上海市青浦区2020届高三数学上学期学业质量调研（一模）试题

1 上海市青浦区上海市青浦区 20202020 届高三数学上学期学业质量调研 一模 试题届高三数学上学期学业质量调研 一模 试题 1 已知集合u 1 3 5 9 a 1 3 9 b 1 9 则 u a b 2 若复数z i 3 2i i是虚数单位 则z的模为 3 直线l1 x 1 0 和直线l2 x y 0 的夹角大小是 3 4 我国古代庄周所著的 庄子 天下篇 中引用过一句话 一尺之棰 日取其半 万世不 竭 其含义是 一根 尺长的木棒 每天截下其一半 这样的过程可以无限地进行下去 若把 一尺之棰 的长 度记为 1 个单位 则 第n天 日取其半 后 记木棒剩下部分的长度为an 则an 5 已知角 的顶点在坐标原点 始边与x轴的正半轴重合 角 的终边与单位圆的交点 坐标是 则 sin2 3 5 4 5 6 已知正四棱柱底面边长为 2 体积为 32 则此四棱柱的表面积为 2 7 设x y r r 若 4x1 则 的最大值为 1 8 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n n n 则an 1 2 1 lim 9 某地开展名优教师支教活动 现有五名名优教师被随机分到a b c三个不同的乡镇中 学 现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学 可以有乡镇中学不分配到名优教师 则 不同的分配方案共有 种 10 已知对于任意给定的正实数k 函数f x 2x k 2 x的图象都关于直线x m成轴对 称图形 则m 11 如图 一矩形abcd的一边ab在x轴上 另两个顶点c d在函数f x 1 2 x 0 的图象上 则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 2 12 已知点p在双曲线1 上 点a满足 t 1 t r r 且 60 2 9 2 16 pa op oa op 0 1 则 的最大值为 ob ob 13 使得 3x n n n n 的展开式中含有常数项的最小的n为 1 a 4b 5c 6d 7 14 对于两条不同的直线m n和两个不同的平面 以下结论正确的是 a 若m n m n是异面直线 则 相交 b 若m m n 则n c 若m n m n共面于 则m n d 若m n 不平行 则m n为异面直线 15 过抛物线y2 2px p 0 的焦点作两条相互垂直的弦ab和cd 则的值 1 1 为 a b c 2pd 2 2 1 2 16 设等比数列 an 的公比为q 其前n项之积为tn 并且满足条件 a1 1 a2019a2020 1 0 给出下 2019 1 2020 1 列结论 0 q 1 a2019a2021 1 0 t2019是数列 tn 中的最大项 使tn 1 成立 的最大自然数等于 4039 其中正确结论的序号为 a b c d 17 14 分 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 底面abcd e是pc的中 点 已知ab 2 ad 2 pa 2 求 2 1 三角形pcd的面积 2 异面直线bc与ae所成的角的大小 3 18 14 分 已知向量 cos x sin x cos x cos x 其中 0 记 a 3 b f x b 1 若函数f x 的最小正周期为 求 的值 2 在 1 的条件下 已知 abc的内角a b c对应的边分别为a b c 若f 2 且a 4 b c 5 求 abc的面积 3 19 14 分 某企业生产的产品具有 60 个月的时效性 在时效期内 企业投入 50 万元经销 该产品 为了获得更多的利润 企业将每月获得利润的 10 再投入到次月的经营中 市场 调研表明 该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f n 单位 万元 记第n个月的当月利润率为g n 10 1 10 11 60 例g 3 第 个月的利润 截止到第 个月投入的资金总和 3 50 1 2 10 1 求第n个月的当月利润率 2 求该企业在经销此产品期间 哪一个月的当月利润率最大 并求出该月的当月利润 率 20 16 分 已知焦点在x轴上的椭圆c上的点到两个焦点的距离和为 10 椭圆c经过点 3 16 5 1 求椭圆c的标准方程 2 过椭圆c的右焦点f作与x轴垂直的直线l1 直线l1上存在m n两点满足 om on 求 omn面积的最小值 3 若与x轴不垂直的直线l交椭圆c于a b两点 交x轴于定点m 线段ab的垂直 4 平分线交x轴于点n 且为定值 求点m的坐标 21 18 分 已知函数f x 的定义域为 0 2 且f x 的图象连续不间断 若函数 f x 满足 对于给定的实数m且 0 m 2 存在x0 0 2 m 使得f x0 f x0 m 则称f x 具有性质p m 1 已知函数f x 判断f x 是否具有性质p 并说明理由 1 1 2 1 2 2 求证 