湖北省荆州市2016届高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2016 年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1．已知 z= （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A． B． 1 C． D． 2 2．计算﹣ 结果为（ ） A． B． C． D． 3．设命题 p： ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）是增函数，则￢ p 为（ ） A． ∃1，函数 f（ x） =x＞ 0）是减函数 B． ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）不是减函数 C． ∃1，函数 f（ x） =x＞ 0）不是增函数 D． ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）是减函 数 4．位于平面直角坐标系原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 ，则质点 P 移动 4 次后位于点（ 0， 2）的概率是（ ） A． B． C． D． 5．设 别是双曲线 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左右焦点， O 为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点 P，使 • =0，且 | |=| |，则双曲线的离心率为（ ） A． 1± B． 1+ C． 2 D． 6．一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4m，侧面展开图的圆心角为 ，则这个圆锥的体积等于（ ） A． π． π． π． π．已知向量 =（ 1， λ）， =（ 2， 1），若 2 + 与 =（ 1，﹣ 2）共线，则 在 方向上的投影是（ ） 第 2 页（共 25 页） A． B．﹣ C．﹣ D．﹣ 8．已知函数 f（ x） =3﹣ ωx）（ ω＞ 0），函数 f（ x）相邻两个零点之间的绝对值为 ，则下列为函 数 f（ x）的单调递减区间的是（ ） A． [0， ] B． [ ， π] C． [ ， ] D． [ ， ] 9．在如下程序框图中，已知 x） =输出的结果是（ ） A． ． ．﹣ ．﹣ 0．（ 3x+2） 5 的展开式中，含 x 项的系数为（ ） A．﹣ 240 B．﹣ 120 C． 0 D． 120 11．如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． 4 π B． 12π C． 12 π D． 24π 12．定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ x），当 x∈[0， 2）时， f（ x） = ，函数 g（ x） =（ 2x﹣ ex+m，若 ∀﹣ 4，﹣ 2]， ∃﹣ 1， 2]，使得不等式 f（ g（ ≥0成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A．（﹣ ∞，﹣ 2] B．（﹣ ∞， +2] C． [ +2， +∞） D．（﹣ ∞， ﹣ 2] 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 13．已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x＞ 0 时， f（ x） =2x+1，则 f（﹣ 2）等于 ． 14．中心在原点的椭圆 C 的一个顶点是圆 E： x2+4x+3=0 的圆心，一个焦点是圆 E 与 x 轴其中的一个交点，则椭圆 C 的标准方程为 ． 第 3 页（共 25 页） 15．若变量 x， y 满足 ，则 z= 的取值范围是 ． 16．如图，为了测量河对岸电视塔 高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 仰角为 30°，塔底 C 与 5°角，小王向前走了 1200m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 高度为 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17．已知数列 {前 n 项和为 （ ， 曲线 y=22 上． （ 1）求证：数列 {等比数列； （ 2）设数列 {足 ，求数列 {前 n 项和 18． 如图，在四棱锥 P﹣ ， C=， ， ∠ 20°， E 和 F 分别是棱 中点． （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求直线 平面 成的角的正弦值． 19．在一次考试中， 5 名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生 A B C D E 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分） 87 89 89 92 93 （ 1）根据表中数据，求物理分 y 关于数学分 x 的回归方程； 第 4 页（共 25 页） （ 2）试估计某同学数学考 100 分时，他的物理得分； （ 3）要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项活动，以 X 表示选中的同学中物理成绩高于 90 分的人数，试解决下列问题： ①求至少选中 1 名物理成绩在 90 分以下的同学的概率； ②求随机变变量 X 的分布列及数学期望 E（ X）． （附：回归方程：： = x+ 中 = ， = ﹣ b ） 20．