人教版五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总(配练习完整版)[1]1

第三第三单单元元 长长方体和正方体方体和正方体 知知识识整理及整理及训练训练 一 长方体和正方体的认识一 长方体和正方体的认识 知识点 1 棱棱面面顶点顶点 要素要素 立体图形立体图形数量数量特征特征数量数量特征特征数量数量特征特征 长方体长方体 12 互相平行 的棱长度 相等 6 相对的面完全相 同 8 特殊长方体特殊长方体 12 垂直于正 方形面的 棱长度相 等 6 两个面是正方形 其余四个面是完 全相同的长方形 8 正方体正方体 12 所有的棱 长度都相 等 6 所有面都是正方 形且完全相同 8 同一个顶点引出的三 条棱分别叫做长 宽 高 一个长方体至少可以有两个面是正方形 最多可以有 6 各面是正方形 但不会存在 3 个 4 个 5 个面 是正方形 练习 练习 1 判断 长方体的六个面一定是长方形 正方体的六个面面积一定相等 一个长方体 非正方体 最多有四个面面积相等 相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体 一个长方体中 可能有 4 个面是正方形 正方体是特殊的长方体 长方体的三条棱分别叫做长 宽 高 有两个面是正方形的长方体一定是正方体 有三个面是正方形的长方体一定是正方体 正方体的相邻三条棱的交点叫做顶点 有两个相对的面是正方形的长方体 另外四个面的面积是相等的 长方体和正方体最多可以看到 3 个面 长方体的 12 条棱中 长 宽 高各有 4 条 正方体不仅相对的面的面积相等 而且所有相邻的面的面积也都相等 长方体 不包括正方体 除了相对的面相等 也可能有两个相邻的面相等 一个长方体中最少有 4 条棱长度相等 最多有 8 条棱长度相等 2 一个长方体最多有 个面是正方形 最多有 条棱长度相等 3 一个长方体的底面是一个正方形 则它的 4 个侧面是 形 4 正方体不仅相对的面相等 而且所有相邻的面 它的六个面都是相等的 形 5 把长方体放在桌面上 最多可以看到 个面 最少可以看到 个面 知识点 2 棱长和公式 长方体棱长和 长 宽 高 4 长 宽 高 棱长和 4 正方体棱长和 棱长 12 棱长 棱长和 12 练习 练习 1 分别说出下面长方体长 宽 高各是多少 2 看图 2 6 并填空单位 厘米 这个长方体长 厘米 宽 厘米 高 厘米 由一个顶点引出 的三条棱的长度和是 厘米 棱长总和是 厘米 上下两个面是 形 3 看图 2 7 并填空单位 厘米 这是一个 体 棱长是 厘米 棱长之和是 厘米 每 个面的面积是 平方厘米 4 有一个长方体的鱼缸 长 50 厘米 宽 30 厘米 高 30 厘米 需要在用 铝合金包裹玻璃连接处 需要 米的铝合金 5 一个长方体的棱长总和是 80 厘米 其中长是 10 厘米 宽是 7 厘米 高是 厘米 6 把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体 这个长方体的棱长总和是 厘米 7 至少需要 厘米长的铁丝 才能做一个底面周长是 18 厘米 高 3 厘米的长方体框架 8 一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米 把它切成一个尽可能大的正方体 这个正方体的棱长 是 9 一个长方体的礼堂如图 过节时需要在四周装上成串的彩灯 每串彩灯长 2m 一共需要多少串 彩灯 10 一个长方体棱长和 164cm 已知长方体的底面周长为72cm 长方体的高是多少 cm 11 一个长方体棱长和 164cm 已知长方体的左面周长为40cm 长方体的长是多少 cm 知识点 3 确定长方体中每个面的形状以及长 宽 高分别是多少 长方体一共有 个面 面完全相同 如 前面和 完全相同 和 完全相同 和 完全相同 根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长 垂直方向的为高 根据这一习惯我们我们只需找 到需要的面并根据习惯确定长和宽即可 例如 如图下列长方体的后面是 形状 长是 宽是 它的右面是 形状 长是 宽是 下面是 形状 长是 宽是 30m 6m 50m 练习 1 长方体展开后每个面都是什么形状 展开后哪俩个面是相对的面 面积相等吗 2 一个长方体的长是 25 厘米 宽是 20 