任取m 0 2 函数f x x 1 2 x 0 2 具有性质p m 3 已知函数f x sin x x 0 2 若f x 具有性质p m 求m的取值范 围 5 1 集合u 1 3 5 9 a 1 3 9 b 1 9 a b 1 3 9 u a b 5 答案 5 2 复数z i 3 2i 3i 2 则 z 32 22 13 答案 13 3 直线l1 x 1 0 的倾斜角为 直线l2 x y 0 的斜率为 倾斜角为 2 33 3 故直线l1 x 1 0 和直线l2 x y 0 的夹角大小为 3 2 3 6 答案 6 4 依题意 第 1 天 日取其半 后a1 1 2 第 2 天 日取其半 后a2 1 2 1 2 1 2 2 第 3 天 日取其半 后a3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 第n天 日取其半 后an 个 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 1 2 5 角 的终边与单位圆的交点坐标是 3 5 4 5 所以 cos 3 5 sin 4 5 6 所以 sin2 2sin cos 2 3 5 4 5 24 25 答案 24 25 6 设正四棱柱的高为h 由底面边长为a 2 体积为v 32 2 则v a2h 即h4 32 2 2 2 所以此四棱柱的表面积为 s s侧面积 2s底面积 4 4 22 22 2 2 2 3216 2 答案 16 322 7 4x1 x y r r 1 即 当且仅当 时 4 2 4 2 4 1 8 2 1 16 1 16 x 1 8 2 取等号 答案 116 8 数列 an 中 a1 1 an an 1 n n n 1 2 1 可得a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 1 23 1 24 1 25 1 2 1 累加可得 an 1 1 23 1 24 1 25 1 2 1 则an 1 lim 1 23 1 1 2 5 4 答案 54 答案 5 4 7 9 根据题意 分 2 步进行分析 在三个中学中任选 1 个 安排甲乙两人 有c31 3 种情况 对于剩下的三人 每人都可以安排在a b c三个不同的乡镇中学中任意 1 个 则剩 下三人有 3 3 3 27 种不同的选法 则有 3 27 81 种不同的分配方法 答案 81 10 由题意可知 k 0 函数f x 2x k 2 x的图象都关于直线x m成轴对称图形 则f m x 为偶函数 关于y轴对称 故f m x f m x 恒成立 2m x k 2 m x 2m x k 2 m x 对于任意x r r 成立 故 2m k 2 m 0 m 1 2 2 答案 1 2 2 11 由 y f x 1 2 当且仅当x 1 时取等号 1 1 1 2 1 1 2 得x 1 1 又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱 设a点的坐标为 x1 y b点的坐标为 x2 y 则圆柱的底面圆半径为y 高为h x2 x1 且f x1 f x2 1 1 12 2 1 22 所以 1 1 12 2 1 22 即 x2 x1 x2 x1 1 0 所以x2 x1 1 8 所以h2 x2 x1 2 4x2 x1 x1 2 44 1 1 1 2 所以h 1 2 1 1 4 2 所以v圆柱 y2 h y 1 4 2 1 24y2 1 4 2 当且仅当y时取等号 1 2 4 2 1 4 2 2 1 4 2 4 故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 4 答案 4 12 t 1 pa op t oa 则 oa 设a xa ya p xp yp xa ya t xp yp 则 即 将点 代入双曲线中得 x x 2 9 2 2 16 2 1 x 2 9 2 16 9 2 60 oa op oa op t 2 t 2 2 t 60 2 2 2 2 由 得 9 60 t t 9 2 16 2 2 2 9 25 2 16 2 9 25 2 16 9 15 2 ya 8 ya 8 ob 则 的最大值为 8 ob 答案 8 13 3x n的展开式的通项公式为 tr 1 1 3 1 3 5 2 令n 可得n 5 2 0 5 2 当r 2 时 n取得最小值为 5 答案 b 14 若m n m n是异面直线 则 相交或平行 故a错误 若m m 则 由n 则n 或n 故b错误 若m n m n共面于 则m n 故c正确 若m n 不平行 则m n为异面直线或相交 故d错误 答案 c 15 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 所以设经过焦点直线ab的方程为 2 0 y k x 2 所以 整理得 设点a x1 y1 y k x 2 2 2 k2 2 2 2 2 2 4 0 b x2 y2 所以 所以 ab 