数学物理方程总结

浙江理工大学数学系浙江理工大学数学系 第第 1 章章 偏微分方程的基本概念 偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式 2 2 11 0 n uuu F x u xxx 其中是自变量 是未知函数 12 n xx xx 12 n u xu x xx 偏微分方程的分类 线性 PDE 和非线性 PDE 其中非线性 PDE 又分为半线性 PDE 拟线 性 PDE 和完全非线性 PDE 二阶线性 PDE 的分类 两个自变量情形 一般形式 记为 PDE 1 222 111222 22 20 uuuuu aaaabcu xx yyxy 目的 可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部 从而据此分类 非奇异 x y x y 0 xy xy 根据复合求导公式最终可得到 其中 222 111222 22 20 uuuuu AAAABCu 22 11111222 12111222 22 22111222 2 2 Aaaa xxyy Aaaa xxxyxyyy Aaaa xxyy 考虑如果能找到两个相互独立的解 22 111222 2 0 zzzz aaa xx yy zx y zx y 那么就做变换 从而有 x y x y 1122 0AA 在这里要用到下面两个引理 引理 1 假设是方程 1 的特解 则关 zx y 22 111222 2 0 zzzz aaa xx yy 主部 系式是常微分方程 2 的一般积分 x yC 22 111222 2 0adya dxdyadx 引理 2 假设是常微分方程 2 的一般积分 则函数是 1 的 x yC zx y 特解 由此可知 要求方程 1 的解 只须求出常微分方程 2 的一般积分 常微分方程 2 为 PDE 1 的特征方程 特征方程 1 的积分曲线为 PDE 1 的特征曲线 22 111222 2 0adya dxdyadx 记 则 2 12121122 11 aaa ady dxa 2 121122 x yaa a 222 22 2 2 22 22 0PDE 0PDE 0PDE uuu x y x yxy u x y x uu x y xy 双曲型 或 抛物型 椭圆形 一维的波动方程 22 2 22 0 0 uu af x txL t tx 一维的热传导方程 2 2 2 0 0 uu af x txL t tx 高维的情况只需要把改为 laplace 的形式即可 2 2 u x 数学物理方程 泛定方程 加上相应的定解条件就构成了定界问题 根据定解条件的不 同 又可以把定解问题分为三类 初值问题 初值问题 Dirichlet 定解条件仅有初值条件 边值问题 边值问题 Neumann 定解条件仅有边值条件 混合问题 混合问题 Rbin BC 定解条件有初值条件也有边值条件 数学物理方程的解 如果一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导 函数 并且带入数学物理方程使方程成为等式 称此函数为在该取值区域方程的解 定界问题的适定性 定界问题的适定性 如果一个定解为题的解存在 唯一且稳定 就称这个定界问题是适定的 反之 若有 一个性质不满足 则称这个定界问题是不适定的 所谓界存在 是指定解问题至少有一个解 如果一个定界问题的解不存在 这个问题 就完全失去了意义 但定界问题反应的是客观物理实际 在实际问题中解释存在的 若定 解问题的解不存在 说明所建立的定界问题是错误的 可能是在推导过程中有非次要因素 被忽略掉了 导致泛定方程错误 还有可能定解条件给错了等 这就需要重新考虑定解问 题的提法 解的唯一性从物理意义上讲是显然的 如果解存在但不唯一 将无法确定所求解是否 是所需要的 当然也无法求近似解 这表明问题的提法还不够确切 需要进一步分析 所谓解的稳定性 是指当定解问题有微小变动时 解是否相应地有微小的变动 如果 是这样 该解就是稳定的解 否则所得的解就没有实用价值 因为定解条件通常是利用实 验方法所获得的 因而所得到的结果有一定的误差 如果因此导致解的变动很大 那么这 种解显然不符合客观实际的要求 而我们多学的定解问题都是经典问题 他们的适定性都是经过证明了的 第第 2 章章 分离变量法 分离变量法 分离变量法的主要思想 1 将方程中含有各个变量的项分离开来 从而原方程拆分成多个 更简单的只含 1 个自变量的常微分方程 2 运用线性叠加原理 将非齐次方程拆分成多个 齐次的或易于求解的方程 3 利用高数知识 级数求解知识 以及其他巧妙方法 求出各 个方程的通解 4 最后将这些通解 组装 起来 分离变量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法 主要根据的理论依据是线性方程的叠 加原理和 Sturm Liouville 理论 最核心的思想是将偏微分方程的求解化为对常微分方程的 求解 下面就有界弦的自由振动的定解问题讨论 22 2 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xx l t t uu axl