如图所示，已知点 A（﹣ 1， 0）是抛物线的准线与 x 轴的焦点，过点 A 的直线与抛物线交于 M，N 两点，过点 M 的直线交抛物线于另一个点 Q，且直线 点 B（ 1，﹣ 1）． （ 1）求抛物线的方程； （ 2）求证：直线 定点． 21．已知函数 f（ x） =函数 f（ x）在点（ 2， f（ 2））处 的切线的一个方向向量是（ 2，﹣ 3）． （ 1）若关于 x 的方程 f（ x） + x﹣ b 在区间 [ ， 2]上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围； （ 2）证明： （ ） 2＞ （ n∈N*，且 n≥2） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4何证明选讲 ] 第 5 页（共 25 页） 22．如图， 圆 O 的直径， C， F 为圆 O 上的点， ∠ 角平分线， 圆 O 切于点C，且交 延长线于点 D， 足为点 M． （ 1）求证： M； （ 2）若圆 O 的半径为 1， ∠ 0°，试求线段 长． [选修 4标系与参数方程 ] 23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴为正半轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ=42线 l 的参数方程为 （ t 为参数， a 为常数）． （ 1）求直线 l 普通方程与圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 分圆 C 所得的两弧长度之比为 1： 2，求实数 a 的值． [选修 4等式选讲 ] 24．已知函数 f（ x） =||+|2k|， g（ x） =x+1． （ 1）当 k=1 时，求不等式 f（ x）＞ g（ x）的解集； （ 2）若存在 ，使得不等式 f（ ≤2 成立，求实数 k 的取值范围． 第 6 页（共 25 页） 2016 年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1．已知 z= （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A． B． 1 C． D． 2 【考点】 复数求模． 【专题】 计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数． 【分析】 利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【解答】 解： z= = = = = + i， ∴ |z|= =1， 故选： B． 【点评】 本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题． 2．计算﹣ 结果为（ ） A． B． C． D． 【考点】 两角和与差的正弦函数． 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】 由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简所给的式子，可得结果． 【解答】 解：﹣ ﹣ ﹣ ﹣ =47°﹣ 17°） = ， 故选： A． 【点评】 本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题． 第 7 页（共 25 页） 3．设命题 p： ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）是增函数，则￢ p 为（ ） A． ∃1，函数 f（ x） =x＞ 0）是减函数 B． ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）不是减函数 C． ∃1，函数 f（ x） =x＞ 0）不是增函数 D． ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）是减函数 【考点】 命题的否定． 【专题】 计算题；规律型；简易 逻辑． 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】 解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题 p： ∀a＞ 1，函数 f（ x） =x＞ 0）是增函数，则￢ p 为： ∃1，函数 f（ x） =x＞ 0）不是增函数． 故选： C． 【点评】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题． 4．位于平面直角坐标系原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 ，则质点 P 移动 4 次后位 于点（ 0， 2）的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】 几何概型． 【专题】 计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】 根据题意，分析可得质点 P 移动 4 次后位于点（ 0， 2），其中向上移动 3 次，向右下移动1 次，进而借助排列、组合知识，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案． 