高二圆锥曲线知识点总结与例题

1 高二圆锥曲线知识点总结与例题分析高二圆锥曲线知识点总结与例题分析 一 椭圆 1 椭圆概念 平面内与两个定点 的距离的和等于常数 2 大于 的点的轨迹叫做椭 1 F 2 Fa 21 FF 圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距 若为椭圆上任意一M 点 则有 21 2MFMFa 椭圆的标准方程为 焦点在 x 轴上 22 22 1 xy ab 0ab 或 焦点在 y 轴上 1 2 2 2 2 b x a y 0ab 注 以上方程中的大小 其中 a b0ab 222 bac 在和两个方程中都有的条件 要分清焦点的要分清焦点的 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 0ab 位置 只要看位置 只要看和和的分母的大小 的分母的大小 2 x 2 y 例如椭圆 当时表示焦点在轴上 22 1 xy mn 0m 0n mn mn x 的椭圆 当时表示焦点在轴上的椭圆 mn y 2 椭圆的性质 范围范围 由标准方程知 说明椭圆位于直线椭圆位于直线 所所 22 22 1 xy ab xa yb xa yb 围成的矩形里围成的矩形里 对称性对称性 椭圆关于椭圆关于轴 轴 轴和原点对称轴和原点对称 这时 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是对称中心坐标轴是椭圆的对称轴 原点是对称中心 xy 椭圆的对称中心叫椭圆的中心 四个顶点四个顶点 1 0 Aa 2 0 A a 1 0 Bb 2 0 Bb 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别为和 和分 21 A A 21 B B2a2bab 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 由椭圆的对称性知 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 在中 a 22 Rt OB F 且 即 2 OBb 2 OFc 22 B Fa 222 2222 OFB FOB 222 cab 离心率离心率 椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率 c e a 3 3 点与椭圆的关系 点与椭圆的关系 点点和椭圆和椭圆 的关系 的关系 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 1 点在椭圆外 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆上 1 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 2 3 点在椭圆内 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 二 双曲线 1 双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 12 2PFPFa 注意 式中是差的绝对值 在条件下 时为双 12 02 aFF 12 2PFPFa 曲线的一支 时为双曲线的另一支 含的一支 21 2PFPFa 1 F 当时 表示两条射线 12 2 aFF 12 2PFPFa 当时 不表示任何图形 12 2 aFF 12 2PFPFa 两定点叫做双曲线的焦点 叫做焦距 12 F F 12 FF 椭圆和双曲线比较 椭 圆双 曲 线 定义 1212 2 2 PFPFaaFF 1212 2 2 PFPFaaFF 方程 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ba 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 焦点 0 Fc 0 Fc 0 Fc 0 Fc 注意 注意 要分清焦点的位置 由要分清焦点的位置 由 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上x 2 y 2 2 双曲线的性质 范围范围 从标准方程 看出曲线在坐标系中的范围 双曲线在两条直线的1 2 2 2 2 b y a x ax 外侧 对称性对称性 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 两个顶点两个顶点 0 0 2 aAaA 实轴实轴 线段叫做双曲线的实轴 它的长等于叫做双曲线的实半轴长 2 AA2 a a 虚轴虚轴 线段叫做双曲线的虚轴 它的长等于叫做双曲线的虚半轴长 2 BB2 b b 渐近线渐近线 围成的矩形的两条对角线 称为双曲线的渐近线 xa yb 双曲线双曲线渐近线为渐近线为 1 2 2 2 2 b y a x x a b y 等轴双曲线等轴双曲线 1 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 定义式 ab 2 等轴双曲线的性质 1 渐近线方程为 2 渐近线互相垂直 3 xy 离心率为 2 e 3 注意到等轴双曲线的特征 则等轴双曲线可以设为 ab 0 22 yx 当时交点在轴 当时焦点在轴上 0 x0 y 3 三 抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直 线 l 上 定点 F 叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 方程叫做抛物线的标准方程 02 2 ppxy 注意 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上 