厘米 高是 18 厘米 最大的面的长是 厘米 宽 是 厘米 它的面积是 平方厘米 最小的面长是 厘米 宽是 厘米 它的面积是 平方厘米 3 一个长方体的长 宽 高分别是 8 6 4 米 它的前后的面的面积是 左右的面的 面积是 上下的面的面积是 知识点 4 折叠可以组合成正方体 可以的请做适当的标记 知识点 5 长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 例如 例如 将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后 棱长和为 140 厘米 原来每个正方体的棱长和是 多少 分析 分析 五个正方体棱长共有 12 5 60 条 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少 32 条 还剩 60 32 28 条 即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和 所以正方体一条棱的长度为 140 28 5cm 所以一个正方体的棱长和为 5 12 60cm 知识点 6 小正方体拼大正方体的规律 要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方 这就要求我们能够 熟记一些数的立方 23 8 33 27 43 64 53 125 63 216 73 343 83 512 93 729 103 1000 练习 练习 上上 面面 下下 面面 左左 面面 后后 面面 右右 面面 前前 面面 1 用棱长为 1 厘米的小正方体拼一个棱长为 6 厘米的大正方体需要 个小正方体 2 用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为 9 厘米的大正方体需要 个小正方体 A 8 个 B 27 个 C 26 个 D 64 个 2 用棱长为 2 厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要 个小正方体 A 4 个 B 8 个 C 16 个 D 27 个 3 下列有一些数量的棱长为 1 厘米的小正方体 哪些数量可以拼成较大的正方体 A 27 个 B 4 个 C 1 个 D 8 个 E 32 个 F 125 个 8 两个棱长 1 厘米的正方体木块 拼成一个长方体 这具长方体表面积是 平方厘米 2 长方体和正方体的表面积长方体和正方体的表面积 知识点 1 长方体表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 a b a c b c 2 前面面积 上面面积 右面面积 2 正方体表面积 棱长 棱长 6 a a 6 6a2 任意一个面的面积 6 前面面积 后面面积 左面面积 右面面积 上面面积 下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体 表面积不一定相等 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体 表面积不一定相等 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体 棱长和也不一定相等表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体 棱长和也不一定相等 练习 练习 1 一个正方体的棱长总和是 48 分米 它的棱长是 表面积是 2 一个长方体长 6 厘米 宽 4 厘米 高 3 厘米 这个长方体上下两个面的面积各是 平方 厘米 前后两个面的面积各是 平方厘米 左右两个面的面积各是 平方厘米 表 面积是 平方厘米 3 判断题 长方体的表面积一定比正方体的表面积大 4 把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小 形状相同的长方体 每个长方体的表面积是 5 长方体的长是 6 厘米 宽是 4 厘米 高是 2 厘米 它的棱长总和是 厘米 六个面中 最大的面积是 平方厘米 表面积是 平方厘米 6 用字母表示正方体 或长方体 的表面积 用字母表示长方体的体积公式是 7 下面哪些问题跟长方体表面积有关 A 在一个长方体木箱外面刷油漆 刷油漆的面积一共有多少平方分米 