【解 答】 解：根据题意，质点 P 移动 4 次后位于点（ 0， 2），其中向上移动 3 次，向右下移动 1 次； 则其概率为 ） 1×（ ） 3= ， 故选： D． 【点评】 本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点 P 移动 4 次后位于点（ 0， 2），其中向上移动 3 次，向右下移动 1 次的情况，这里要借助排列组合的知识． 第 8 页（共 25 页） 5．设 别是双曲线 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左右焦点， O 为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点 P，使 • =0，且 | |=| |，则双曲线的离心率为（ ） A． 1± B． 1+ C． 2 D． 【考点】 双曲线的简单性质． 【专题】 方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】 由题意可得 x 轴，且 |2c，令 x=c 代入双曲线的方程，可得 =2c，由 a， b， 方程即可得到所求值． 【解答】 解：由题意可得 x 轴，且 |2c， 由 x=c 代入 双曲线的方程可得 y=±b =± ， 即有 =2c，即 2， 由 e= ，可得 2e﹣ 1=0， 解得 e=1+ （负的舍去）． 故选： B． 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量垂直的条件：数量积为 0，以及运用方程求解的思想，考查运算能力，属于基础题． 6．一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4m，侧面展开图的圆心角为 ，则这个圆锥的体积等于（ ） A． π． π． π． π考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专 题】 计算题；函数思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】 根据已知求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【解答】 解：设圆锥的底面半径为 r， 圆锥形物体的母线长 l=4m，侧面展开图的圆心角为 ， 故 2πr= l， 第 9 页（共 25 页） 解得： r= m， 故圆锥的高 h= = m， 故圆锥的体积 V= = π 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征和体积公式是解答的关键． 7．已知向量 =（ 1， λ）， =（ 2， 1），若 2 + 与 =（ 1，﹣ 2）共线，则 在 方向上的投影是（ ） A． B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【考 点】 平面向量数量积的运算． 【专题】 对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】 根据向量共线求出 λ，再代入平面向量的投影公式计算． 【解答】 解： 2 + =（ 4， 2λ+1）， ∵ 2 + 与 =（ 1，﹣ 2）共线， ∴ ﹣ 8﹣（ 2λ+1） =0，解得 λ=﹣ ． ∴ ， =2﹣ =﹣ ． ∴ 在 方向上的投影为 | |× = =﹣ ． 故选： D． 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线与数量积的关系，属于基础题． 8．已知函数 f（ x） =3﹣ ωx）（ ω＞ 0），函数 f（ x）相邻两个零点之间的绝对值为 ，则下列为函数 f（ x）的单调递减区间的是（ ） A． [0， ] B． [ ， π] C． [ ， ] D． [ ， ] 【考点】 余弦函数的图象． 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】 由条件利用诱导公式，余弦函数的单调性，求 得函数 f（ x）的单调递减区间． 第 10 页（共 25 页） 【解答】 解：由函数 f（ x） =3﹣ ωx）（ ω＞ 0），函数 f（ x）相邻两个零点之间的绝对值为， 可得 • = ， ∴ ω=2，函数 f（ x） =3﹣ 2x） =32x﹣ ）． 令 2x﹣ ≤2，求得 ≤x≤， 可得函数的减区间为 [， ]， k∈Z． 结合所给的选项， 故选： C． 【点评】 本 题主要考查诱导公式，余弦函数的单调性，属于基础题． 9．在如下程序框图中，已知 x） =输出的结果是（ ） A． ． ．﹣ ．﹣ 考点】 程序框图． 【专题】 计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图． 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算函数及导函数的函数值，模拟程序的运行，分析程序运行过程中函数值呈现周期性变化，求出周期 T 后，不难 得到输出结果． 【解答】 解： ∵ x） = x） = x） =﹣ x） =﹣ x） = x） = ∴ 题目中的函数为周期函数，且周期 T=4， ∴ x） =x） = 故选： B． 