解三角形知识点总结及典型例题

解三角形知识点总结及典型例题解三角形知识点总结及典型例题 一 一 知识点复习知识点复习 1 1 正弦定理及其变形 正弦定理及其变形 2 sinsinsin abc RR ABC 为三角形外接圆半径 12 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 边化角公式 2 sin sin sin 222 abc ABC RRR 角化边公式 3 sin sin sina b cABC sinsinsin 4 sinsinsin aA aA bB bB cC cC 2 2 正弦定理适用情况 正弦定理适用情况 1 已知两角及任一边 2 已知两边和一边的对角 需要判断三角形解的情况 已知a b和A 求B时的解的情况 如果 则B有唯一解 如果 则B有两解 BAsinsin 1sinsin BA 如果 则B有唯一解 如果 则B无解 1sin B1sin B 3 3 余弦定理及其推论 余弦定理及其推论 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac abc C ab 4 4 余弦定理适用情况 余弦定理适用情况 1 已知两边及夹角 2 已知三边 5 5 常用的三角形面积公式 常用的三角形面积公式 1 高底 2 1 ABC S 2 两边夹一角 BcaAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 6 6 三角形中常用结论 三角形中常用结论 1 abc bca acb 即两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2 sinsin ABCABabAB 在中 即大边对大角 大角对大边 3 在 ABC 中 所以 CBACBAsin sin CBAcos cos CBAtan tan 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 二 典型例题二 典型例题 题型题型 1 1 边角互化边角互化 例 1 在中 若 则角的度数为 ABC 7 5 3sin sin sin CBAC 解析 由正弦定理可得 令依次为 7 5 3 cbacba 753 则 Ccos 222 2 abc ab 222 357 2 3 5 1 2 因为 所以 C0 C 2 3 例 2 若 是的三边 则函数的图象与轴 abcABC 222222 cxacbxbxf xfx A 有两个交点 B 有一个交点 C 没有交点 D 至少有一个交点 解析 由余弦定理得 所以 222 2cosbcabcA 222 2cosf xb xbcA xc A 因为1 所以0 因此0 恒成立 所以其图像与 2222 cos cosbxcAccA 2 cos A 222 cosccA f x 轴没有交点 x 题型题型 2 2 三角形解的个数三角形解的个数 例 3 在中 分别根据下列条件解三角形 其中有两解的是 ABC A B 7 a14 b 30A25 b30 c 150C C D 4 b5 c 30B6 a3 b 60B 题型题型 3 3 面积问题面积问题 例 4 的一个内角为 并且三边构成公差为的等差数列 则的面积为 ABC 0 2014ABC 解析 设 ABC 的三边分别 4 4 xxx C 120 由余弦定理得 解得 0222 120cos 4 2 4 4 xxxxx10 x 三边分别为 6 10 14 ABC 113 sin6 1015 3 222 ABC SabC A 题型题型 4 4 判断三角形形状判断三角形形状 例 5 在中 已知 判断该三角形的形状 ABC 2222 sin sin abABabAB 解析 把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式 方法一 方法一 22 sin sin sin sin aABABbABAB 22 2cossin2cossinaABbBA 由正弦定理 即知 22 sincossinsincossinAABBBA sinsin sincossincos 0ABAABB sin2sin2AB 由 得或 22 20 BA22AB 22AB 即为等腰三角形或直角三角形 ABC 方法二 方法二 同上可得 22 2cossin2cossinaABbBA 由正 余弦定理 即得 222222 22 22 bcaacb a bb a bcac 22222222 a bcab acb 即 22222 0abcab 或 ab 222 cab 即为等腰三角形或直角三角形 ABC 点拨点拨 判断三角形形状问题 一是应用正弦定理 余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系 通过因式分解 等方法化简得到边与边关系式 从而判断出三角形的形状 角化边 二是应用正弦定理 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系 通过三角恒等变形以及三角形内角和 定理得到内角之间的关系 从而判断出三角形的形状 边化角 题型题型 5 5 正弦定理 余弦定理的综合运用正弦定理 余弦定理的综合运用 例 6 在中 分别为角的对边 且且ABC a b cCBA sinsinsin ACpB pR 2 1 4 acb 1 当时 求的值 5 1 4 pb a c 2 若角为锐角 求的取值范围 Bp 解析 1 由题设并由正弦定理 得 解得 或 51 44 acac 1 1 4 ac 1 1 4 ac 2 由余弦定理 222 2cosbacacB 22222 11 22coscos 22 acacacBp bbbB 即 因为 所以 由题设知 2 31 cos 22 pB 1cos0 B 2 3 2 2 p 0 p 所以 2 2 6 p 三 课堂练习 三 课堂练习 1 满足 的的个数为 则为 45A6 c2 aABC m m a 2 已知 解三角形 35 5 ba 30A 3 在中 已知 如果利用正弦定理解三角形有两解 则的取值范围是 ABC 4 acmxb cm 60Ax A B C D 4 x40 x 3 38 4 x 3 38 4 x 4 在中 若则角 ABC 4 1 222 cbaS C 5 设是外接圆的半径 且 试求面积的最大值 RABC BbaCARsin 2 sin sin2 22 ABC 6 在 中 为边上一点 求 ABC DBC33 BD 13 5 sin B 5 3 cos ADCAD 7 在中 已知分别为角的对边 若 试确定形状 ABC a b cCBA cos cos aB bA ABC 8 在中 分别为角的对边 已知ABC a b cCBA cos2cos2 cos ACca Bb 1 求 sin sin C A 2 若求的面积 1 cos 2 4 Bb ABC 四 课后作业四 课后作业 1 在中 若 且 则是 ABC bcacbcba3 CBAcossin2sin ABC A 等边三角形B 钝角三角形 C 直角三角形D 等腰直角三角形 2 中若面积 S 则角 ABC 4 1 222 cba C 3 清源山是国家级风景名胜区 山顶有一铁塔 在塔顶处测得山下水平面上一点的俯角为 在塔底处ABAC B 测得点的俯角为 若铁塔的高为 则清源山的高度为 C hmm A B sin cossin h sin sincos h C D sin sin