用因式分解法解一元二次方程 (2)

新课标第一网 中小学教学资源共享平台 新课标第一网 免费课件 教案 试题下载 用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程 学习目标学习目标 1 会用因式分解法解某些一元二次方程 2 能够根据方程的特征 灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根 主体知识归纳主体知识归纳 1 因式分解法 若一元二次方程的一边是 0 而另一边易于分解成两个一次因式时 例如 x2 9 0 这个方程可变形为 x 3 x 3 0 要 x 3 x 3 等于 0 必须并且只需 x 3 等于 0 或 x 3 等于 0 因此 解方程 x 3 x 3 0 就相当于解方程x 3 0 或x 3 0 了 通过解这两个一 次方程就可得到原方程的解 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 2 因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程 其理论根据是 若 A B 0A 0 或B 0 基础知识讲解基础知识讲解 1 只有当方程的一边能够分解成两个一次因式 而另一边是 0 的时候 才能应用因式分解法解一元 二次方程 分解因式时 要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法 2 在一元二次方程的四种解法中 公式法是主要的 公式法可以说是通法 即能解任何一个一元二 次方程 但对某些特殊形式的一元二次方程 有的用直接开平方法简便 有的用因式分解法简便 因此 在遇到一道题时 应选择适当的方法去解 配方法解一元二次方程是比较麻烦的 在实际解一元二次方程 时 一般不用配方法 而在以后的学习中 会常常用到因式分解法 所以要掌握这个重要的数学方法 例题精讲例题精讲 例 1 用因式分解法解下列方程 1 y2 7y 6 0 2 t 2t 1 3 2t 1 3 2x 1 x 1 1 解 1 方程可变形为 y 1 y 6 0 y 1 0 或y 6 0 y1 1 y2 6 2 方程可变形为t 2t 1 3 2t 1 0 2t 1 t 3 0 2t 1 0 或 t 3 0 t1 t2 3 2 1 3 方程可变形为 2x2 3x 0 x 2x 3 0 x 0 或 2x 3 0 x1 0 x2 2 3 说明 1 在用因式分解法解一元二次方程时 一般地要把方程整理为一般式 如果左边的代数式能 够分解为两个一次因式的乘积 而右边为零时 则可令每一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 解 出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了 2 应用因式分解法解形如 x a x b c的方程 其左边是两个一次因式之积 但右边不是零 所以应转化为形如 x e x f 0 的形式 这时才有x1 e x2 f 否则会产生错误 如 3 可能产生 如下的错解 原方程变形为 2x 1 1 或x 1 1 x1 1 x2 2 3 在方程 2 中 为什么方程两边不能同除以 2t 1 请同学们思考 例 2 用适当方法解下列方程 1 1 x 2 2 x2 6x 19 0 3 3x2 4x 1 4 y2 15 2y 5 5x x 3 x 3 327 x 1 0 6 4 3x 1 2 25 x 2 2 剖析 方程 1 用直接开平方法 方程 2 用配方法 方程 3 用公式法 方程 4 化成一般式后用因式 分解法 而方程 5 6 不用化成一般式 而直接用因式分解法就可以了 新课标第一网 中小学教学资源共享平台 新课标第一网 免费课件 教案 试题下载 解 1 1 x 2 x 1 2 3 x 1 x1 1 x2 1 9333 2 移项 得x2 6x 19 配方 得x2 6x 3 2 19 3 2 x 3 2 28 x 3 2 7 x1 3 2 x2 3 2 77 3 移项 得 3x2 4x 1 0 a 3 b 4 c 1 x 3 72 32 1 34 4 4 2 x1 x2 3 72 3 72 4 移项 得y2 2y 15 0 把方程左边因式分解 得 y 5 y 3 0 y 5 0 或y 3 0 y1 5 y2 3 5 将方程左边因式分解 得 x 3 5x x 1 0 x 3 4x 1 0 x 3 0 或 4x 1 0 x1 3 x2 4 1 6 移项 得 4 3x 1 2 25 x 2 2 0 2 3x 1 2 5 x 2 2 0 2 3x 1 5 x 2 2 3x 1 5 x 2 0 11x 8 x 12 0 11x 8 0 或x 12 0 x1 x2 12 11 8 说明 1 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样 只不过要注意二次根式的化简 2 直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式 对于这种形式的方程就不必要整理成 一般式了 例 3 解关于x的方程 a2 b2 x2 4abx a2 b2 解 1 当a2 b2 0 即 a b 时 方程为 4abx 0 当a b 0 时 x为任意实数 当 a b 0 时 x 0 2 当a2 b2 0 即a b 0 且a b 0 时 方程为一元二次方程 分解因式 得 a b x a b a b x a b 0 a b 0 且a b 0 x1 x2 ba ab ba ba 说明 解字母系数的方程 要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解 本题实际上是 分三种情况 即 a b 0 a b 0 a b 例 4 已知x2 xy 2y2 0 且x 0 y 0 求代数式的值 22 22 52 52 yxyx yxyx 剖析 要求代数式的值 只要求出x y的值即可 但从已知条件中显然不能求出 要求代数式的分 子 分母是关于x