随机过程作业(2)

要求 前六个题每人选 3 个 第 7 题到第 14 题每人任选 1 个 第三章 Poisson 过程 1 设是强度为的 Poisson 过程 令 其中 L 0 为常 0 N t t Y tN tLN t 数 求的一维分布 均值函数和相关函数 0 Y t t 2 设是强度为的 Poisson 过程 证明对于任意的 0 N t t 0st 1 0 1 kkn k n ss P N sk N tnCkn tt 3 设有两个相互独立 强度分别为的 Poisson 过程 证 12 12 0 0 N t tN t t 明在过程中两个相邻事件间 过程出现 k 个事件的概率为 1 0 N t t 2 0 N t t 12 1212 0 1 2 k pk 4 设复合 Poisson 过程 证明也是平稳独立增量过程 0 X t t 0 X t t 5 对于齐次泊松过程 计算的联合分布 123 ttt 6 产生一个泊松随机变量 设随机变量列服从 0 1 上的的均匀分 12 U U L 布 且相互独立 若 证明服从参数为的指数分布 a ln i i U X l i Xl 若定义为满足下式之值 bNn 其中 1 11 nn ii ii UeU l 0 1 1 i i U 利用证明服从均值为的泊松分布 aN 7 考虑一个从底层起动上升的电梯 以记在第 层进入电梯的人数 设相 i Ni i N 互独立 且是均值为的泊松变量 在第 层进入的各个人相互独立地以概 i N i li 率在第层离开电梯 1 令为第层离开电梯的人数 ij pj ij j i p j Oj 求 的分布是什么 的联合分布是什么 a j E O b j O c jk O O 8 考虑一个具有 个面的骰子 且假定每掷一次只呈现其一面 第 面以概率ri 出现 给定数 以记直到第 面出现次时所需掷次 i p 1 1 r i i p 1 r nnL i Ni i n 数 令 于是是对某个 第 面出现次1 2 ir L 1 min i ir NN N1 2 ir Li i n 时所需掷次数 的分布是什么 a i N 诸独立吗 b i N 设抛掷是在参数为 1 的泊松过程所产生的随机来到时刻进行的 以记 i T 直到第 面出现次所需要时间 令 i i n1 2 ir L 1 min i ir TT L 的分布是什么 c i T 诸独立吗 d i T 导出的表达式 e TE 用导出的表达式 f e NE 9 个体按照参数为的泊松过程进入系统 每个来到的个体相互独立地经历 系统的状态 以记一个体来到后经过时间 处于状态 的概率 以 i sasi 记在时刻 处于状态 的个体数 证明相互独立且服 i N tti 1 2 i N t i L i N t 从均值为 一个体从进入系统到 时止处于状态 的时间 Eti 10 证明非齐次泊松过程的增量服从均值为的泊松 tNstN smstm 分布 11 一个二维泊松过程是在平面上随机发生的事件构成的过程 使得 i 对于任一面积为的区域 其中的事件数服从均值为的泊松分布 AA ii 不相交的区域中的事件数是相互独立的 对此过程 考虑平面上任 意一点 以记它与最近的事件间的距离 此处的距离是指通常的欧氏距离 X 证明 a 2 t P Xte l p b 1 2 E X l 12 设是复合泊松过程 计算 0 X t t cov tXsX 13 对一个条件泊松过程 a 解释为什么条件泊松过程有平稳增量但无独立增量 b 在已知 即过程直到 时的历史资料条件下 计算 0 tssN t 的条件分布 并且证明它只依赖于 解释为什么会是这样的 tN c 在已知 的条件下 计算 之后第一个事件发生的时刻的条件 tNnt 分布 d 计算 h hNP h 1 lim 0 e 以表示来到间隔 它们独立吗 它们同分布吗 12 XX L 14 考虑一个条件泊松过程 其中服从参数为与的分布 即密度为 m 1 0 1 m e g m l a a l a ll a 证明 1 0 nmn m