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 同理设经过焦点直线cd的方程为y x 1 2 10 所以 整理得 y 1 2 2 2 x2 2 2 2 4 0 所以 cd p p 2k2p 所以 cd 1 2 2 2 则则 1 1 1 2 2 1 2 1 2 答案 d 16 a1 1 a2019a2020 1 0 2019 1 2020 1 a2019 1 a2020 1 0 q 1 故 正确 a2019a20211 a2019a2021 1 0 故 不正确 2020 2 a2020 1 t2019是数列 tn 中的最大项 故 正确 t4039 a1a2 a4038 a40391 2020 4039 t4038 a1a2 a4037 a40381 2019 2020 2019 使tn 1 成立的最大自然数等于 4038 故 不正确 正确结论的序号是 答案 b 17 1 pa 底面abcd cd 底面abcd cd pa 矩形abcd中 cd ad 而pa ad是平面pad的交线 cd 平面pda pd 平面pda cd pd 三角形pcd是以d为直角顶点的直角三角形 rt pad中 ad 2 pa 2 2 pd2 2 2 3 三角形pcd的面积spd dc 2 1 2 3 2 解法一 11 如图所示 建立空间直角坐标系 可得b 2 0 0 c 2 2 0 e 1 1 22 1 1 0 2 0 ae 2 bc 2 设与夹角为 则 cos ae bc 4 2 2 2 2 2 由此可得异面直线bc与ae所成的角的大小为 4 4 解法二 取pb的中点f 连接af ef ac pbc中 e f分别是pc pb的中点 ef bc aef或其补角就是异面直线bc与ae所成的角 rt pac中 pc4 2 2 aepc 2 1 2 在 aef中 efbc afpb 1 2 2 1 2 2 af2 ef2 ae2 aef是以f为直角顶点的等腰直角三角形 aef 可得异面直线bc与ae所成的角的大小为 4 4 12 18 1 a 3 2 3 2 1 2 2 2 sin 2 x 3 3 2 f x sin 2 x 3 3 2 f x 的最小正周期为 且 0 解得 1 2 2 2 由 1 得 f x sin 2x 3 3 2 f 2 3 由 0 a 得 sin a 3 3 2 3 3 4 3 解得 a 3 2 3 a 3 由余弦定理知 a2 b2 c2 2bccosa 即 16 b2 c2 bc b c 2 3bc 且b c 5 16 25 3bc bc 3 s 1 2 1 2 3 3 2 3 3 4 19 1 依题意得f 1 f 2 f 3 f 9 f 10 10 当n 1 时 g 1 当 1 n 10 n n n 时 f 1 f 2 10 50 1 5 f n 1 10 则g n 50 1 10 1 2 1 10 49 13 n 1 也符合上式 故当 1 n 10 n n n g n 当 11 n 60 n n n 时 10 49 g n 50 1 2 10 11 1 50 1 10 100 11 1 60 11 10 20 20 2 1090 所以第n个月的当月利润率为g n 10 49 1 10 20 2 1090 11 60 2 当 1 n 10 n n n g n 是减函数 此时g n 的最大值为g 1 10 49 当 11 n 60 n n n 时 1 5 g n 20 2 1090 20 1090 1 20 2 1090 1 g n 在 11 n 33 n n n 单调递增 g n 在 34 n 60 n n n 单调递减 当且仅当n 即n时 g n 有最大值 又n n n 1090 1090 g 33 g 34 20 33 332 33 1090 330 1073 20 34 342 34 1090 170 553 因为 所以当n 33 时 g n 有最大值 330 1073 170 553 1 5 330 1073 即该企业经销此产品期间 第 33 个月利润最大 其当月利润率为 330 1073 14 20 1 设椭圆的方程为 椭圆c上的点到两个焦点的距离和为 10 2 2 2 2 1 0 所以 2a 10 a 5 又椭圆c经过点 3 代入椭圆方程 求得b 4 16 5 所以椭圆的方程为 2 25 2 16 1 2 设m 3 ym n 3 yn f 3 0 由om on 所以 om 9 0 故 omn面积的最小值为 9 s 1 2 3 3 2 9 9 3 设直线l的方程为 y kx m 则点m 0 联立 消去y得 25k2 16 x2 50kmx 25m2 400 0 y kx m 2 25 2 16 1 x1 2 50 25 2 16 x1 2 25 2 400 25 2 16 所以 ab 1 2 4025 2 2 16 25 2 16 则ab的中点p的坐标为 又pn ab 得 25 25 2 16 25 2 25 2 16 k 1 则直线pn的方程为 ym 25 2 25 2 16 1 25