B 做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃 C 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮 8 一个长方体的长是 5 分米 宽和高都是 4 分米 在这个长方体中 长度为 4 分米的棱有 条 面积是 20 平方分米的面有 个 9 一个长方体的金鱼缸 长是 8 分米 宽是 5 分米 高是 6 分米 不小心前面的玻璃被打坏了 修 理时配上的玻璃的面积是 10 一个正方体的底面积是 64 平方厘米 它的表面积是 11 一个正方体的底面周长是 8 厘米 它的表面积是 12 一个长方体侧面积是 360 平方厘米 高是 9 厘米 长是宽的 1 5 倍 求它的表面积 知识点 2 长方体表面求法的变形 1 贴商标类型 只求四周面积 例如 例如 一个长方体包装盒 长宽高分别为 8 4 5 需要在包装盒四周贴上商标 需要商标纸的面积是多 少 2 游泳池类型 只求四周和底面 例如 例如 一座游泳池 长宽高分别为 10m 4m 1 5m 需要在池内贴上边长为 1dm 的瓷砖 大约需要多少 块瓷砖 3 抽纸盒类型 六个面面积减去缺口面积 例如 例如 一款抽纸盒 长宽高分别是 20cm 12cm 5cm 上面有长 14cm 宽 3cm 的抽纸口 做这款抽纸盒 需要多少硬纸片 4 占地面积问题 只求底面面积 例如 例如 一个长方体蓄水池 长 12m 宽 8m 深 3m 这个水池占地面积多少平方米 练习 练习 1 一盒饼干长 20 厘米 宽 15 厘米 高 30 厘米 现在要在它的四周贴上商标纸 如果商标纸的接头 处是 4 厘米 这张商标纸的面积是多少平方厘米 2 一种长方体硬纸盒 长 10 厘米 宽 6 厘米 高 5 厘米 有 2 平方米的硬纸板 210 张 可以做这样 的硬纸盒多少个 不计接口 3 一个通风管的横截面是边长是 0 5 米的正方形 长 2 5 米 如果用铁皮做这样的通风管 50 只 需要 多少平方米的铁皮 4 一个房间的长 6 米 宽 3 5 米 高 3 米 门窗面积是 8 平方米 现在要把这个房间的四壁和顶面 粉刷水泥 粉刷水泥的面积是多少平方米 如果每平方米需要水泥 4 千克 一共要水泥多少千克 5 在一节长 120 厘米 宽和高都是 10 厘米的通风管 至少需要铁皮多少平方厘米 做 12 节这样的 通风管呢 6 做一个正方体无盖纸盒 棱长是 21 厘米 至少需要多少平方厘米的纸板 7 一个抽屉 长 50 厘米 宽 30 厘米 高 10 厘米 做这样的 2 个抽屉 至少需要木板多少平方厘米 8 一块长方形铁皮长 60 厘米 宽 40 厘米 如 图 从四个角上剪去边长是 10 厘 米的正方形 然后做成盒子 这个盒子的表面积是多少平方厘米 知识点 3 棱长变化对表面积 体积的影响 正方体 必须记得 正方体的棱长扩大 2 倍 其棱长和也扩大 2 倍 表面积扩大 4 倍 体积扩大 8 倍 正方体的棱长扩大 3 倍 其棱长和也扩大 3 倍 表面积扩大 9 倍 体积扩大 27 倍 正方体的棱长扩大 n 倍 其棱长和也扩大 n 倍 表面积扩大 n2倍 体积扩大 n3倍 长方体 稍难 可以不用记住 了解即可 长方体的长宽高同时扩大 2 倍 其棱长和也扩大 2 倍 表面积扩大 4 倍 体积扩大 8 倍 长方体的长宽高同时扩大 3 倍 其棱长和也扩大 3 倍 表面积扩大 9 倍 体积扩大 27 倍 长方体的长宽高同时扩大 n 倍 其棱长和也扩大 n 倍 表面积扩大 n2倍 体积扩大 n3倍 长方体的长扩大长方体的长扩大 a 倍 宽扩大倍 宽扩大 b 倍 高扩大倍 高扩大 c 倍 棱长和变化无规律 表面积变化也无规律 体积扩大倍 棱长和变化无规律 表面积变化也无规律 体积扩大 a b c 倍 倍 必须记得 必须记得 长方体的长扩大 a 倍 宽扩大 b 倍 棱长和变化无规律 表面积变化无规律 体积扩大 a b 倍 长方体的宽扩大 b 倍 高扩大 c 倍 棱长和变化无规律 表面积变化无规律 体积扩大 b c 倍 长方体的长扩大 a 倍 高扩大 c 倍 棱长和变化无规律 表面积变化无规律 体积扩大 a c 倍 练习 练习 1 大正方体的棱长是小正方体的棱长的 2 倍 那么大正方体的表面积是小正方体表面积的 倍 2 正方体的棱长缩小 5 倍 它的体积就缩小 倍 3 一个长方体的长 宽 高都扩大 