专题7——探究规律问题

1 专题专题 7 7 探究规律问题探究规律问题 备考点睛备考点睛 近年来 探索规律的题目成为数学中考的一个热点 从填空 选择到解答题中都可见 到这类探究规律问题 这类问题题目分为题设和结论两部分 通常题设部分给出一些数量 关系或图形变换关系 通过观察分析 要求学生找出这些关系中存在的规律 这种数学题 目本身存在一种数学探索的思想 体现了数学思想从特殊到一般的发现规律 是中考的一 个难点 往往出现在填空选择的最后一两道题 或解答题的最后几题 应引起考生的重视 规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛 题目没有固定的形式 因此没有固定的解题方 法 它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度 又能较好地考察学生的观察 分 析 比较 概括及发散思维的能力及创新意识 经典例题经典例题 类型一 借助以归纳为指导的思想方法 得到表示变化规律的代数式类型一 借助以归纳为指导的思想方法 得到表示变化规律的代数式 例题例题 1 如图 在中 把边长分别为 ABCRt 2 1 90 ACBCC 321 xxx 的个正方形依次放入中 请回答下列问题 n xnABC 1 按要求填表 2 第个正方形的边长 n n x 解答 解答 如图 设 则 相当于搞清楚第一项 0 xBC 1 0 x 由 得 而 11C ABRt ABCRt 2 1 1 11 AC BC AC CB 111 xCB 11 xACAC 解得即 3 2 01 xx 2 1 2 1 1 x x 3 2 1 x 完全类似地可得 2 12 3 2 3 2 xx 搞清楚了递推关系 把这些都搞清楚了 本题的解就很容易得到了 1 依次应填 2 9 4 3 2 27 8 n 3 2 例题例题 2 2 2010 山东济宁 观察下面的变形规律 1 21 1 1 232 1 1 23 1 43 1 3 1 4 1 解答下面的问题 1 若 n 为正整数 请你猜想 1 1 nn 2 证明你猜想的结论 n 123 n x A B C 1 x 2 x 3 x A B C 1 x 2 x 3 x 1 B 2 B 3 B 1 C2 C 3 C 2 3 求和 21 1 32 1 43 1 20102009 1 解答 解答 1 11 1nn 2 证明 n 1 1 1 n 1 1 nn n 1 nn n1 1 nn n n 1 1 nn 3 原式 1 1 2 1 23 1 3 1 4 1 2009 1 2010 1 12009 1 20102010 例题例题 3 如图 下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的 若将露 出的表面都涂上颜色 底面不涂色 则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 n 解答 解答 我们把上面各图中满足 只有两个面涂色的立方体 用涂色法表示出来 所以 第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有个 n48 n 例题例题 4 探索的正方形钉子板上 是钉子板每边上的钉子数 连接任意两个钉nn n 子所得到的不同长度值的线段种数 3 当时 钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与 所以不同长度值的线段只有2 n2 2 种 若用表示不同长度值的线段种数 则当时 钉子板上所连不同线段S 2 S3 n 的长度值只有五种 比时增加了 3 种 即 22 5 2 2 12 n532 S 1 观察图形 填写下表 钉子数 nn 值S 22 2 33 2 3 44 2 3 55 2 写出和的两个钉子板上 不同长度值的线段种数之间的关系 1 1 nn nn 用式子或语言表述均可 3 对的钉子板 写出用表示的代数式 nn nS 解答 解答 当时 钉子板上所连不同线段的长度值只有 这些是4 n22 5 2 2 1 时已有的 新增加的 即左下角的钉子分别和最上一行四3 n23 13 10 3 个钉子的所连线段的长 第一层归纳 时比时多出 3 个种数 时3 n2 n4 n 比时多出 4 个种数 时比时多出个种数 第二层3 n nn 1 1 nnn 归纳 有了以上两个层次的归纳概括 三个问题的解都已是水到渠成 1 两个括号内应分别埴 4 2 3 4 5 2 的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种 nn 1 1 nnn 3 nS 432 归纳的实质是从若干个特殊中发现共性 因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手 这 一点 本题体现得比较充分 类型二 借助于函数思想 得到表示变化规律的代数式类型二 借助于函数思想 得到表示变化规律的代数式 例题例题 5 一根绳子弯曲成如图 1 所示的形状 当用剪刀像图 2 