tx uut u uxxxl t 观察注意其特点是 方程齐次 边界齐次 端点会引起波的反射 弦有限长 波在两端点之间往返反射 两列反向行进的同频率的波 形成驻波 驻波的特点 1 没有波形的传播 即各点振动相位与位置无关 按同一方式 随时间振动 可统一表示为 2 各点振幅随点而异 而与时间无关 用 X x 表示 所 T t 以驻波可用 表示 X x T t 设且不恒为零 带入方程和边界条件中得到 u x tX x T t u x t 1 2 0XTa X T 由于不恒为零 有 u x t 2 XxT t X xa T t 2 0XxX x 3 2 0 Tta T t 利用边界条件 4 0 0 0 XT t X l T t 4 0 0 0XX l 成立 5 0 0 0 0 XX XX l 参数成为特征值 函数成为特征函数下面分三种情况讨论特征值问题 X x i 方程的通解为由边值条件得0 12 xx X xC eC e 12 12 0 0 ll CC C eC e C1 C 2 0 从而 0 0X x 无意义 ii 方程的通解同样的到 0 12 X xC xC 0X x 0 无意义 iii 时 通解由边值条件得 得0 12 cossinX xCxCx 1 2 0 sin0 C Cl 到从而 故 即 而由于 2 0 C sin 0l ln 22 2 12 3 n n l 2 sin 1 2 n X xCx n l 再求 T 22 2 2 0 nn n T taT t l 其解为 cossin n atn at nnnll T tAB 所以根据叠加原理可 cossin sin1 2 3 n atn atn x nnnlll u x tABn 以得到 1 cossin sin n atn atn x nnlll n u x tAB 定解问题的解是 Fourier 正弦级数 这是在 x 0 和 x l 处的第一类齐次边界条件决定的 2 0 2 0 sin sin l n nnll l n l nnnanal Ad Bd 解的物理意义 cossin sin na tna tn x nnnlll ux tAB sin sin n x nnnl NtS 1 n n u x tux t u x t 是由无穷多个振幅 频率 初位相各不相同的驻波叠加而成 n 1 的驻波称为基波 n 1 的驻波叫做 n 次谐波 注意 分离变量法适用范围 偏微分方程是线性齐次的 并且边界条件也是齐次的 其求解的关键步骤 确定特征函数和运用叠加原理 对于不同类型的定解条件做了如下总 结 左端点右端点特征值特征函数取值范围 一一 22 2 n l sin n n Bx l n 1 2 3 一二 22 2 21 4 n l 21 sin 2 n n Bx l n 0 1 2 二二 22 2 n l cos n n Bx l n 0 1 2 二一 22 2 21 4 n l 21 cos 2 n n Bx l n 0 1 2 齐次化原理 齐次化原理 Duhamel 设上的函数关于自变量 x t 二次可微 3 0 0 x tRxt U x t 连同关于 x 和 t 的一阶和二阶偏导数都对在 U x t x t 3 x tR 上连续 且满足 0 0 xt U x t 22 2 22 0 0 0 0 0 0 00 0 xx t U x tU x t axt tx U x tU x txt U xx U x t f xx t 则函数是下面方程的解 0 t u x tU x td 22 2 22 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 xx t u x tu x t af x txt tx u x tu x txt u xx u x t x t 1 圆域上的圆域上的 laplace 方程方程 定界问题 2 0 0 02 ura 边界条件 02 u af 想法是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标 挖掘边界条件 r 的边界是 0 和 a j 的边界是 0 和 2 自然边界条件有限值 周期边界条件 分离变量令 0 u 0 2 u ru r 带入极坐标 Laplace 方程 得到 uR r 2 22 11 0 uu r rrrr 于是可以化为下面两个常微分方程 2 rdrdR m R drdr 2 0 0 2 1 m 求解式 1 的本征函数得到 22 0 2 r RrRm R cos sin 0 1 2 mm AmBmm 在求解 2 式 形式上是欧拉方程 因此可以通过来进行代换 得 lntr 1dRdR dtdR R drdtdrr dt 2 22 11 t ddRddRdtd RdR Re drr dtdtdtdrrdtdt 因此式 2 化简为 它的通解是 2 0R tm R t m 0 时 000 lnR tCDr m 0 时 mm mmm RtC rD r 由自然边界条件 u 0 j 有限值 可知 0 和 0 所以 原 Laplace 方程的通解为 0 D m D 再代入边界条件 0 1 cossin m mm m u rAAmBmr 02 u af 上式实际上就是 f j 