4 倍 它的体积就 4 正方体的棱长扩大 6 倍 表面积扩大 倍 5 一个正方体的棱长为 4 厘米扩大为 2 倍后 其棱长和为 厘米 表面积为 平方 厘米比原来扩大了 6 大正方体的表面积是小正方体的 4 倍 那么大正方体的棱长是小正方体的 大正方体 棱长之和是小正方体的 7 判断 一个长方体的长扩大 2 倍 宽扩大 3 倍 高扩大 4 倍 这个长方体的表面积扩大 24 倍 正方体的棱长扩大 1 2 倍 它的棱长也扩大 1 2 倍 它的表面积就扩大 14 4 倍 有棱长为 1 厘米的正方体拼成较大的正方体 其表面积比原来一个正方体时扩大了 4 倍 棱长为 16 厘米的正方体 将棱长缩小 2 倍后 其表面积缩小了 4 倍 知识点 4 立体图形的切割 切割会使表面积增加 长方体 而且每切一刀增加两个完全相同的面 切两刀增加四个完全相同的面 依次类推 正方体 无论沿那个面平行的方向切 都将增加两个正方形的面 增加的面积均为 2a2不存在增加最多最少的问 题 例如 例如 两盒磁带有三种不同的包装方式 你说哪一种最省包装纸 要求最省包装纸 即表面积最小 也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多 根据规律应该选 择第一种包装方式 练习 练习 1 把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小 形状相同的长方体 每个长方体的表面积是 2 把一根长 2 米的方木 底面是正方形 锯成三段 表面积增加 5 76 平方分米 原来这根方木的 底面积是多少平方分米 3 一根 1 8m 长的木材 锯成三个完全相同的正方体后 表面积比原来增加多少平方厘米 知识点 5 从一个长方体中切出一个最大的正方体问题 应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长 这样的正方体将是能切出的最大正方体 否则切出的 将不是正方体 例如 例如 在一个长是 4 厘米 宽为 3 厘米 高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体 该正方体的棱 长和是多少 剩余部分的表面积是多少 知识点 6 单位换算 长度单位 mm cm dm m 相邻两个单位进率为 10 面积单位 mm2 cm2 dm2 m2 相邻两个单位进率为 100 体积单位 mm3 cm3 dm3 m3 相邻两个单位进率为 1000 容积单位 ml L 相邻两个单位进率为 1000 特别的 1ml cm3 1L 1dm3 1 方 1m 不是同一类型的单位 数据不能比较大小 同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大 大单位化小单位乘以进率 小单位化大单位除以进率 例如 例如 手指尖约占了 1 立方厘米的空间 即它的体积约为 1 立方厘米 一个粉笔盒的体积约为 1 dm 半个讲台的体积约是 1 立方米 一个烧杯约能装水 500ml 练习 练习 9 立方米 500 立方分米 立方米 立方分米 3 6 升 毫升 立方厘米 1700 平方厘米 平方分米 平方米 3 2 立方分米 立方厘米 500 立方分米 立方米 3 升 毫升 2700 毫升 升 2 57 升 毫升 640 毫升 升 2 8 立方分米 立方厘米 0 8 升 毫升 高级单位高级单位 进率 高级单位的数 低级单位低级单位 低级单位的数 进率 分析 分析 以最短的棱为正方体的棱长 即以高为 2cm 的棱为正方体的棱长 那么正方体的棱长和 为 2 12 24cm 切去正方体后所剩部分的长为 4 2 2cm 宽为 3 2 1cm 高仍为 2cm 因此所剩部分表面积为 2 1 2 2 1 2 2 16cm2 720 立方分米 立方米 51000 毫升 升 32 立方厘米 立方分米 4 25 立方米 立方分米 升 2 7 立方米 升 1200 毫升 立方厘米 1 24 立方米 升 毫升 3 06 升 升 毫升 40 立方米 立方分米 4 立方分米 5 立方厘米 立方分米 30 立方分米 立方米 0 85 升 毫升 2100 毫升 立方厘米 立方分米 2 一个水池能装水 400 立方米 这是指 占地 2 公顷指的是 一块橡皮擦的体积约是 8 一本书的封面约是 2 运货集装箱的体积约是 40 一支钢笔长 18 