《二次函数的图象》典型例题2

1 6 二次函数二次函数 y ax 2 bx c 的图像的图像 典型例题典型例题 例例 1 函数与在同一坐标系中的图像可能是如图中的 aaxy 2 0 a x a y 例例 2 已知函数 2 3 2 1 2 xxy 1 求函数图像的顶点坐标和对称轴 2 求函数图像与坐标轴的交点坐标 3 作出函数的图像 例例 3 求经过 A 0 1 B 1 2 C 1 2 三点且对称轴平行于 y 轴的抛物线 的解析式 例例 4 已知抛物线经过点 1 1 和点 2 1 且与 x 轴相切 1 求二次函数的解析式 2 当 x 在什么范围时 y 随 x 的增大而增大 3 当 x 在什么范围时 y 随 x 的增大而减小 例例 5 设抛物线 y x2 bx c 向下平移 1 个单位 再向左平移 5 个单位后 所得抛 物线的顶点坐标为 2 0 求原抛物线的解析式 例例 6 辽宁省试题 2002 看图 解答下列问题 1 求经过 A B C 三点的抛物线解析式 2 通过配方 求该抛物线的顶点坐标和对称轴 3 用平滑曲线连结各点 画出该函数图象 2 6 3 6 参考答案参考答案 例例 1 解法一 直接法 a 的取值只有两种可能 或 0 a 0 a0 a 当时 有的图像在第一 三象限 的图像开口向上 0 a x a y aaxy 2 顶点在 x 轴的上方 四个选择支无一适合 所以 没有符合条件的图像 0 a 当时 有的图像在第二 四象限 的图像开口向下 0 a x a y aaxy 2 顶点在 x 轴的下方 符合条件的图像有 D 故应选 D 0 a 解法二 排除法 函数的图像顶点在 y 轴上 故排除 A 0 a aaxy 2 对于 B 由反比例函数的图像可知 但由的图像得 x a y 0 aaaxy 2 产生矛盾 故 B 排除 0 a 对于 C 由反比例函数的图像可知 但由的图像与 x a y 0 aaaxy 2 y 轴交于负半轴得 产生矛盾 故 C 排除 故答案应选 D 0 a 例例 2 解 1 2 1 2 1 2 3 2 2 1 22 xxxy 函数图像的顶点坐标是 1 2 对称轴为 1 x 2 令 得 令 由 得 即函0 x 2 3 y0 y 2 3 2 1 2 xx3 1 21 xx 数图像与 y 轴交于点 与 x 轴交于 1 0 3 0 2 3 0 3 抛物线开口向下 再依顶点坐标 对称轴及两坐标的0 2 1 a 交点坐标作函数图像如图所示 说明 1 对的顶点坐标也可直接用教cbxaxy 2 材中例题所给出的顶点坐标公式 这里是直 a bac a b 4 4 2 2 接配方而得 2 作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向 顶点坐标 对称轴及两 轴的交点等主要环节 4 6 例例 3 分析 因为抛物线的对称轴与 y 轴平行 所以抛物线解析式的形式可设 为 y ax2 bx c 要确定这个解析式必须求出三个系数 a b c 的值 已 知 A B C 三点在抛物线上 因此它们的坐标必须适合上面的函数式 即有 这是关于 a b c 的三元一次方程组 可以求出 a b c 的值来 解 设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx c 因为抛物线经过 A B C 三点 所以有 所以 所求抛物线的解析式为 y x2 2x 1 例例 4 分析 因为抛物线与 x 轴相切即与 x 轴只有一个交点 所以判别式 b2 4ac 0 又由于抛物线过 1 1 和 2 1 点 所以可设解析式的形式为 y ax2 bx c 列出方程组 解方程组求出 a b c 方法二 由于抛物线经过的两点 1 1 和 2 1 的纵坐标都是 1 又根据抛物线的对称性知道对称轴 画出草图 1 2 x 5 6 可得顶点坐标系 可以设解析式为将 x 1 y 1 代入 1 0 2 2 1 2 ya x 上式得出 a 值 可由教师板演 学生在练习本上写出解题过程 解 1 顶点坐标 0 2 1 将代入此式 2 2 1 xay1 1 yx 1 得 2 2 1 1 a 9 4 a 所求解析式为 9 1 9 4 9 4 2 xxy 2 图象开口向上0 9 4 a 当时 随的增大而增大 2 1 xyx 3 当时 随的增大而减小 2 1 xyx 例例 5 解 由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为 y x 5 2 b x 5 c 1 x2 b 10 x 5b c 24 0 2 2 b 10 2 5b c 24 解之得 b 6 c 10 原抛物线的解析式为 y x2 6x 10 说明 关于二次函数图象的平移是很重要的 一是上 下平移 如将 y ax2 bx c 的图象上移 h 个单位 则新图象的解析式为 y ax2 bx c h 如 下移则改为 h 二是左右平移 如将 y ax2 bx c 的图象向左移 k 个单位 则新图象解析式应改写为 y a x k 2 b x k c 如果是向右平移 k 个单位 则改写为 y a x k 2 b x k c 分析 已知三点求抛物线的解析式 用待定系数法求解 先设出抛物线的解析 式 一般式 然后把三点坐标代入解析式 列出一个关于三个未知数的方程组 求解即cba 可 例例 6 解 6 6 1 由图可知 1 1 2 0 1 1 CBA 设所求抛物线的解析式为cbxaxy 2 依题意 得 解得 1 2 1 cba c cba 2 1 2 c b a 22 2 xxy 2 8 17