第 11 页（共 25 页） 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： ①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分 析管理） ⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 ③解模． 10．（ 3x+2） 5 的展开式中，含 x 项的系数为（ ） A．﹣ 240 B．﹣ 120 C． 0 D． 120 【考点】 二项式定理的应用． 【专题】 转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】 根据（ 3x+2） 5=（ x﹣ 1） 5•（ x﹣ 2） 5，利用二项式定理展开，可得含 x 项的系数． 【解答】 解：由于（ 3x+2） 5=（ x﹣ 1） 5•（ x﹣ 2） 5 =[ •••••x﹣ 1]•[ •2 • •8 •6 •x﹣ 32]， 故展开式中，含 x 项的系数为﹣ 32• ﹣ 16• =﹣ 240， 故选： A． 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 11．如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． 4 π B． 12π C． 12 π D． 24π 【考点】 由三视图求面积、体积． 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；立体几何． 【分析】 几何体为直三棱柱，作出直观图，根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置，计算半径． 【解答】 解：由三视图可知该几何体为直三棱柱 A'B'C'， 作出直观图如图所示：则 C=2， 2． ∴ ． ∴ 三棱柱的外接球球心为平面 '的中心 O， 第 12 页（共 25 页） ∴ 外接球半径 r= = ． ∴ 外接球的表面积 S=4π× =12π． 故选 B． 【点评】 本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征，属于中档题． 12．定义 在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ x），当 x∈[0， 2）时， f（ x） = ，函数 g（ x） =（ 2x﹣ ex+m，若 ∀﹣ 4，﹣ 2]， ∃﹣ 1， 2]，使得不等式 f（ g（ ≥0成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A．（﹣ ∞，﹣ 2] B．（﹣ ∞， +2] C． [ +2， +∞） D．（﹣ ∞， ﹣ 2] 【考点】 分段函数的应用． 【专题】 函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】 由 f（ x+2） =f（ x），可得周期 T=2，可得 f（ x）在 [0， 2]的最小值即为 f（ x）在 [﹣ 4，﹣2]的最小值，运用二次函数和指数函数的单调性，求得 f（ x）的最小值；对 g（ x），求得导数，求得单调区间和极值，最值，可得 g（ x）的最小值，由题意可得 f（ x） g（ x） 不等式即可得到所求范围． 【解答】 解：由 f（ x+2） =f（ x），可得周期 T=2， 可得 f（ x）在 [0， 2]的最小值即为 f（ x）在 [﹣ 4，﹣ 2]的最小值， 当 0≤x＜ 1 时， f（ x） = ﹣ 2f（ 1） = ﹣ 2=﹣ ， 当 1≤x＜ 2 时， f（ x） = ， 第 13 页（共 25 页） f（ x）在 [1， ）递减，在 [ ， 2） 递增， 可得 f（ x）在 x= 处取得最小值，且为﹣ 2； 由﹣ 2＜﹣ ，可得 f（ x）在 [0， 2]的最小值为﹣ 2； 对于 g（ x） =（ 2x﹣ ex+m， g′（ x） =（ 2﹣ 当 x∈[﹣ 1， ]时， g′（ x）＞ 0， g（ x）递增； 当 x∈[ ， 2]时， g′（ x）＜ 0， g（ x）递减． 可得 x= 处 g（ x）取得极大值，也为最大值； g（﹣ 1） =﹣ 3e﹣ 1+m＜ g（ 2） =m，可得 g（ x）的最小值为 g（﹣ 1）． 由题意可得 f（ x） g（ x） 即为﹣ 2≥﹣ 3e﹣ 1+m，即 m≤ ﹣ 2． 故选： D． 【点评】 本题考查了函数的性质和运用，考查周期性和单调性的运用，注意运用最大值、最小值来解决恒成立和存在性问题，属于中档题． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 13．已知函 数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x＞ 0 时， f（ x） =2x+1，则 f（﹣ 2）等于 5 ． 【考点】 函数奇偶性的性质． 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】 根据偶函数的定义有 f（﹣ 2） =f（ 2），从而将 x=2 带入 x＞ 0 时的解析式 f（ x） =2x+1 即可求出 f（ 2），从而得出 f（﹣ 2）的值． 【解答】 解： f（﹣ 2） =f（ 2） =22+1=5． 故答案为： 5． 【点评】 考查偶函数的定义，以及已知函数求值时，要注意函数的定义域． 14．中心在原点的椭圆 C 的一个顶点是圆 E： x2+4x+3=0 的圆心，一个焦点是圆 E 与 x 轴其中的一个交点，则椭圆 C 的标准方程为 ． 【考点】 椭圆的简单性质． 