一台录音机的体积约是 20 三 长方体和正方体的体积三 长方体和正方体的体积 知识点 1 容积与体积基本概念 体积是指所占空间的大小 容积是指所容纳物体的体积 一般的 一个物体的容积一般都比它的体积小 当容器壁厚度忽略不计时体积 容积 否则体积 容积 比如说 一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积 容器壁忽略不计 体积计算方法 长方体的体积 长 宽 高 正方体的体积 棱长 棱长 棱长 长方体和正方体的体积 底面积 高 练习 练习 1 判断 体积单位比面积单位大 面积单位比长度单位大 正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算 表面积相等的两个长方体 它们的体积一定相等 2 一个正方体的棱长和是 12 分米 它的体积是 立方分米 3 一个长方体的体积是 30 立方厘米 长是 5 厘米 高是 3 厘米 宽是 厘米 4 表面积是 54 平方厘米的正方体 它的体积是 立方厘米 5 一个长方体框架长 8 厘米 宽 6 厘米 高 4 厘米 做这个框架共要 厘米铁丝 是求 长方体 在表面贴上塑料板 共要 塑料板 是求 在里面 能盛多少升水是求 这个盒子有 立方米 是求 6 长方体的长是 6 厘米 宽是 4 厘米 高是 2 厘米 它的棱长总和是 厘米 六个面 中最大的面积是 平方厘米 表面积是 平方厘米 体积是 立 方厘米 7 一个正方体棱长 2 厘米 体积是 立方厘米 如果这个正方体的棱长扩大 2 倍 它的 体积是 立方厘米 8 一个菜窖能容纳 6 立方米白菜 这个菜窖的 是 6 立方米 9 将一个正方体钢坯锻造成长方体 正方体和长方体 体积相等 表面积不相等 体积和表面积都不相等 表面积相等 体积不相等 10 要制作 140 个棱长 5 厘米的正方体木块 至少需要木料多少立方分米 11 某纸盒厂生产一种正方体纸板箱 棱长 40 厘米 它的体积是多少立方厘米 合多少立方分米 12 一个长方体的沙坑装满沙子 这个沙坑长 3 米 宽 1 5 米 深 2 米 每立方米沙子重 1400 千 克 这个沙坑里共装沙子多少吨 知识点 2 体积大小的比较 对于液体可以直接比较体积的大小 如果液体体积小于容器既可以装得下 如果大于容器体积则装不下 对于固体而言 在体积小于容器体积的前提下 还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高 只有物体的 长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器 例如 例如 有一个长为 8 分米 高位 5 分米 体积为 240 平方分米的硬纸盒 有一件陶瓷长为 7 4 分米 高 位 4 分米 宽为 6 5 分米 是否可以放入该容器 分析 分析 单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现 陶瓷体积 硬纸盒体积 但这并不意味着瓷器就可以 装进盒子 我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小 通过计算硬纸盒的长 8 分米 宽 240 8 5 6 分米 高 5 分米 陶瓷的长 7 4 分米 宽 6 5 分米 高 4 分米 由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大 所以即使在体积小于盒子的前提下 仍然是装不进去的 练习 练习 1 有一个长方形玻璃鱼缸长为 5 分米 宽为 3 分米 高为 3 分米里面装有 2 5 分米高的水 现在需 要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为 3 5 分米的正方体鱼缸中 请问是否可以装得下这么多水 如果装 得下正方体鱼缸内的水有多高 2 有一个长方体的硬纸盒 长为 11 分米 宽为 15 分米 高为 6 分米 现将一个长为 12 分米 宽为 10 分米 高为 5 分米长方体的礼品放入该盒子中 是否可以装的进去 知识点 3 砌墙类问题 例如 例如 养殖场需要砌一堵长为 30 米 宽为 24 厘米 高位 2 5 米得墙 需要用长为 30 厘米 宽为 15 厘 米 厚为 5 厘米的砖大约多少块 分析 分析 首先我们需要将墙的体积算出 3000 厘米 24 厘米