那样沿虚线把绳子a 剪断时 绳子被剪为 5 段 当用剪刀像图 3 那样沿虚线把绳子再剪一次时 绳 abb 子就被剪成 9 段 若用剪刀在虚线之间把绳子再剪次 剪刀的方向与平行 ba 2 na 这样一共剪次时绳子的段数是 n A B C D 14 n24 n34 n54 n 解答 解答 我们先找出图 1 2 3 4 中序号和绳子段数的对应情况 有 1 1 2 5 3 9 4 13 序号每增大 1 段数值就增大 4 应呈一次函数关系 设为 由 1 1 2 5 得 bkny 4 即 34 ny 本题要求的是 剪次 实际上是序号所对应的图 其中绳子的段数应为n1 n 143 1 4 nny 答 应选 A 说明 对于本题应特别注意的是 图形序号和剪的次数是不一致的 我们建立的是图形序 号与绳子线段的函数 而剪刀则是第个图 二者不应弄混 n1 n 当然 本题也可一开始就考虑 剪的次数 与绳子段数之间的关系 那就有ny 0 1 1 5 2 9 3 13 仍借助于待定系数法求出函数关系式 最后的结果是一样的 14 ny 例题例题 6 观察图 1 至 4 中小圆圈的摆放规律 并按这样的规律继续摆放 记第 个图中小圆圈的个数为 则 用含的代数式表示 nm mn 解答 解答 题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足 1 5 2 8 3 11 4 14 序数 自变量 每增大 1 对应的函数值就增大 3 因此 它们就应nm 当成一次函数关系 这样 我们就可以用待定系数法求其表达式 设 由 1 5 2 8 满足关系 可知有 bknm 23 nm 答 m23 n 说明 就本题来说 用 一般归纳 的方法也容易求得结果 而应用 待定系数法 不仅 多了一种选择方法 更在于它过程规范 结果肯定 把合情 猜想 转变为程序性的执行 提高了确定感 例题例题 7 将图 1 所示的正六边形进行分割得到图 2 再将图 2 中最小的某一个正六边形 按同样的方式进行分割得到图 3 再将 3 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分 割 则第个图形中 其有 个六边形 n 解答 解答 图形序号与图形中正六边形的个数满足 1 1 2 4 3 7 每nmn 增大 1 就增大 3 可知是的一次函数 用待定系数法 略 求得mmn23 nm 5 类型三 借助于直接计算 得到表示变化规律的代数式类型三 借助于直接计算 得到表示变化规律的代数式 例题例题 8 8 2010 贵州贵阳 如图 在直角坐标系中 已知点的坐标为 1 0 将线段 0 M 绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45 再将其延长到 使得 得到 0 OM 1 M 001 OMMM 线段 又将线段绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45 再将其延长到 使得 1 OM 1 OM 2 M 得到线段 如此下去 得到线段 112 OMMM 2 OM 3 OM 4 OM n OM 1 写出点 M5的坐标 2 求的周长 65OM M 3 我们规定 把点 0 1 2 3 nnn yxM n 的横坐标 纵坐标都取绝对值后得到的新坐标 n x n y 称之为点的 绝对坐标 根据图中点 nn yx n M n M 的分布规律 请你猜想点的 绝对坐标 并写出来 4 分 n M 解答 解答 1 M5 4 4 2 由规律可知 24 5 OM24 65 MM8 6 OM 的周长是 65OM M 288 3 解法一 由题意知 旋转 8 次之后回到轴的正半轴 在这 8 次旋转中 点 0 OMx 分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上 但各点 绝对坐标 的横 纵坐标均 n Mxy 为非负数 因此 点的 绝对坐标 可分三类情况 n M 令旋转次数为n 当点 M 在 x 轴上时 M0 M4 M8 M12 0 2 0 0 2 4 0 2 8 0 2 12 即 点的 绝对坐标 为 n M 0 2 n 当点 M 在 y 轴上时 M2 M6 M10 M14 2 0 2 2 0 6 2 0 10 2 0 14 即 点的 绝对坐标 为 n M 2 0 n 当点 M 在各象限的分角线上时 M1 M3 M5 2 2 00 2 2 22 M7 即 的 绝对坐标 为 2 2 44 2 2 66 n M 2 2 11 nn 解法二 由题意知 旋转 8 次之后回到轴的正半轴 在这 8 次旋转中 点分别落在 0 OMx 坐标象限的分角线上或轴或轴上 但各点 绝对坐标 的横 纵坐标均为非负数 因xy 此 各点的 绝对坐标 可分三种情况 当时 其中 0 1 2 3 点在轴上 则 kn2 kx n M2 0 2n 当时 其中 1 2 3 点在轴上 点 12 knky n M2 n 2 0 当 1 2 3 时 点在各象限的分角线上 则点 n 12 n M 11 2 2 nn 例题例题 9 9 如图 已知的面积 