 棒 1 做加速度变小的减速运动 最终匀速 棒 2 做加速度变小的加速运 动 最终匀速 4 最终特征 回路中电流为零 5 能量转化规律 系统动能 电能 内能 两棒产生焦耳热之比 6 流过某一截面的电量 有外力不等距式有外力不等距式 运动分析 杆 1 做 a 渐小的加速运动 a1 a2 a1 a2恒定 杆 2 做 a 渐大的加速运动 I 恒定 1 122 Bl vBl v 22 0 2 Bl qm v 6 某时刻两棒速度分别为 v1 v2 加速度分别为 a1 a2 经极短时间 t 后其速度分别为 此时回路中电流为 练习 1 多选 如图所示 在匀强磁场中有一倾斜的足够长平行金属导轨 导轨间距为L 两导轨顶端连 有一定值电阻R 导轨平面与水平面的夹角为 匀强磁场的磁感应强度大小为B 方向垂直导轨平面向 上 质量为m 电阻为r的光滑导体棒从某一高度处由静止释放 导体棒运动过程中始终与导轨垂直且与 导轨接触良好 其他部分的电阻不计 重力加速度为g 则下列说法正确的是 A 导体棒先做加速度减小的加速运动 后做匀速运动 B 若导体棒的速度为v 则R两端的电压为BLv C 导体棒的最大速度为 mg R r B2L2 D 在导体棒下滑过程中 电路中产生的焦耳WWW热等于导体棒克服安培力所做的功 解析 AD 导体棒随着速度的增加 受到的安培力越来越大 因此受到的合力越来越小 加速度越来 越小 故导体棒做加速度减小的加速运动 当加速度为零时 做匀速运动 A 正确 导体棒中产生的感应 电动势为E BLv 所以在电阻R上的电压为 B 错误 由于导体棒匀速运动时有mgsin RBLv R r B2L2v R r 因此导体棒的最大速度为 C 错误 根据功能关系 感应电流所产生的焦耳热在数值上 mg R r sin B2L2 等于导体棒克服安培力所做的功 D 正确 练习 2 多选 如图所示 间距为l 1 m 的导轨PQ MN由电阻不计的光滑水平导轨和与水平面成 37 角的粗糙倾斜导轨组成 导体棒ab cd的质量均为m 1 kg 长度均为l 1 m 电阻均为R 0 5 ab棒静止在水平导轨上 cd棒静止在倾斜导轨上 整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中 磁感 应强度的大小B T 现ab棒在水平外力F作用下由静止开始沿水平导轨运动 当ab棒的运动速度达 2 到一定值时cd棒开始滑动 已知cd棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为 0 8 且cd棒受到的最大静摩 擦力 7 等于滑动摩擦力 两导体棒与导轨始终接触良好 重力加速度g 10 m s2 sin 37 0 6 cos 37 0 8 关于该运动过程 下列说法正确的是 A cd棒所受的摩擦力方向始终沿倾斜导轨向上 B cd棒所受的摩擦力方向先沿倾斜导轨向上后沿倾斜导轨向下 C cd棒开始滑动时 ab棒的速度大小约为 20 m s D cd棒开始滑动时 ab棒的速度大小约为 10 m s 解析 BC cd棒刚开始静止在倾斜导轨上 0 8 tan 37 0 75 cd棒受到的摩擦力沿倾斜导 轨向上 ab棒向右运动切割磁感线使得ab棒 cd棒中产生感应电流 cd棒受到水平向右的安培力作用 cd棒受到的摩擦力先沿倾斜导轨向上减小到零 后反向沿倾斜导轨向下增大 故 A 错误 B 正确 当cd 棒即将滑动时 由平衡条件cos 37 mgsin 37 代入数据可 B2l2v 2R mgcos 37 B2l2v 2R sin 37 得v 19 375 m s C 正确 D 错误 练习 3 如图所示 阻值均为 2 的定值电阻R1和R2通过水平和倾斜平行金属导轨连接 水平导轨和倾 斜导轨平滑相接 导轨间距离为 0 5 m 倾斜导轨与水平面夹角为 60 水平导轨间存在方向竖直向上 磁感应强度大小为 0 03 T 的匀强磁场 倾斜导轨处没有磁场 一根质量为 0 1 kg 长度为 0 5 m 阻值 为 2 的导体棒从倾斜导轨上一定高度处由静止释放 导体棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为 水平导 3 4 轨光滑 导体棒在水平导轨上向右运动s 2 m 停下来 在此过程中电阻R1上产生的热量为 0 3 J 导体 棒始终与导轨垂直且接触良好 重力加速度g 10 m s2 则下列说法正确的是 A 导体棒在倾斜导轨上释放点离水平面的高度为 