第 14 页（共 25 页） 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】 化圆的一般式方程为标准方程，求出圆心坐标和圆与 x 轴的交点，结合隐含条件求得椭圆的标准方程． 【解答】 解：由 x2+4x+3=0，得（ x﹣ 2） 2+， ∴ 圆 E 的圆心为（ 2， 0），与 x 轴的交点为（ 1， 0），（ 3， 0）， 由题意可得，椭圆的右顶点为（ 2， 0），右焦点为（ 1， 0）， 则 a=2， c=1， b2=， 则椭圆的标准方程为： ． 故答案为： ． 【点评】 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题． 15．若变量 x， y 满足 ，则 z= 的取值范围是 [0， 1] ． 【考点】 简单线性规划． 【专题】 数形结合；转化法；不等式． 【分 析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义结合斜率公式进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： z 的几何意义为区域内的点到点（﹣ 1， 0）的斜率， 由图象知 斜率最小为 0， 斜率最大， 由 得 ．即 A（ 0， 1）， 此时 z= = =1， 即 0≤z≤1， 故答案为： [0， 1] 第 15 页（共 25 页） 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 16．如图，为了测量河对岸电视塔 高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 仰角为 30°，塔底 C 与 5°角，小王向前走了 1200m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 高度为 600 m ． 【考点】 解三 角形的实际应用． 【专题】 数形结合；数形结合法；解三角形． 【分析】 在 △ 由正弦定理解出 ，根据三角函数的定义得出 【解答】 解：在 △ ， ∠ 0°﹣ 15°=45°， ∠ 80°﹣ 60°=120°， 由正弦定理得 ，即 ，解得 00 ． 在 △ ， ∵ = ， ∴ 00 × =600 ． 故答案为： 600 ． 【点评】 本题考查了解三角形的应用，寻找合适的三角形是解题的关键． 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明 、证明过程或演算步骤 . 第 16 页（共 25 页） 17．已知数列 {前 n 项和为 （ ， 曲线 y=22 上． （ 1）求证：数列 {等比数列； （ 2）设数列 {足 ，求数列 {前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式． 【专题】 计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】 （ 1）通过 2 与 1=21﹣ 2（ n≥2）作差，进而可得数列 { 首项、公比均为2 的等比数列； （ 2）通过（ 1）裂项可知 （ ﹣ ），进而并项相加即得结论． 【解答】 （ 1）证明：依题意， 2， ∴ 1=21﹣ 2（ n≥2）， 两式相减得： 21，即 1， 又 ∵ 2，即 ， ∴ 数列 {首项、公比均为 2 的等比数列； （ 2）解：由（ 1）可知 n， ∴ = = =4（ ﹣ ）， ∴ （ 1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ） =4（ 1﹣ ） = ． 【点评】 本题考查数列的通项及前 n 项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题． 18． 如图，在四棱锥 P﹣ ， C=， ， ∠ 20°， E 和 F 分别是棱 中点． 第 17 页（共 25 页） （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求直线 平面 成的角的正弦值． 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【专题】 证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】 （ 1）先推导出四边形 矩形，从而 平面 而 此得到 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴，建立空间 直角坐标角系，利用向量法能求出直线 成的角的正弦值． 【解答】 证明：（ 1） ∵ D， E 为 点， ∴ ∵ ∴ ∴ E， ∴ 四边形 矩形， ∴ D， ∵ D=A， ∴ 平面 ∴ 又 ∵ 在平面 ， ∴ ∵ E=E， ∴ 面 面 又 ∴ 平面 ∵ 面 ∴ 平面 平面 解：（ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴，建立空间直角坐标角系， ∵ C=， ， ∠ 20°， ∴ = =2， E= =2， = =2， 则 P（ 0，﹣ 1， ）， D（ 0， 2， 0）， B（ ）， C（ 2 ， 2， 0）， =（ 0， 3，﹣ ）， =（﹣ ）， =（ ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ， ）， 设直线 平面 成的角为 θ， 第 18 页（共 25 页） ＞ |=| |=| |= ． ∴ 直线 平面 成的角的正弦值为 ． 