ABC 1 ABC S 1 在图 1 中 若则 2 1 111 CA CC BC BB AB AA 4 1 111 CBA S 2 在图 2 中 若 则 3 1 222 CA CC BC BB AB AA 3 1 222 CBA S 6 3 在图 3 中 若则 4 1 333 CA CC BC BB AB AA 16 7 333 CBA S 按此规律 若 则 9 1 888 CA CC BC BB AB AA 888 CBA S 1 2 3 解答 解答 其实不用管图 1 2 3 可直接计算的面积即可 实际上 888 CBA 表示边上的高 边 AB 2 1 8 88 hhAAS CAA 88C AA 8 AAABChhAB 为 9 8 9 1 2 1 上的高 ABC ShAB 81 8 81 8 2 1 同理 均等于 得 88A BB S 88B CC S ABC S 81 8 27 19 27 8 13 81 8 1 888 CBA S 例题例题 10 2010 广东中山 阅读下列材料 210321 3 1 21 321432 3 1 32 432543 3 1 43 由以上三个等式相加 可得 20543 3 1 433221 读完以上材料 请你计算下列各题 1 写出过程 1110433221 2 1 433221 nn 3 987543432321 解答 解答 1 1110433221 210321 3 1 321432 3 1 11109121110 3 1 121110 3 1 440 2 2 1 3 1 nnn A BC 2 C A 2 A 2 B A BC 3 C 3 A 3 BBC A 1 A 1 B A A 7 3 987543432321 32104321 4 1 43215432 4 1 987610987 4 1 10987 4 1 1260 技巧提炼技巧提炼 规律探索性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出 需要通过观察 分析 综合 归纳 概括 推理 判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论和条件 解答这类问题的 关键是认真审题 掌握规律 合理推测 认真验证 从而得出问题的正确结论 研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法 1 以归纳概括为指导的思考方法 这类问题思考特点是 第一 系统考察所提供的一系列特殊 从每个特殊与其位次的 对应关系上找共同的规律 第二 特别注意研究相邻两项之间的相关性 2 以函数思想为指导的方法 这类问题的思考特点是 第一 先根据背景与问题的特点 选定标准并按其分类 第 二 将问题按所属类别做出解答 3 以直接计算为指导的方法 这类问题的思考特点 找到由前一项 或前几项 表示该项的规律 这样 只要知道 第一项 或前几项 就可以逐个地将随后的项推出 体验中考体验中考 1 1 2010 山东日照 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 例如 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形 数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形 数又是正方形数的是 A 15 B 25 C 55 D 1225 2 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示 则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是 A B C D 132 1 360 1 495 1 660 1 仔细分析与研究后可以发现 1 每一行左数从第一个数为该行的倒数 8 2 每行中间及偏左的数 都等于它左上角的数减去它左边的数 如第 3 行中 如第 7 行中 依 1 和 2 可知 第 9 行左数第 2 个 3 1 2 1 6 1 42 1 30 1 105 1 数为 第 10 行左数第 2 个数为 第 10 行左数第 3 个数应为 72 1 7 1 8 1 90 1 10 1 9 1 360 1 90 1 72 1 3 3 2010 安徽中考 下面两个多位数 1248624 6248624 都是按照如下方法得 到的 将第一位数字乘以 2 若积为一位数 将其写在第 2 位上 若积为两位数 则将其 个位数字写在第 2 位 对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字 后面的每一位 数字都是由前一位数字进行如上操作得到的 当第 1 位数字是 3 时 仍按如上操作得到一 个多位数 则这个多位数前 100 位的所有数字之和是 A 495 B 497 C 501 D 503 4 4 2010 广东茂名 用棋子摆出下列一组 口 字 按照这种方法摆下去 则摆第 n 个 口 字需用棋子 A 4n 