向量代数与空间解析几何ppt课件.ppt

7 5曲面及其方程 一 曲面方程的概念 二 柱面 四 二次曲面 三 旋转曲面 五 小结 1 水桶的表面 台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 1 曲面方程的定义 曲面的实例 一 曲面方程的概念 若曲面S与三元方程F x y z 0有下述关系 1 曲面S上任一点的坐标都满足此方程 2 不在曲面S上的点的坐标都不满足此方程 则称方程F x y z 0为曲面S的方程 而曲面S称为方程F x y z 0的图形 2 2 常见曲面的方程 解 则由题意知 所求球面方程为 若球心在原点 则球面方程为 例1建立球心在点M0 x0 y0 z0 半径为R的球面的方程 设M x y z 是球面上的任一点 即 3 则由题意知 所求平面方程为 解 例2设有点A 1 2 3 和B 2 1 4 求线段AB的垂直平分面的方程 设M x y z 为所求平面上的任一点 即 4 1 已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面的方程 以上几例表明 研究空间曲面有两个基本问题 2 已知坐标x y和z间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状 讨论旋转曲面 讨论柱面 二次曲面 5 例3方程表示怎样的曲面 原方程可化为 解 原方程表示球心在点M0 1 2 0 半径为R 的球面 6 说明 如下形式的三元二次方程 都可通过配方来研究它的图形 其图形可能是一个球面 或者点 或者虚轨迹 7 二 柱面 引例方程 表示怎样的曲面 的坐标也满足方程 解 表示圆C 沿圆周C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为 故在空间 过此点作 圆柱面 对任意z 点 平行z轴的直线l 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程 在xOy面上 8 播放 定义 直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹称为柱面 定曲线C称为柱面的准线 动直线L称为柱面的母线 观察柱面的形成过程 9 柱面举例 抛物柱面 平面 10 柱面的特征 其他类推 实例 椭圆柱面 轴 双曲柱面 轴 抛物柱面 轴 只含x y而缺z的方程F x y 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面 其准线是xOy面上的曲线C F x y 0 11 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴 播放 12 设M1 0 y1 z1 为曲线C上的任一点 设在yOz坐标面上有一已知曲线C 它的方程为 将这曲线绕z轴旋一周 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面 则有 当曲线C绕z轴旋转时 点M1 0 y1 z1 绕z轴转到另一点M x y z 13 这时 1 z z1 2 点M到z轴的距离为 将代入f y1 z1 0 得 这就是所求旋转曲面的方程 14 同理 曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为 由此可知 在曲线C的方程f y z 0中将y改成 便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程 15 例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面 两直线的交点称为圆锥面的顶点 两直线的夹角 称为圆锥面的半顶角 试建立顶点在坐标原点O 旋转轴为z轴 半顶角为 的圆锥面的方程 16 解 所求圆锥面的方程为 在yOz坐标面上 直线L的方程为 旋转轴为z轴 或 其中a cot 17 例5将下列各曲线绕对应的轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程 旋转双曲面 1 双曲线分别绕x轴和z轴 若绕x轴旋转 则得 若绕z轴旋转 则得 18 旋转椭球面 旋转抛物面 2 椭圆分别绕y轴和z轴 若绕y轴旋转 则得 若绕z轴旋转 则得 3 抛物线绕z轴 若绕z轴旋转 则得 19 四 二次曲面 三元二次方程F x y z 0所表示的曲面称为二次曲面 相应地 平面被称为一次曲面 1 二次曲面的定义 其基本类型 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 2 研究二次曲面性状的截痕法 平面z t与曲面F x y z 0的交线称为截痕 通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法 20 1 椭球面 1 范围 由方程可知 即 这说明椭球面包含在由平面x a y b z c围成的长方体内 21 椭圆 2 椭球面与三个坐标面的交线 22 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 3 截痕 同理 椭球面与平面x x1和y y1的交线为椭圆 椭球面与平面z z1的交线为椭圆 23 椭球面的几种特殊情况 旋转椭球面 由椭圆绕轴旋转而成 方程可写为 若a b 则椭球面变为 24 球面 截面上圆的方程 方程可写为 若a b c 则椭球面变为 旋转椭球面与椭球面的区别 与平面的交线为圆 25 2 抛物面 原点也叫椭圆抛物面的顶点 用坐标面xOy z 0 与曲面相截 得坐标原点O 0 0 0 与平面z z1 z1 0 的交线为椭圆 与平面z z1 z1 0 不相交 1 椭圆抛物面 当z1变动时 这种椭圆的中心都在z轴上 26 用坐标面xOz y 0 与曲面相截 得抛物线 与平面y y1的交线为抛物线 它的轴平行于z轴 顶点为 用坐标面yOz x 0 平面x x1与曲面相截 均可得抛物线 27 综上所述 椭圆抛物面的图形如下 28 特别地 当a b 时 方程变为 旋转抛物面 由zOx面上的抛物线x2 2pz绕它的轴旋转而成的 与平面z z1 z1 0 的交线为圆 当z1变动时 这种圆的中心都在z轴上 29 双曲抛物面又称马鞍面 也可用截痕法讨论 其图形如下 2 双曲抛物面 30 3 双曲面 用坐标面xOy z 0 与曲面相截 得中心在原点O 0 0 0 的椭圆 与平面z z1的交线为椭圆 1 单叶双曲面 当z1变动时 这种椭圆的中心都在z轴上 31 实轴与轴相合 虚轴与轴相合 用坐标面xOz y 0 与曲面相截 得中心在原点O 0 0 0 的双曲线 与平面y y1 y1 b 的交线为双曲线 双曲线的中心都在轴上 32 则截痕为一对相交于点 0 b 0 的直线 i 若 y1 b 则实轴与x轴平行 虚轴与z轴平行 ii 若 y1 b 则实轴与z轴平行 虚轴与x轴平行 iii 若 y1 b 33 综上所述 单叶双曲面的图形如下 平面x a与曲面的截痕是两对相交直线 用坐标面yOz x 0 平面x x1与曲面相截 均可得双曲线 34 2 双叶双曲面 35 1 曲面方程的概念 2 柱面的概念 母线 准线 3 旋转曲面的概念及求法 五 小结 4 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 截痕法 熟知这几个常见曲面的特性 36 思考题一 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形 37 思考题一解答 平面解析几何中 空间解析几何中 方程 平行于y轴的直线 平行于yOz面的平面 圆心在 0 0 半径为2的圆 以z轴为中心轴的圆柱面 斜率为1的直线 平行于z轴的平面 38 思考题二 方程 表示怎样的曲线 39 思考题二解答 表示双曲线 40 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 41 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 42 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 43 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 44 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 45 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 46 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 47 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 48 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 49 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的