焦点坐标是 F 0 它的准线 2 p 方程是 2 p x 2 抛物线的性质 一条抛物线 由于它在坐标系的位置不同 方程也不同 有四种不同的情况 所以抛 物线的标准方程还有其他几种形式 这四种抛物线pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 的图形 标准方程 焦点坐标以及准线方程如下表 标准方程 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 图形 焦点坐标 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 离心率1e 1e 1e 1e 说明 1 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 2 抛物线的几何性质的特点 有一个顶点 一个焦点 一条准线 一条对称轴 无对称 中心 没有渐近线 3 注意强调的几何意义 是焦点到准线的距离 p 四四 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有 当直线与双曲线0 0 的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故是直线与双曲线相交的充0 o Fx y l ox y F l x y o F l 4 分条件 但不是必要条件 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 当直线与抛物线0 0 的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直线与抛物线相交0 的充分条件 但不是必要条件 2 相切 直线与椭圆相切 0 直线与双曲线相切 0 直线与抛物线相切 0 3 相离 直线与椭圆相离 0 直线与双曲线相离 0 直线与抛物线相离 0 特别提醒特别提醒 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相 切和相交 五 弦长公式五 弦长公式 直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 则它的弦长k 1122 A x yB x y 222 12121212 1 1 1 41ABxxxxx xyy 2 kk k 注 实质上是由两点间距离公式推导出来的 只是用了交点坐标设而不求的技巧而已 因 为 运用韦达定理来进行计算 1212 yyxx k 当直线斜率不存在是 则 12 AByy 六 圆锥曲线的中点弦问题 六 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 在双曲线中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 22 22 1 xy ab 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 在抛物线中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 2 2 0 ypx p 00 P xy 0 p y 高二圆锥曲线例题分析高二圆锥曲线例题分析 5 例 1 是椭圆的左 右焦点 点在椭圆上运动 则的最 12 FF 2 2 1 4 x y P 12 PFPF 大值是 解 12 PFPF 22 12 4 2 PFPF a 例 2 已知中心在原点 焦点在轴上的椭圆与直线交于 两点 x01 yxAB 为中点 的斜率为 0 25 椭圆的短轴长为 2 求椭圆的方程 MABOM 解 由题意 设椭圆方程为 由 得 1 2 2 2 y a x 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a 为所求 1 4 2 2 y x 例 3 设双曲线上两点 A B AB 中点 M 1 2 求直线 AB 方程 2 2 1 2 y x 解 方法一 显然 AB 斜率存在设 AB y 2 k x 1 由得 2 k2 x2 2k 2 k x k2 4k 6 0 2 2 2 1 2 ykxk y x 当 0 时 设 A x1 y1 B x2 y2 则 k 1 满足 0 12 2 2 22 xxkk k 直线 AB y x 1 法二 设 A x1 y1 B x2 y2 则两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 y x y x 2 1 y1 y2 x1 x2 AB y x 1 代入得 0 1212 1212 2 yyxx xxyy 2 1 1 2 AB k 2 2 1 2 y x 评注 法一为韦达定理法 法二称为点差法 当涉及到弦的中点时 常用这两种途径处理 6 在利用点差法时 必须检验条件 0 是否成立 例 4 椭圆中心是坐标原点 O 焦点在 x 轴上 e 过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 2 3 P Q 两点 PQ 且 OP OQ 求此椭圆的方程 9 20 解 设椭圆方程为 1 a b 0 2 2 a x 2 2 b y PQ x 轴时 F c 0 FP 又 FQ FP 且 OP OQ OF FP 即 c ac a2 a b2 a b2 c2 e2 e 1 0 e 与题设 e 不符 所以 PQ 不垂直 x 轴 2 15 2 3 PQ y k x c P x1 y1 Q x2 y2 e a2 c2 b2 c2 2 3 3 4 3 1 所以椭圆方程可化为 3x2 12y2 4c2 0 将 PQ 方程代入 得 3 12k2 x2 24k2cx 12k2c2 4c2 0 x1 x2 x1x2 2 2 123 