2 m B 导体棒在导轨上运动的最大速度为 6 m s C R1两端的最大电压为 0 045 V D 导体棒在导轨上运动过程中通过R1的电荷量为 0 01 C 解析 B 导体棒滑上水平导轨后做减速运动 因此滑上水平导轨的初速度v0是导体棒在导轨资 源 库 上运 动的最大速度 导体棒在水平导轨上运动时 若电阻R1上产生热量为Q 则导体棒上产生热量为 4Q 电 路产生的总热量为 6Q 由功能关系可得 6Q 又Q 0 3 J 得v0 6 m s B 选项正确 导体棒在倾 mv2 0 2 斜导轨上运动 有mgh mgcos 得h 2 4 m A 选项错误 导体棒运动的最大速度 h sin mv2 0 2 为v0 最大感应电动势为Em Blv0 R1两端的最大电压Um 得Um 0 03 V C 选项错误 通过导体 Em 3 棒的电荷量q q1 0 005 C D 选项错误 R总 q 2 练习 4 如图甲所示 dc和ef是足够长的光滑的金属导轨 不计电阻 水平放置 相距L 1 m de处接 8 有一个电阻 在其两端的电压低于某个特定的值U0时 它的阻值与其两端的电压成正比 而其两端的电 压大于等于U0时 它的电阻恒为R0 5 导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场 磁感应强度为B 1 T 质量为m 0 5 kg 长度恰好能跨放在导轨上的金属杆电阻不计 在水平向右的拉力作用下 从紧靠 de处由静止开始做加速度为a 1 m s2的匀加速运动 水平拉力F与时间的关系如图乙所示 1 试求电压的特定值U0和图中所标的F0的大小 2 当t 0 5 s 时和t 2 s 时 电阻的发热功率分别为多大 3 从开始到运动 2 m 时 通过R的电荷量为多少 4 运动到 2 m 时刻撤去外力 金属杆还能运动多远 解析 1 当电压小于U0时 设电阻R kU 所以电流I 则I为定值 U R 1 k F BL ma F ma BL 1 k 1 k 当电压大于等于U0时 F ma F ma t 而当t 1 s 时 速度v at 1 B2L2v R0 B2L2a R0 m s U0 BLv 1 V 又当t 1 s 时 F ma t ma BL 所以有k 5 B2L2a R0 1 k 故F0 0 7 N 1 s 以后的拉力与时间的关系为F 0 5 0 2t 2 t 0 5 s 时 v 0 5 m s U E BLv 0 5 V R kU 2 5 P1 0 1 W t 2 s 时 F 0 9 N 安培力F安 F ma 0 4 N v 2 m s P2 F安v 0 8 W U2 R 3 前 1 s 电流恒为I 0 2 A q1 It 0 2 C 运动了 0 5 m U R 1 k 余下的 1 5 m 是通过定值电阻R0的电荷量 q2 0 3 C 所以q q1 q2 0 5 C R0 4 撤去外力时 速度为v2 2 m s 电压U2 2 V 变减速运动到速度v1 1 m s 于是有 m v2 v1 x1 2 5 m 此后 电流恒为 0 2 A F安 BLI 0 2 N 做匀减速运动 B2L2x1 R0 a 0 4 m s2 x2 1 25 m 所以x x1 x2 3 75 m F安 m v2 1 2a 练习 如图所示 金属导轨是由倾斜和水平两部分圆滑相接而成 倾斜部分与水平夹角 q 37 导轨电阻 不计 abcd 矩形区域内有垂直导轨平面的匀强磁场 bc ad s 0 20 m 导轨上端搁有垂直于导轨的两根 相同金属杆 P1 P2 且 P1位于 ab 与 P2的中间位置 两杆电阻均为 R 它们与导轨的动摩擦因数 m 0 30 P1杆离水平轨道的高度 h 0 60m 现 9 使杆 P2不动 让 P1杆静止起滑下 杆进入磁场时恰能做匀速运动 最后 P1杆停在 AA 位置 求 1 P1杆在水平轨道上滑动的距离 x 2 P1杆停止后 再释放 P2杆 为使 P2杆进入磁场时也做匀速运动 事先要把磁场的磁感应强度大小调为 原来的多少倍 3 若将磁感应强度 B 调为原来 3 倍 再释放 P2 问 P2杆是否有可能与 P1杆不碰撞 为什么 解析 1 设杆的质量为 m 则杆进入磁场时受到的安培力 F mgsinq mmgcosq 对 P1杆运动的全过程 根据动能定理 解得 2 设杆长为 l 进入磁场时速度为 v 杆进入磁场能做匀速运动 满足 BIl mgsinq mmgcosq 得 可见 B 与成反比 设杆下滑加速度为 a 由题意