的傅立叶级数展开式 所 0 1 cossin m mm m fAAmBma 以待定系数可以确定 2 0 0 1 2 Afd 2 0 1 cos m m Afmd a 2 0 1 sin m m Bfmd a 二维 Laplace 方程的一般解为 00 1 lncossin mm mmmm m u rCDrC rD rAmBm 1 如果考虑圆内问题则其解为 0 cossin m mm m u rAmBmr 2 如果考虑圆外问题则其解为 0 cossin m mm m u rAmBmr 3 如果考虑是圆环问题 则其解为一般解 其中的系数由边界条件确定 关于非齐次边界条件的问题可以转化为其次边界条件 因此在这里就不多说了 其求解原 理和方法和求解其次边界条件问题是一样的 第第 3 章章 行波法和积分变换 行波法和积分变换 行波法行波法 1 基本思想 先求出偏微分方程的通解 然后用定界问题确定特解 2 关键步骤 通过变量代换 将波动方程化为便于积分的其次二阶偏微分方程 3 适用范围 无界域内的波动方程等 达朗贝尔公式 22 2 22 0 0 0 uu axt tx u x u xxxx t 其解为 一味的达朗贝尔公式 11 d 22 x at x at u x txatxat a 再次引入一个平均值函数 为了应用这种表达式在这里令 1 b a ff x dx ba a x at b x at 则有 则达朗贝尔公式可以表示如下形式 1 2 x at x at ff s ds at u x ttt t 解的物理意义 a 只有初始位移时 代表以速度 a 沿 x 轴 1 2 u x txatxat xat 正向传播的波 代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波 xat b 只有初始速度时 假使初始速度在区间 上是常数 而在 1 d 2 x at x at u x t a 此区间外恒等于 0 11 u x txatxat 结论是 达朗贝尔解表示沿 x 轴正 反向传播的两列波速为 a 波的叠加 故称为行波法 相关概念 当方程为非齐次时 22 2 22 0 0 0 uu af x txt tx u x u xxxx t 由叠加原理可知 如果 v x t 是初值问题 的解 22 2 22 0 0 0 vv axt tx v x v xxxx t w x t 是初值问题 22 2 22 0 0 0 0 0 ww af x txt tx w x w xx t 则 u v w 是初值问题 的解 即可直接写出 的解 u x t 为 0 111 df d 222 x attx a t x atx a t u x txatxatd aa 这个公式成为一维非齐次波动方程初值为题解的 Kirchhoff 公式 半无界弦的振动问题 半无界弦的振动问题 1 端点固定 22 2 22 0 0 0 0 0 0 0 uu af x txt tx u x u xxxx t ut 求解的思想是 把它转化为无界弦的振动问题 因此需要做一个奇延拓 0 0 0 0 x xx x xx x xx x 则问题转化为 22 2 22 0 0 0 0 0 uu af x txt tx u x u xxxx t ut 即解为 0 111 df d 222 x attx a t x atx a t u x txatxatd aa 通过讨论 t 的范围 分为 x at 和 0 x at 可以得到原来要求方程的解 2 端点自由 22 2 22 0 0 0 0 0 0 0 t uu af x txt tx u x u xxxx t ut 思路同上只不过是把延拓改为偶延拓 0 0 0 0 x xx x xx x xx x 三维波动方程的初值问题三维波动方程的初值问题 记记 2222 2 2222 0 0 0 t t uuuu atx y zR txyz ux y z u x y z t 222 222 uuu u xyz 球对称情形化为球面坐标系 令则 sincos sinsin cos xr yr zr 222 222 uuu u xyz 2 2 2222 111 sin sinsin uuu r rrrrr 所谓球对称是指无关 则波动方程可化简为 u 和 2 22 22 1uu ar trrr 22 2 22 2uuu a trrr 22 2 22 1 uru a trr u t x y zu t ru t r 22 2 22 2 0 0 0 0 0 t uuu art trrr urr urr u tg t 又可以化为 22 2 22 0 0 0 0 0 0 t ruru art tr rurrr rurrr ru t 这是关于 v r u 的一维半无界波动方程 我们利用球面平均法 从物理上看 波具有球对 称性 从数学上看 总希望把高维化为一维情形来处理 并设法化为可求通解的情况 所 谓球平均法 即对空间任一点 x y z 考虑 u 在以 x y z 为球心 r 为半径的 球面上的平均值 直接得出三维波动方程的解为 22 11 d d 44 MM atat SS u x y z tttSS tta ta t 并令则得到 sincos sinsin cos xr yr