高考数学难点突破_难点30__概率

99 难点 30 概 率 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容 解概率处理问题的基本思想方法 . 难点磁场 ( )如图，用 A、 B、 C 三类不同的元件连接成两个系统 元件 A、 B、C 都正常工作时，系统 元件 A 正常工作且元件 B、 C 至少有一个正常工作时，系统 常工作 、 B、 C 正常工作的概率依次为 别求系统 1、 案例探究 例 1 ( )有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的频率数如下： 10， 15 4 30， 35) 9 15， 20) 5 35， 40) 8 20， 25) 10 40， 45) 3 25，30) 11 (1)列出样本的 频率分布表 (含累积频率 )； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 . 命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 . 知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 . 错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 . 技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 . 解： (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 总计 频数 4 5 10 11 9 8 3 50 频率 累积频率 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下： 100 例 2 ( )某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量，它的分布列如下： 1 2 3 12 P 121121121 121设每售出一台电冰箱，电器商获利 300 元，如销售不出 而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用 100 元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？ 命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题 . 知识依托：期望的概念及函数的有关知识 . 错解分析：在本题中，求 一个难点，稍有不慎，就将产生失误 . 技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题 . 解：设 x 为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑 1 x 12 的情况，设电器商每月的收益为 y 元，则 y 是随机变量 的函数且 y= ),(100300 ,300 ,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为： 00x(x+1+ + 300 100(x 1) 2 300 100(x 2) + 300(x 1) 100 1 =300x(12 x+1)121+ 121 3002 )1(1 0 02 )1( =325( 28x) 由于 x N,故可求出当 x=9 或 x=10 时，也即电器商月初 购进 9 台或 10 台电冰箱时，收益最大 . 锦囊妙记 本章内容分为概率初步和随机变量两部分 斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验 散型随机变量的期望与方差 . 涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 . 主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，目标被击中的概率为 ( ) 10 7 D . 54C. 32 B . )已知随机变量 的分布列为： P( =k)=31,k=1,2,3,则 P(3 +5)等于 ( ) 、填空题 3.( )1 盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次 取 1 个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数 的期望 _. 4.( )某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出 4 人参 101 加某项活动，这 4 人恰好来自不同组别的概率是 _. 三、解答题 5.( )甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率 . 6.( )已知连续型随机变量 的概率密度函数 f(x)=2 021 1 0(1)求常数 a 的值，并画出 的概率密度曲线； (2)求 P(1 23). 7.( )设 P 在 0,5上随机地取值，求方程 x2+14p=0 有实根的概率 . 8.( )设一部机器在一天内发生故障的概率为 器发生故障时全天停止工作 个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求 一周内期望利润是多少？ 参考答案 难点磁场 解：记元件 A、 B、 C 正常工作的事件分别为 A、 B、 C，由已知条件 P(A)=P(B)=(C)=(1) 因为事件 A 、 B 、 C 是相互独立的，所以，系统 常工作的概率(A B C)=P(A)P(B)P(C)=系统 2)系统 2=P(A) 1 P( ) =P(A) 1 P(B )P(C ) = 1 (1 1 =系统 灭难点训练 一、 甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B，丙命中目标为事件 C，则目标被击中的事件可以表示为 A+B+C，即击中目标表示事件 A、 B、 C 中至少有一个发生 . 11)(311)(211()(1)(1)(1)()()()( P( A B C )=14341答案： A 102 (1+2+3)31=2， =(12+22+32)31=314 (2=314 22=32. D(3 +5)=96. 答案： A 二、 条件知， 的取值为 0， 1， 2， 3，并且有 P( =0)=43 , 0132 2 09244914302 2 012(,2 2 092(,4492(412193331219232121913为每组人数为 13，因此，每组选 1 人有 方法，所以所求概率为 P=4524113C)C( . 答案：4524113C)C( 三、 (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A，“乙射击一次击中目标”叫做事件 、 B 相互独立，所以 两人各射击一次都击中目标的概率是 P(A B)=P(A) P(B)=：两人都击中目标的概率是 2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P(A B )=P(A) P(B )= (1 未击中、乙击中的概率是 P(A B)=P(A )P(B)= 然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件 A B 与 A B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是 P(A B )+P( A B)=：其中恰有一人击中目标的概率是 (2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率 P=P(A B)+ P(A B )+P(A ) B=：至少有一人击中目标的概率是 (1)因为 所在区间上的概率总和为 1，所以21(1 a+2 a) 1=1, a=21概率密度曲线如图： 103 (2)P(1 23)=9323)121(21 元二次方程有实数根 0 而 =4(214P)=P 2=(P+1)(P 2) 解得 P 1 或 P 2 故所求概率为 P=535,0 ),21,( 的长度 的长度 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数，则 X B(5， 于是 X 有概率分布P(X=k)=5