枚 B 4n 4 枚 C 4n 4 枚 D n2枚 5 5 2010 广东深圳 观察下列算式 用你所发现的规律得出的末位数字是 2010 2 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 A 2 B 4 C 6 D 8 6 6 2010 江苏淮安 观察下列各式 1 1 21 2 30 1 2 3 1 2 32 3 4 1 2 3 3 1 3 43 4 52 3 4 3 计算 3 1 2 2 3 3 4 99 100 第 2 个 口 第 1 个 口 第 3 个 口 第 n 个 口 9 A 97 98 99 B 98 99 100 C 99 100 101 D 100 101 102 7 7 2010 山东济南 如图所示 两个全等菱形的边长为 1 厘米 一只蚂蚁由点开始A 按的顺序沿菱形的边循环运动 行走 2010 厘米后停下 则这只蚂蚁停在 ABCDEFCGA 点 8 观察下列等式 221 422 823 1624 3225 6426 通过观察 用你所发现的规律确定的个位数字是 12827 2008 2 9 9 2010 江苏连云港 如图 ABC 的面积为 1 分别取 AC BC 两边的中点 A1 B1 则四边形 A1ABB1的面积为 再分别取 A1C B1C 的中点 A2 B2 A2C B2C 的中点 3 4 A3 B3 依次取下去 利用这一图形 能直观地计算出 3 4 3 42 3 43 3 4n 10 如图 是用火柴棒摆出的一系列三角形图案 按这种方式摆下去 当每边上摆 10 根火柴 棒时 共需要摆 根火柴棒 1111 2010 四川成都 已知是正整数 是反比例n 111222 nnn P x yP xyP xy 函数图象上的一列点 其中 记 k y x 12 1 2 n xxxn 112 Ax y 若 是非零常数 则 A1 A2 An的值是 223 Ax y 1nnn Ax y 1 Aa a 用含和的代数式表示 an 12 如图 是用火棍摆成边长分别是 1 2 3 根火柴棍时的正方形 当边长为根火柴棍n 时 若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 则 用含的代数式SSn 表示 为正整数 n A D B A D C F E B A D A1 A2 A3 B1B2B3 C A F D E B G 10 13 将正六边形纸片按下列要求分割 每次分割 纸片均不得有剩余 第一次分割 将正六边形纸片分割成三个全等的菱形 然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和 两个全等的正三角形 第二次分割 将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等 的菱形 然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形 按上述分 割方法进行下去 1 请你在图中画出第一次分割的示意图 2 若原正六边形的面积为 请你通过操作和观察 将第 1 次 第 2 次 第 3 次分割后a 所得的正六边形的面积填入下表 3 观察所填表格 并结合操作 请你猜想 分割后所得的正六边形的面积与分割次数有Sn 何关系 用含和的代数式表示 不需要写出推理过程 San 14 如图 已知 则点和点 0 1 1 A 1 1 2 A 1 1 3 A 1 1 4 A 1 2 5 A 2007 A 的坐标分别为 2008 A 15 下面是某种细胞分裂示意图 这种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个 根据此项 规律可得 1 这样的一个细胞经过第四个 30 分钟后分裂成 个细胞 2 这样的一个细胞经过 3 个小时后可分裂成 个细胞 3 这样的一个细胞经过 为正整数 小时后要分裂成 个细胞 nn 4 x y 3 2 O 4 2 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 16 数字解密 第一个数是 第二个数是 第三个 是 第123 235 459 四个数是 按此规律观察并猜想第六个数是 8917 1717 2010 浙江嘉兴 如图 已知 O 的半径为 1 PQ 是 O 的直径 n 个相同的正三角 形沿 PQ 排成一列 所有正三角形都关于 PQ 对称 其中第一个的顶点与 111 CBA 1 A 点 P 重合 第二个的顶点是与 PQ 的交点 最后一个 222 CBA 2 A 11C B 的顶点 在圆上 nnn CBA n B n C 1 如图 1 当时 求正三角形的边长 1 n 1 a 2 如图 2 当时 求正三角形的边长 全品中考网2 n 2 a 3 如题图 求正三角形的边长 用含 n 的代数式表示 n a 1818 2010 广东汕头 阅读下列材料 1 2 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 2 3 4 1 2 3 