江苏省徐州市2015～2016学年高二下期中数学试题(理)含答案

高二年级数学试题（理科）第 1 页 共 9 页 徐州市 2015 2016学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理）试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在 答题卡相应位 置上 2 (i 是虚数单位 )，则 z 2 的值为则若 1288 3. 复数 2 ,1 则的共轭复数为 4. a b a b设 向 量 与 的 夹 角 为 ， 定 义 与 的 “ 向 量 积 ” ：是 一 个 向 量 ， 它 的 模 | | = | | | | s i n , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , | | =a b a b a b a b 若 则 ， 1， 2， 3这四个数字，可以组成没有重复数字的 3位数，其中奇数的个数 为 6 观察下列式子： 1 12232， 1 122 13253， 1 122 132 14274，根据以上式子可以猜想： 222 20 16131211 7. 2 1 ,z z i i i z 已 知 复 数 满 足 () 则 的 虚 部 为 8. 利用数学归纳法证明“ )(2131211 ”， 从 推导 1原等式的左边应增加的项的个数为 个（用含有 k 的代数式表示 ） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）本卷满分 160 分， 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 您务必将自己的姓名、准考证号用 米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 其他位置作答一律无效作答必须用 米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 高二年级数学试题（理科）第 2 页 共 9 页 名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端， 有 种不同的站法（用数字作答） 的周长为 l ，面积为 S ，则 的内切圆半径为 2将此结论类比到空间，已知四面体 表面积为 S ，体积为 V ，则四面体 内切球的半径 R= z 满足 243 则 z 的最大值为 . )1()1()1( 则= （用数字作答） B、 C、 D、 E 五人住进编号为 1， 2， 3， 4， 5 的五个房间，每个房间只住一人，则 号房间，且 B、 ) 3x ,( 0)x ，对于 *，定义11( ) ( ) x f f x ，则函数 () 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题满分 14分） 已知复数 )()65()67( 22 . （ 1）若复数 z 为纯虚数，求实数 a 的值； （ 2）若复数 z 在复平面内的对应点在第四象限，求 实数 a 的取值范围 . 16.（本题满分 14分） （ 1）证明：当 2a 时， 2 2 2a a a ； （ 2）证明： 532 ， 不可能是同一个等差数列中的三项 . 高二年级数学试题（理科）第 3 页 共 9 页 17.（本题满分 14分） 从 5 名女同学和 4 名男同学中选出 4 人 参加四场不同的演讲，每场一人，分别按下列要求，各有多少种不同方法？ （ 1）男、女同学各 2 名； （ 2）男、女同学分别至少有 1 名； （ 3）男、女同学分别至少有 1 名且男同学甲与女同学乙不能同时选出 . 18.（本题满分 16分） 已知 展开式的二项式系数之和为 256. （ 1）求 n ； （ 2）若展开式中常数项为835，求 m 的值； （ 3）若展开式中系数最大项只有第 6项和第 7项，求 m 的 值 . 高二年级数学试题（理科）第 4 页 共 9 页 19.（本题满分 16分） 已知椭圆方程是 22143，12,焦点， A， B 为它的左、右顶点 , l 是椭圆的右准线， P 是椭圆上一点， 别交准线 l 于 M， N 两点 . （ 1） 若 (0, 3)P ，求12F （ 2）若00( , )P x y 是 椭 圆 上 任 意 一 点,求12F （ 3 ）能否将问题 推广到一般情况 , 即给定椭圆方程是 22 1 ( 0 )xy ，00( , )P x y 是 椭 圆 上 任 意 一 点， 问12F明你的结论 . 20.（本题满分 16分） 设函数21() 1+fx p x q x （其中 220）， 且 存在 公差不为 0 的 无穷 等差 数列 使得 函数在其定义域内还可以表示为 212( ) 1 x a x a x a x （ 1）求 ,1用 ,； （ 2）求 （ 3） 当 *且 2n 时，比较 ( 1与 1)( 高二年级数学试题（理科）第 5 页 共 9 页 高二数学理科试题参考答案 1. 5 2. 1 或 3 3. i1 4. 1 6. 7. 1 8. 2k 9. 504 10. 12. 13. 60 14. 2(0, )31n 15. 解：（ 1）由题设知：06506722 3分 解之得 ,a =1 7分 （ 2）由题设知：06506722 10 分 解之得，6161 12分 所以实数 a 的取值范围是 -1a 1 14 分 16. 