y的二次齐次式 所以知道x与y的比值也可 由已知x2 xy 2y2 0 因式分解即可 新课标第一网 中小学教学资源共享平台 新课标第一网 免费课件 教案 试题下载 得x与y的比值 解 由x2 xy 2y2 0 得 x 2y x y 0 x 2y 0 或x y 0 x 2y或x y 当x 2y时 13 5 y13 y5 y5yy22 y2 y5yy22 y2 y5xy2x y5xy2x 2 2 22 22 22 22 当x y时 2 1 y4 y2 y5y y 2 y y5y y 2 y y5xy2x y5xy2x 2 2 2 22 22 22 说明 因式分解法体现了 降次 化归 的数学思想方法 它不仅可用来解一元二次方程 而且在 解一元高次方程 二元二次方程组及有关代数式的计算 证明中也有着广泛的 应用 同步达纲练习同步达纲练习 1 选择题 1 方程 x 16 x 8 0 的根是 A x1 16 x2 8B x1 16 x2 8C x1 16 x2 8 D x1 16 x2 8 2 下列方程 4x2 3x 1 0 5x2 7x 2 0 13x2 15x 2 0 中 有一个公共解是 A x B x 2C x 1 2 1 D x 1 3 方程 5x x 3 3 x 3 解为 A x1 x2 3B x C x1 x2 3D x1 5 3 5 3 5 3 x2 3 5 3 4 方程 y 5 y 2 1 的根为 A y1 5 y2 2B y 5C y 2D 以上 答案都不对 5 方程 x 1 2 4 x 2 2 0 的根为 A x1 1 x2 5B x1 1 x2 5C x1 1 x2 5 D x1 1 x2 5 6 一元二次方程x2 5x 0 的较大的一个根设为m x2 3x 2 0 较小的根设为n 则m n的值为 A 1B 2C 4D 4 7 已知三角形两边长为 4 和 7 第三边的长是方程x2 16x 55 0 的一个根 则第三边长是 A 5B 5 或 11C 6D 11 8 方程x2 3 x 1 1 的不同解的个数是 A 0B 1C 2D 3 2 填空题 1 方程t t 3 28 的解为 2 方程 2x 1 2 3 2x 1 0 的解为 3 方程 2y 1 2 3 2y 1 2 0 的解为 4 关于x的方程x2 m n x mn 0 的解为 5 方程x x x的解为 55 3 用因式分解法解下列方程 新课标第一网 中小学教学资源共享平台 新课标第一网 免费课件 教案 试题下载 1 x2 12x 0 2 4x2 1 0 3 x2 7x 4 x2 4x 21 0 5 x 1 x 3 12 6 3x2 2x 1 0 7 10 x2 x 3 0 8 x 1 2 4 x 1 21 0 4 用适当方法解下列方程 1 x2 4x 3 0 2 x 2 2 256 3 x2 3x 1 0 4 x2 2x 3 0 5 2t 3 2 3 2t 3 6 3 y 2 y2 9 7 1 x2 1 x 0 22 8 x2 5 1 x 0 5210 9 2x2 8x 7 精确到 0 01 10 x 5 2 2 x 5 8 0 5 解关于x的方程 1 x2 4ax 3a2 1 2a 2 x2 5x k2 2kx 5k 6 3 x2 2mx 8m2 0 4 x2 2m 1 x m2 m 0 6 已知x2 3xy 4y2 0 y 0 试求的值 yx yx 新课标第一网 中小学教学资源共享平台 新课标第一网 免费课件 教案 试题下载 7 已知 x2 y2 x2 1 y2 12 0 求x2 y2的值 8 请你用三种方法解方程 x x 12 864 9 已知x2 3x 5 的值为 9 试求 3x2 9x 2 的值 10 一跳水运动员从 10 米高台上跳水 他跳下的高度h 单位 米 与所用的时间t 单位 秒 的关系 式h 5 t 2 t 1 求运动员起跳到入水所用的时间 11 为解方程 x2 1 2 5 x2 1 4 0 我们可以将x2 1 视为一个整体 然后设x2 1 y 则 y2 x2 1 2 原方程化为y2 5y 4 0 解此方程 得y1 1 y2 4 当y 1 时 x2 1 1 x2 2 x 2 当y 4 时 x2 1 4 x2 5 x 5 原方程的解为x1 x2 x3 x4 2255 以上方法就叫换元法 达到了降次的目的 体现了转化的思想 1 运用上述方法解方程 x4 3x2 4 0 2 既然可以将x2 1 看作一个整体 你能直接运用因式分解法解这个方程吗 新课标第一网 中小学教学资源共享平台 新课标第一网 免费课件 教案 试题下载 参考答案参考答案 同步达纲练习同步达纲练习 1 1 B 2 C 3 D 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 2 1 t1 7 t2 4 2 x1 x2 2 3 y1 1 y2 4 x1 m x2 n 5 x1 x2 1 2 1 2 3 5 3 1 x1 0 x2 12 2 x1 x2 3 x1 0 x2 7 4 x1 7 x2 3 5 x1 5 x2 3 6 2 1 2 1 x1 1 x2 3 1 7 x1 x2 8 x1 8 x2 2 5 3 2 1 4 1 x1 1 x2 3 2 x1 18 x2 14 3 x1 x2 4 x1 3 x2 1 2 53 2 53 5 t1 0 t2 6 y1 0 y2 3 7 x1 0 x2 2 3 2 3 2 8 x1 x2 9 x1 7 24 x2 3 24 10 x1 1 x2 7 5 5 10 5 1 x2 4ax 4a2 a2 2a 1 x 2a 2 a 1 2 x 2a a 1 x1 3a 1 x2 a 1 2 x2 5 2k x k2 5k 6 0 x2 5 2k x k 1 k 6 0 x k 1 x k 6 0 x1 k 1 x2 k 6 3 x2 2mx m2 9m2 x m 2 3m 2 x1 4m x2 2m 4 x2 2m 1 x m m 1 0 x m x m 1 0 x1 m x2 m 1 6 x 4y x y 0 x 4y或x y 当x 4y时 yx yx 3 5 4 4 yy yy 当x y时 0 yx yx