3 1 3 4 3 4 5 2 3 4 3 1 由以上三个等式相加 可得 1 2 2 3 3 4 3 4 5 20 3 1 读完以上材料 请你计算下列各题 1 1 2 2 3 3 4 10 11 写出过程 2 1 2 2 3 3 4 n n 1 3 1 2 3 2 3 4 3 4 5 7 8 9 1919 2010 浙江宁波 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 V 面数 F 棱数 E 之间存在的一个有趣的关系式 被称为欧拉公式 请你观察下列几种简单多面体 模型 解答下列问题 12 1 根据上面多面体模型 完成表格中的空格 你发现顶点数 V 面数 F 棱数 E 之间存在的关系式是 2 一个多面体的面数比顶点数大 8 且有 30 条棱 则这个多面体的面数是 3 某个玻璃饰品的外形是简单多面体 它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接 而成 且有 24 个顶点 每个顶点处都有 3 条棱 设该多面体外表面三角形的个数为 x 个 八边形的个数为 y 个 求 x y 的值 答案 答案 1 1 答案 D 2 答案 B 仔细分析与研究后可以发现 1 每一行左数从第一个数为该行的倒数 2 每行中间及偏左的数 都等于它左上角的数减去它左边的数 如第 3 行中 如第 7 行中 3 1 2 1 6 1 42 1 30 1 105 1 依 1 和 2 可知 第 9 行左数第 2 个数为 第 10 行左数第 2 个数为 72 1 7 1 8 1 第 10 行左数第 3 个数应为 90 1 10 1 9 1 360 1 90 1 72 1 3 3 答案 A 4 4 答案 A 5 5 答案 B 多面体顶点数 V 面数 F 棱数 E 四面体44 长方体8612 正八面体 812 正十二面体201230 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 13 6 6 答案 C 7 7 答案答案 C 8 答案答案 将题目提供的一列数字按 个位数 的情况重新分类 个位数字2 的乘方 2 归纳概括为 为自然 51 2 2 14 2 n n 数 下同 4 归纳概括为 62 2 2 24 2 n 6 归纳概括为 2 2 7334 2 n 8 归纳概括为 44 2 n 2 2 84 而 个位数字应为 6 个位数应为 6 2008 2 5024 2 2008 2 9 9 答案答案 n 1 1 4 10 答案答案 本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形 所用火柴棒数就等 于这样的三角形数再乘以 3 为了找到规律 可以将每边 4 根火柴棒的情况也画出 所以 应填 165 1111 答案答案 2 1 n a n 12 答案答案 这只要直接计算第个图形 如上图所示 有多少火柴棒即可 竖着摆放的n 火柴棍有列 有行 共有根 而横着摆放的和竖着摆放的一样多 因此1 nn 1 nn 1 2 nnS 13 答案答案 显然 这是一个探究递推关系的题目 首先应当完成第一次分割操作 如图 1 其 次 由操作和观察容易知道 设原正六边形的面积 则图 1 中小正六边形 阴影所示 的 0 Sa 面积等于所在菱形面积的 从而等于整个大正六边形面积的 即有关系 1 S 4 3 8 6 4 1 完全相同的道理 由此 问题 2 3 得aSS 4 1 4 1 01 aSS 2 12 4 1 4 1 解 1 见图 2 依次应填 a 4 1 a 16 1 a 64 1 3 实际上是 S n Sa n 4 1 14 答案答案 要求点的坐标 一般分两步考虑 第一步先确定该点在哪一个象限 第二步 确定该点到两坐标轴的距离 对本题我们也可以从这两步来研究 1 S 14 第一步 可以看出除了点外 其他各点均在象限内 1 A 按象限分类 所在象限 点 n A 一 归纳概括为 为自然数 1062 AAA 24 n An 二 归纳概括为 1173 AAA 34 n A 三 归纳概括为 1284 AAA n A4 四 归纳概括为 95 AA 14 n A 由 可知在第二象限 在第三象限 350142007 50242008 2007 A 2008 A 第二步 从题目提供的坐标系里的图示看出 1 第一 二 三 象限内各点横 纵坐标的绝对值是相等的 2 就坐标的绝对值来说 又是这样对应的 点 41 AA 85 AA 129 AA 归纳概括为 1 414 nn AA 坐标的绝对值 123 1 n 由知其坐标的绝对值应为 由 知其坐 350142007 5021501 50242008 标的绝对值应为 将第一步和第二步结合 可得和的坐标 502 2007 A 2008 A 的坐标为 的 坐标为 2007 A 502 502 2008 A 502 502 15 答案答案 如果假设 由 1 个细胞开始 经过次分裂后细胞数记为 且记 依m m P1 0 P 题意有 次分裂后细胞数1 0 P 22 01 PP 2 12 22