【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19．在一次考试中， 5 名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生 A B C D E 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分） 87 89 89 92 93 （ 1）根据表中数据，求物理分 y 关于数学分 x 的回归方程； （ 2）试估计某同学数学考 100 分时，他的物理得分； （ 3）要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2 名参加一项 活动，以 X 表示选中的同学中物理成绩高于 90 分的人数，试解决下列问题： ①求至少选中 1 名物理成绩在 90 分以下的同学的概率； ②求随机变变量 X 的分布列及数学期望 E（ X）． （附：回归方程：： = x+ 中 = ， = ﹣ b ） 【考点】 线性回归方程． 【专题】 函数思想；综合法；概率与统计． 【分析】 （ 1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （ 2）根据回归方程估计； 第 19 页（共 25 页） （ 3）依次计算 X=0， 1， 2 时的概率，列出分布列计算数学期望． 【解答】 解：（ 1） ， ． =（﹣ 4） 2+（﹣ 2） 2+0+22+42=40． =（﹣ 4） ×（﹣ 3） +（﹣ 2） ×（﹣ 1） +0+2×2+4×3=30． ∴ = ， =90﹣ 3= ∴ 物理分 y 关于数学分 x 的回归方程为 = （ 2）当 x=100 时， =00+． （ 3）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2． P（ X=0） = = ． P（ X=1） = = ． P（ X=2） = = ． ①至少选中 1 名物理成绩在 90 分以下的同学的概率为 P=P（ X=0） +P（ X=1） = ． ②X 的分布列为： X 0 1 2 P ∴ X 的数学期望 E（ X） =0× +1× +2× =1． 【点评】 本题考查了线性回归方程的解法，古典概型的概率计算，随机变量的数学期望，属于基础题． 20．如图所示，已知点 A（﹣ 1， 0）是抛物线的准线与 x 轴的焦点，过点 A 的直线与抛物线交于 M，N 两点，过点 M 的直线交抛物线于另一个点 Q，且直线 点 B（ 1，﹣ 1）． （ 1）求抛物线的方程； 第 20 页（共 25 页） （ 2）求证：直线 定点． 【考点】 抛物线的简单性质． 【专题】 综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】 （ 1）由题意，抛物线的准线方程为 x=﹣ 1，即可求出抛物线的方程； （ 2）设 方程为 y=k（ x+1），代入抛物线的方程，可得 4y+4k=0，设 M（ N（ Q（ 则 ，直线 方程为 y+1= （ x﹣ 1），可得 （ y2+4=0，直线 方程为 y﹣ （ x﹣ 可得 y（ y2++4x=0，即可得出直线定点． 【解答】 （ 1）解：由题意，抛物线的准线方程为 x=﹣ 1， ∴ 抛物线的方程为 x； （ 2）证明：设 方程为 y=k（ x+1），代入抛物线的方程，可得 4y+4k=0 设 M（ N（ Q（ 则 ， 由 = = ， 直线 方程为 y+1= （ x﹣ 1）， ∴ = （ 1）， 可得 ， 第 21 页（共 25 页） ∴ =﹣ ， ∴ （ y2++4=0 直线 方程为 y﹣ （ x﹣ 可得 y（ y2++4x=0， ∴ x=1， y=﹣ 4， ∴ 直线 定点（ 1，﹣ 4） 【点评】 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．已知函数 f（ x） =函数 f（ x）在点（ 2， f（ 2））处 的切线的一个方向向量是（ 2，﹣ 3）． （ 1）若关于 x 的方程 f（ x） + x﹣ b 在区间 [ ， 2]上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围； （ 2）证明： （ ） 2＞ （ n∈N*，且 n≥2） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断． 【专题】 转化思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 【分析】 （ 1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得 a 的值，由题意可得 3x=﹣ ， 2]上恰有两个不相等的实数根，即为 g（ x） =3x 和直线 y=﹣ b 在 [ ， 2]上有两个交点，求得 g（ x）的导数，可得单调区间，即可得到所求 b 的范围； （ 2）可得当 x＞ 1 时， f′（ x）＜ 0， f（ x）递减．即有 ，即为 （ 1），即有 ＞ = ﹣ ，可令 x=2， 3， …， n，累加即可得证． 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =导数为 f′（ x） = ﹣ 2 由题意可得在点（ 2， f（ 2））处的切线斜率为 ﹣ 4a=﹣ ， 第 22 页（共 25 页） 解得 a= ， 即有 f（ x） = 由题意可得 3x=﹣ b 在 [ ， 2]上恰有两个不相等的实数根， 即为 g（ x） =3x 和直线 y=﹣ b 在 [ ， 2]上有两 个交点， 由 g（ x）的导数为 g′（ x） = +2x﹣ 3= ， 当 ＜ x＜ 1 时， g′（ x）＜ 0， g（ x）递减； 当 1＜ x＜ 2 时， g′（ x）＞ 0， g（ x）递增． 