第三章三角函数和解三角形第1课三角函数的概念

第三章第三章 三角函数和解三角形三角函数和解三角形 第第 1 1 课课 三角函数的概念三角函数的概念 考点导读 1 理解任意角和弧度的概念 能正确进行弧度与角度的换算 角的概念推广后 有正角 负角和零角 与 终边相同的角连同角 本身 可构成一 个集合 ZkkS 360 把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧 度的角 熟练掌握角度与弧度的互换 能运用弧长公式rl 及扇形的面积公式S lr 2 1 l为弧长 解决问题 2 理解任意角的正弦 余弦 正切的定义 角的概念推广以后 以角的顶点为坐标原点 角的始边为 x 轴的正半轴 建立直角坐 标系 在角的终边上任取一点 P x y 不同于坐标原点 设OPr 22 0rxy 则 的三个三角函数值定义为 sin cos tan yxy rrx 从定义中不难得出六个三角函数的定义域 正弦函数 余弦函数的定义域为 R 正切 函数的定义域为 2 RkkZ 3 掌握判断三角函数值的符号的规律 熟记特殊角的三角函数值 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号 可以简记为 一正 第一象限内 全为正值 二正弦 第二象限内只有正弦值为正 三切 第三象限只有正切值为正 四 余弦 第四象限内只有余弦值为正 另外 熟记0 6 4 3 2 的三角函数值 对快速 准确地运算很有好处 4 掌握正弦线 余弦线 正切线的概念 在平面直角坐标系中 正确地画出一个角的正弦线 余弦线和正切线 并能运用正弦 线 余弦线和正切线理解三角函数的性质 解决三角不等式等问题 基础练习 1 885 化成2 02 kkZ 的形式是 2 已知 为第三象限角 则 2 所在的象限是 3 已知角 的终边过点 5 12 P 则cos tan 4 tan 3 sin5 cos8 的符号为 5 已知角 的终边上一点 1 P a 0 a 且a tan 求 sin cos的值 13 6 12 第二或第四象限 5 13 12 5 正 解 由三角函数定义知 1a 当1a 时 2 sin 2 2 cos 2 当1a 时 2 sin 2 2 cos 2 范例解析 例 1 1 已知角 的终边经过一点 4 3 0 Paa a 求2sincos 的值 2 已知角 的终边在一条直线3yx 上 求sin tan 的值 分析 利用三角函数定义求解 解 1 由已知4xa 5ra 当0a 时 5ra 3 sin 5 4 cos 5 则 2 2sincos 5 当0a 时 5ra 3 sin 5 4 cos 5 则 2 2sincos 5 2 设点 3 0 P aa a 是角 的终边3yx 上一点 则tan3 当0a 时 角 是第一象限角 则 3 sin 2 当0a 时 角 是第三象限角 则 3 sin 2 点评 要注意对参数进行分类讨论 例 2 1 若sincos0 则 在第 象限 2 若角 是第二象限角 则sin2 cos2 sin 2 cos 2 tan 2 中能确定是正 值的有 个 解 1 由sincos0 得sin cos 同号 故 在第一 三象限 2 由角 是第二象限角 即22 2 kk 得 422 kk 4224kk 故仅有tan 2 为正值 点评 准确表示角的范围 由此确定三角函数的符号 例 3 一扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 等于多少时 这个扇形的面积最大 最大 面积是多少 分析 选取变量 建立目标函数求最值 解 设扇形的半径为 x 则弧长为 202 lx 故面积为 2 1 202 5 25 2 yx xx 当5x 时 面积最大 此时5x 10l 2 l x 所以当2 弧度时 扇形面积最大 25 2 cm 点评 由于弧度制引入 三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数 反馈演练 1 若sincos 且sincos0 则 在第 象限 2 已知6 则点 sin tan A 在第 象限 3 已知角 是第二象限 且 5 P m为其终边上一点 若 2 cos 4 m 则 m 的值为 4 将时钟的分针拨快30min 则时针转过的弧度为 5 若46 且 与 2 3 终边相同 则 6 已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2 则这个圆心角所对的弧长是 这个圆心角 所在的扇形的面积是 7 1 已知扇形AOB的周长是 6cm 该扇形中心角是 1 弧度 求该扇形面积 2 若扇形的面积为 8 2 cm 当扇形的中心角 0 为多少弧度时 该扇形周长最 小 简解 1 该扇形面积