高考数学难点突破_难点27__求空间的角

难点 27 求空间的角 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 . 难点磁场 ( )如图， l 为 60的二面角，等腰直角三角形 直角顶点 P 在l 上， M ,N ,且 所成的角等于 所成的角 . (1)求证： 别与 、 所成角相等； (2)求 所成角 . 案例探究 例 1在棱长为 a 的正方体 A B C D中， E、 F 分别是 A D的中点 . (1)求证：四边形 B 菱形； (2)求直线 A C 与 成的角； (3)求直线 平面 B 成的角； (4)求面 B 面 成的角 . 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属级题目 . 知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 . 错解分析：对于第 (1)问，若仅由 B E=F=断定 B 菱形是错误的，因为存在着四边相 等的空间四边形，必须证明 B、 E、 D、 F 四点共面 . 技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得 B E=F=25a,下证 B、 E、 D、F 四点共面，取 点 G，连结 A G、 B A B知， B 平行四边形 . B E A G,又 A F A 平行四边形 . A G B、 E、 D、 F 四点共面 故四边形 B 菱形 . (2)解：如图所示，在平面 ，过 C 作 直线 ， 则 A 补角 )为异面直线 A C 与 成的角 . 在 A ，易得 A C= 3 a， E=25a,A P=213a 由余弦定 理得 515故 A C 与 成角为 (3)解： 平面 B 的射影在 平分线上 又 B 菱形， 平分线， 故直线 平面 B 成的角为 在 B ， 2 a， = 2 a,B D= 2 a 则 =33故 平面 B 成的角是 (4)解：如图，连结 B D，交于 O 点，显然 O 为 B D 的中点，从而 O 为正方形A B C D 的中心 . 作 面 H 为正方形 中心， 再作 足为 M，连结 故 二面角 B A 的平面角 . 在 ， 2a,3a,斜边 5a, 则由面积关系得 030 ， 30 面 成的角为 例 2如下图，已知平行六面 体 ，底面 边长为 a 的正方形，侧棱 为 b,且 夹角都是 120 . 求： (1)长； (2)直线 成的角的余弦值 . 命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属级题目 . 知识依托：向量的加、减及向量的数量积 . 错解分析：注意 = 1 =120而不是 60 , =90 . 技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 . 221122211111212211111122122211111222221112221111111212222|)(|)(,2|,)2(,22|,0,21120c o s,21120c o 120,|,|:|222|)()(|)1(:依题意得由已知得解221 2| 2211124|,c o s 成角的余弦值为22 24 锦囊妙计 空间角的计算步骤：一作、二证、三算 范围： 0 90 方法：平移法；补形法 . 角 范围： 0 90 方法：关键是作垂线，找射影 . 方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 . 注：二面角的计算也可利用射影面积公式 S =计算 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )在正方体 ， M 为 中点， O 为底面 中心， P 为棱 任意一点，则直线 直线 成的角是 ( ) .( )设 在两平面互相垂直，且 C=BD=a, 20 ,则 平面 成的角为 ( ) 二、填空题 3.( )已知 0 ,过 O 点引 在平面的斜线 别成 45、 60，则以 棱的二面角 A B 的余弦值等于 _. 4.( )正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2 3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 _. 三、解答题 5.( )已知四边形 直角梯形， 0 ,平面 B=1, (1)求 长； (2)求异面直线 成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角 B D 为直二面角 . 6.( )设 在的两个平面互相垂直，且 C= 20 求： (1)直线 平面 成角的大小； (2)异面直线 成的角； (3)二面角 A C 的大小 . 7.( )一副三角板拼成一个四边形 图，然后将它沿 成直二面角 . (1)求证：平面 面 (2)求 成的角； (3)求二面角 A C 的大小 . 8.( )设 D 是 C 边上一点，把 起，使 C 点所处的新位置 C在平面 的射影 H 恰好在 . (1)求证：直线 C D 与平面 平面 成的两个角之和不可能超过 90； (2)若 0，二面角 C H 为 60，求 参考答案 难点磁场 (1)证明：作 于 A， 于 B,连接 作 l 于 C， l 于 D，连接 , , 别是 所成角及 所成角， 别是 , 所成角， 在 ， N， A . 在 ， A， 公共边， (1)结论成立 . (2)解：设 ,2 a,则 N=a,A= 2 2 ,l, l, 二面角 l 的平面角， 0，同理 0 , C=3633 M= 63260 ， 0 , 22222222)c o s i n6)s i 即 整理得， 16 163=0 解得 4341或,2321或，当 23时， 632 2 a 合理，舍去 . 21, 所成角为 30 . 歼灭难点训练 一、 (特殊位置法）将 P 点取为 ，连结 的射影，又 90角 . 答案： D 延长线，连 为 平面 的射影， D=23a, 5 . 答案： B 二、 取一点 C，使 ，过 C 分别作 A， B 于 B，则 ， 2 ， 3 ， ， ， ， ，由余弦定理，得 33. 答案：一个侧面面积为 面面积为 S，则这个侧面在底面上射影的面积为3S，由题设得321 侧面与底面所成二面角为 ,则 2133111 =60 . 答案： 60 三、 5.(1)解：因为 面 0 ,由勾股定理得222 622 (2)解：如图，过点 C 作 延长线于 E，连结 成的角为 它的补角 . D= 2 ，且 1022 由余弦定理得 32222 成角的余弦值为63. (3）证明：设 点分别为 G、 F，连结 1=而四边形 平行四边形， 又 面 矩形， 在 ， 2 ， 2 ， F 为 点， 而 面 平面 面 二面角 B D 为直二面角 . (1)如图，在平面 ，过 A 作 足为 H，则 面 为直线 平面 成的角 H= 5 (2) 平面 的射影， 成的角为 90 . (3)过 H 作 足为 R，连结 由三垂线定理知， 二面角 A C 的平面角的补角 C=a,则由题设知， H=2,23 ,在 3a， 故二面角 A C 大小为 7.(1)证明：取 点 E，连结 C， 平面 面 面 三垂线定理知 又 面 平面 平面 面 (2)解：在面 ，过 D 作 E 作 F，由三垂线定理知 成的角 . 设 AB=m，则 2 m， F=22m,F=36m 321a r c t a n,321t a A D D 与 成的角为 )解： E 作 G，连结 三垂线定理 知 二面角 A C 的平面角 0， 2m, 2m 又 2m, , 即二