24 k ck 2 222 123 412 k cck 由 PQ 得 9 20 2 1k 2 222 2 2 2 123 412 4 123 24 k cck k ck 9 20 OP OQ 1 即 x1x2 y1y2 0 1 k2 x1x2 k2c x1 x2 c2k2 0 1 1 x y 2 2 x y 把 代入 解 得 k2 把代入 解得 c2 3 21 xx 21x x 11 4 11 4 2 k a2 4 b2 1 则所求椭圆方程为 y2 1 4 2 x 例 5 双曲线 3x2 y2 1 上是否存在关于直线 y 2x 对称的两点 A B 若存在 试求出 A B 两点的坐标 若不存在 说明理由 解 设 AB y 2 1 x m 代入双曲线方程得 11x2 4mx 4 m2 1 0 这里 4m 2 4 11 4 m2 1 16 2m2 11 0 恒成立 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点为 M x0 y0 则 x1 x2 11 m4 x0 11 2m y0 2 1 x0 m 11 12m 7 若 A B 关于直线 y 2x 对称 则 M 必在直线 y 2x 上 11 12m 11 4m 得 m 1 由双曲线的对称性知 直线 y 2 1 x 与双曲线的交点的 A B 必关 于直线 y 2x 对称 存在 A B 且求得 A 11 2 11 1 B 11 2 11 1 例 6 求椭圆上的点到直线的距离的最小值 1 3 2 2 y x 06 yx 解 方法一 方法二 设椭圆上的点为 sincos3 则距离为 2 6 3 sin2 2 6sincos3 d 当时 1 3 sin 22 最小值 d 例 7 设 求的最大值和最小值 xR yxyx632 22 xyx2 22 分析 本题的关键是利用形数结合 观察方程与椭圆方程的结构一致 xyx632 22 设 显然它表示一个圆 由此可以画出图形 考虑椭圆及圆的位置mxyx 2 22 关系求得最值 解 由 xyx632 22 得 1 2 3 4 9 2 3 2 2 y x 可见它表示一个椭圆 其中心在点 焦点在轴上 且过 0 0 点和 0 2 3 x 3 0 点 设 则 mxyx 2 22 11 2 2 myx 它表示一个圆 其圆心为 1 0 半径 为 11 mm 在同一坐标系中作出椭圆及圆 如图所示 观察图形可知 8 当圆过 0 0 点时 半径最小 即 此时 11 m0 m 当圆过 3 0 点时 半径最大 即 41 m15 m 的最小值为 0 最大值为 15xyx2 22 例 8 已知椭圆内有一点 分别是椭圆的左 右焦点 点是1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 椭圆上一点 求的最大值 最小值及对应的点坐标 1 PFPA P 解 1 如上图 62 a 0 2 2 F2 2 AF 设是椭圆上任一点 P 由 62 21 aPFPF 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 等号仅当时成立 此时 22 AFPFPA P 共线A 2 F 由 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 等号仅当时成立 此时 共线 建立 的直线方程 22 AFPFPA PA 2 FA 2 F 02 yx 解方程组得两交点 4595 02 22 yx yx 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 1 P 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 2 P 综上所述 点与重合时 取最小值 点与重合时 P 1 P 1 PFPA 26 P 2 P 取最大值 2 PFPA 26 例 9 设椭圆 ax2 by2 1 与直线 x y 1 0 相交于 A B 两点 点 C 是 AB 的中点 若 9 AB 2 OC 的斜率为 求椭圆的方程 2 2 2 解 设 A x1 y1 B x2 y2 那么 A B 的坐标是方程组Error Error 的解 由 ax by 1 ax by 1 两式相减 得 2 12 12 22 2 a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 因为 1 y1 y2 x1 x2 所以 y1 y2 x1 x2 a b 即 所以 b a 2yC 2xC a b yC xC a b 2 22 再由方程组消去 y 得 a b x2 2bx b 1 0 由 AB x1 x2 2 y1 y2 22 x1 x2 2 2 2 x1 x2 2 4x1x2 2 得 x1 x2 2 4x1x2 4 即 2 4 4 2b a b b 1 a b 由 解得 a b 1 3 2 3 故所求的椭圆的方程为 1 x2 3 2y2 3 例 10 给定抛物线 C y2 4x F 是 C 的焦点 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 记 O 为坐标原点 1 求 的值 OA OB 2 设 当 OAB 的面积 S 2 时 求 的取值范围 AF FB 5 解 1 根据抛物线的方程可得焦点 F 1 0 设直线 l 的方程为 x my 1 将其与 C 的方程联立 消去 x 可得 y2 4my 4 0 设 A B 点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 y1 0 y2 则 y1y2 4 因为 y 4x1 y 4x2 2 12 2 所以 x1x2 y y 1 1 16 2 1 2 2 故 x1x2 y1y2 3 OA OB 2 因为 AF FB 10 所以 1 x1 y1 x2 1