zr 2 00 1 sincos sinsin cos sin 4 u x y z ttxatyatzattd d t 2 00 sincos sinsin cos sin 4 t xatyatzattd d 二维波动方程的初值问题二维波动方程的初值问题 222 2 222 0 0 0 t t uuu atx yR txy ux y u x y t 求解方法 降维法 由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法 由 Hadamard 最早提出的 由于初始数据与第三个变量无关 因此 在上的球面积分 M at S 可由在圆域 上的积分得到 r at 222 M at xyat 由 2 11 d d 44 MM atat SS a tar 11 d d 44 MM atat SS arar 22 1 21 d 4 M at ar 222 1 d d 2 M at a atxy 和 2 222 11 d d d 42 MM atat S a ta atxy 可以得到二维波动方程的解为 2 2200 1 cos sin 2 at xy d d a at 2 2200 2 2200 1 cos sin 2 1 cos sin 2 at at xy d d a t at xy d d a a xt t uy 物理意义 三维情况是惠更斯原理 有清晰的前锋和后尾 二维情况是波的弥散 有清晰的前锋但无后尾 积分变换 积分变换 Fourier 变换和变换和 Laplace 变换 变换 1 Fourier 变换 定义 d 1 d 2 j x j x Utu x t ex u x tUt e 性质 1122 F f tFF f tF 记 1 线性性质 1 122112212 F c f tc f tc Fc Fc c 则为常数 2 尺度性质 1 F f tFF f atFa aa 若 则为非零函数 3 位移性质 00 exp F f xxiwx F f x 4 微分性质 一般情况下有 F fxiwF f x nn F fxiwF f x 5 积分性质 0 1 x Ff t dtF f x iw 6 卷积公式 F fgF fF g 1 2 F fgF fF g 7 Parseval 等式 2 2 1 2 f xdxF fdw Laplace 变化及性质 0 d 1 ds 2 st i st i T sf t et f tT s e i 正变换 逆变换 性质 1 线性性质T afbgaL fbL g 2 Re T e f xT ss 1 nt n n T t e s 3 相似性质 1 s T f ctT cc 4 微分性质 一般情况 0 T fsT sf 12 1 0 0 0 nnnnn T fts T ssfsff 5 积分性质 0 1 t Tf p dpT s s 6 乘多项式性质 1 nnn T t f tTs 7 延迟性质 as T f taeT s 8 初值定理 0 0 lim lim ts ff tsT s 9 终止定理 0 lim lim ts ff tsT s 10 卷积公式 T fgT fT g 第第 4 章章 拉普拉斯方程的 拉普拉斯方程的 green 函数法函数法 Green 函数 函数 格林函数 又称点源影响函数 是数学物理中的重要概念 代表一个点源在一定的边界条件 和初始条件下所产生的场 而知道了点源的场 可以用叠加的方法计算任意源产生的场 第一第一 green 公式公式 u v dSu v dVu vdVuvdV 同理 v u dSv udVuvdV 第二第二 green 公式公式 两式相减就得到 green 第二 vu uvdSu vv u dV nn 公式 讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题 泊松方程而第一 第二 uf rrT 第三类边界条件可以统一表示为其中 f 是区域边界上给定的函数 u uf n 为第一类边界条件 Dirichlet BC 为第二类边界条件0 0 0 0 Neumann BC 为第三类边界条件 Robin BC 0 0 三维空间三维空间 Laplace 方程的基本解方程的基本解 定点是动点是 0000 MxyzM x y z 0 0 222 000 11 4 4 M M v M M r xxyyzz 0 0 1 4 M M MM r 单位正电荷位于处其电场于点的电位为 二维空间二维空间 Laplace 方程的基本解方程的基本解 动点是 000 MxyM x y 基本解 0 0 22 00 1111 lnln 22 M M v M M r xxyy 00 0 111 4 MMMM u u MudS rnn r A 调和函数的性质 2 0u 1 牛曼问题有解的必要条件 0 u dSf x y z dS n AA 2 平均值公式则 0 u MM 设在内调和 0 2 1 4 a a u MudSu a A 3 极值原理 则只在区域的边界上 u 设函数不等于常数在上连续 在内调和 取得最大值和最小值 4 Laplace方程解的唯一性 Dirichlet 问题的解释唯一的 Neumann 内的解 只相差一个常数