证明： （ 1）要证 2 2 2a a a ， 只要证 22 )2()22( ， 只要证 422 2 ， 只要证 42 ， 由于 2a ，只要证 22 4 ， 最后一个不等式成立，所以 2 2 2a a a 7分（其它方法酌情给分） （ 2） （反证法） 假设 2, 3,5 是同一个等差数列中的三项，分别设为 ,m n pa a a， 则 23n m n 为无理数， 又 2 5 3p m p m p 为有理数 所以产生矛盾，假设不成立，即 2, 3,5 不可能是同一个等差数列中的三项 . 来源 :学 _科 _网 62013140高二年级数学试题（理科）第 6 页 共 9 页 17. 解： 1440)1( 442425 2 8 8 0)(2( 44444549 504)3( 4427 23765042880 答：略 18. 解 （ 1）二项式系数之和为 2n=256，可得 8n ； （ 2）设 常数 项为第 r+1项，则 88881 ， 故 8 2r 0，即 r 4， 则835448 得21（ 3）易知 m 0，设第 r+1项系数最大 . 则.,11881188简可得19118 m 由于只有第 6项和第 7项系数最大， 所以118445来源 :Z#xx#所以 m 只能等于 2. (若由 第 6项和第 7项系数 相等得出 m=2,则需要验证 分 . ) 19. 解 : (1) 22121 , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) : 443 B F F l x 椭 圆 方 程 为 ，(0, 3), 22P A y x故 所 在 直 线 方 程 为 ： ( ) , = 4 ( 4 3 3 ) , 立 得 ， ( 4 , - 3 ) 可 得 12( 5 , 3 3 ) , ( 3 , 3 )M F N F u u u ur u u u 2 1 5 9 6M F N F 高二年级数学试题（理科）第 7 页 共 9 页 (2) 2 2 220 0 00 0 0( , ) , 1 = 3 4x y xP x y y则 ， 即 （ 1 ）0 0022 y x 所 在 直 线 方 程 为 ： ( ) , ( - 2 ) 006= 4 ( 4 , ) ,2x 与 联 立 得 002( 4 , ) x 同 理 可 得 001262( 5 , ) , ( 3 , )22 N u u u ur u u u 3 ( 1 )12 41 5 1 5 644 N u u u ur u u u (3) 212 2 ( )M F N F b 值，下证之 2 2 21222 1 , ( , 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 ) :x y aA a B a F c F c l xa b c 证 明 ： 椭 圆 方 程 为 ，2 2 2220 0 00 0 02 2 2( , ) , 1 = -x y xP x y y ba b a设 则 ， 即 （ 1 ） 0 00 y x a x 所 在 直 线 方 程 为 ： ( ) , ( - ) 222 00()= ( , ) ,a c x a与 联 立 得22 00()( , ) .a x a同 理 可 得 2222001200( ) ( )( , ) , ( , ) y a c N F cc x a c x a u u u ur u u u 22402212 2 2 20()a N F cc x a u u u ur u u u 2 2 2 4 222() 2 ( )a c b b 定 值 高二年级数学试题（理科）第 8 页 共 9 页 （ 1）由题意，得 2212(1 ) (1 ) 1x q x a x a x a x 显然 2,系数为 0，所以 121+0+ + 0a p q， 从而1， 22a p q. 4 分 （ 2）考虑 ( 3)的系数，则有12 0n n na p a q a ， 5分 因数列 以1220n n na a a ，所以12( 2 + ) (1 )a q a对一切3n 都成立， 7分 若 0，则 0 ，与 220矛盾， 若数列 据题意 与数列 所以 2 1 0 ，即 2, 1 ， 9分 由（ 1）知1 2a ，2 3a ，所以 1. 10分 （其他方法：根据题意可以用 p 、 q 表示出1a，2a，3a，4a，由 数列 用2 1 32a a a，3 2 42a a a解方程组也可求得 ） (3) 111 , ( 1 ) n a n 由 （ 2 ） 可 知 ， （ ） （ ）2 1 2 1321 2 1 22 2 8 , 3 9 ,a a a an a a a a 时 ， 11 1 ) n n a a 当 时 ， , 即 （ ） （ ） 下 用 数 学 归 纳 法 证 明. 12分 433 3 = 8 1 , 4 = 6 4 , 8 1 6 4 ,n 1 ） 当 时 ， 结 论 成 立 . 13 , ( 1 )k k k N k k 2) 设 当 时 () 时 ， 结 论 成 立 ， 即 有 . 13分 1下 面 证 明 当 时 ， 结 论 也 成 立 . 由 得 1 2 11 . ( 1 ) ( 2 ) , ,( 1 ) 2 1k kk k kk