则有 g（ 1）＜﹣ b≤g（ ）， 即为﹣ 2＜﹣ b≤﹣ ，解得 ≤b＜ 2； （ 2）证明：由 f（ x） =导数为 f′（ x） = ﹣ x= ， 当 x＞ 1 时， f′（ x）＜ 0， f（ x）递减． 即有 ，即为 （ 1）， 即有 ＞ = ﹣ ， 则有 + +…+ ＞ 1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ =1+ ﹣ ﹣ = = =（ 3+ ） • ＞ ． 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题． 请考生在 22、 23、 24 三题中 任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4何证明选讲 ] 22．如图， 圆 O 的直径， C， F 为圆 O 上的点， ∠ 角平分线， 圆 O 切于点C，且交 延长线于点 D， 足为点 M． 第 23 页（共 25 页） （ 1）求证： M； （ 2）若圆 O 的半径为 1， ∠ 0°，试求线段 长． 【考点】 与圆有关的比例线段． 【专题】 转化思想；转化法；推理和证明． 【分析】 （ 1）根据三角形全等以及切割线定理进行证明即可证明 M； （ 2）根据三角形中的边角关系进行求解即可． 【解答】 解：（ 1）连接 有 ∠ ∵ ∠ 角平分线， ∴∠ ∴∠ ∵ 圆 O 的切线， ∴ 则 由题意得 △ ∴ M， M， 由切割线定理得 F•F•①， 在 ，由射影定理得 M•②， 由 ①②得 M=B，即 B． （ 2）在 ， 2× = ， 则 ， 于是 M= ， 即 长为 ． 第 24 页（共 25 页） 【点评】 本题主要考查几何的推理和 证明，根据切割线定理以及三角形全等关系是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． [选修 4标系与参数方程 ] 23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴为正半轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ=42线 l 的参数方程为 （ t 为参数， a 为常数）． （ 1）求直线 l 普通方程与圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 分圆 C 所得的两弧长度之比为 1： 2，求实数 a 的值． 【考点】 参数方程化成普通方程；参数的意义． 【专题】 数形结合；转化法 ；直线与圆；坐标系和参数方程． 【分析】 （ 1）利用极坐标公式，把极坐标方程化为普通方程，消去参数 t，把参数方程化为普通方程； （ 2）根据题意，得出直线 l 被圆 C 截得的弦所对的圆心角为 120°，圆心 C 到直线 l 的距离 d= r，由此列出方程求出 a 的值． 【解答】 解：（ 1）圆 C 的极坐标方程 ρ=422=4ρ2ρ 利用极坐标公式，化为普通方程是 x2+x﹣ 2y， 即（ x﹣ 2） 2+（ y+1） 2=5； 直线 l 的参数方程为 ， 消去参数 t，化为普通方程是 y= ﹣ （ 2）圆 C 的方程为（ x﹣ 2） 2+（ y+1） 2=5，圆心 C 为（ 2，﹣ 1），半径 r= ， 直线 l 的方程为 y= ﹣ ax+y﹣ =0， 直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1： 2 的两段圆弧， ∴ 直线 l 被圆 截得的弦所对的圆心角为 120°， ∴ 圆心 C 到直线 l 的距离 d= r= ， 即 = ， 第 25 页（共 25 页） 整理得 1124a+4=0， 解得 a=2 或 a= ． 【点评】 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，由题意得出圆心 C 到直线 l 的距 离 d 等于半径 r 的一半是解题的关键． [选修 4等式选讲 ] 24．已知函数 f（ x） =||+|2k|， g（ x） =x+1． （ 1）当 k=1 时，求不等式 f（ x）＞ g（ x）的解集； （ 2）若存在 ，使得不等式 f（ ≤2 成立，求实数 k 的取值范围． 【考点】 绝对值不等式的解法． 【专题】 综合题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】 （ 1）问题转化为 |x﹣ 2|+|x﹣ 1|﹣ x﹣ 1＞ 0，设函数 y=|x﹣ 2|+|x﹣ 1|﹣ x﹣ 1，通过讨论 x 的范围求出不等式的解集即可； （ 2）问题 等 价于 |2k﹣ 1|≤2，解出即可． 【解答】 解（ 1） k=1 时，不等式 f（ x）＞ g（ x）化为： |x﹣ 2|+|x﹣ 1|﹣ x﹣ 1＞ 0， 设函数 y=|x﹣ 2|+|x﹣ 1|﹣ x﹣ 1，则 y= ， 令 y＞ 0，解得： x＞ 4 或 x＜ ， ∴ 原不等式的解集是 {x|x＜ 或 x＞ 4}； （ 2） ∵ f（ x）﹣ |1|+|2k|＞ |1﹣ k|﹣ |2k﹣ 1|， ∴ 存在 ，使得不等式 f（ ≤2 成立 等价于 |2k﹣ 1|≤2，解得：﹣ ≤k≤ ， 故所求实数 k 的范围是 [﹣ ， ]． 【点评】 本题考查了绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题．