合情推理在数列中的体现(宁波市鄞州高级中学-叶琪飞).ppt

合情推理在数列中的体现 能力的内涵的优质发展案例报告 宁波市鄞州高级中学叶琪飞 一 归纳推理在数列中的体现 二 类比推理在数列中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 在数学里 发现真理的主要工具也是归纳和类比 法国数学家拉普拉斯 1749 1827 合情推理 归纳推理 归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 例1 观察下列等式 由以上等式推测到一个一般的结论 2009 浙江高考题第15题 一 归纳推理在数列中的体现 一 归纳推理在数列中的体现 由于加减号未注意 错成24n 1 22n 1 由于加减号搞反了 错成24n 1 1 n 22n 1 由于未注意到n得取值从1开始 将4n 1错成4n 3 或将2n 1错成2n 1 学生典型错误有如下三种 解 这是一种需归纳推理方法破解的问题 结论由二项构成 第二项前有 二项指数分别为 因此对于任意的 一 归纳推理在数列中的体现 2010年考试说明中的参考试卷 已知a0 0 设方程a0 x a1 0的1个根是x1 则x1 a1 a0 设方程a0 x2 a1x a2 0的2个根是x1 x2 则x1 x2 a2 a0 设方程a0 x3 a1x2 a2x a3 0的3个根是x1 x2 x3 则x1 x2 x3 a3 a0 设方程a0 x4 a1x3 a2x2 a3x a4 0的4个根是x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 a4 a0 由以上结论 推测出一般的结论 设方程a0 xn a1xn 1 a2xn 2 an 1x an 0的n个根是x1 x2 xn 则x1 x2 xn 1 n an a0 相关试题1 例2 2009年高考湖南卷理科第15题 将正 ABC分割成n2 n 2 n N 个全等的小正三角形 图2 图3分别给出了n 2 3的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于 ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数 当数的个数不少于3时 都分别依次等差数列 若顶点A B C处的三个数互不相同且和为1 记所有顶点上的数之和为f n 则有f 2 2 f 3 f n 一 归纳推理在数列中的体现 一 归纳推理在数列中的体现 一 归纳推理在数列中的体现 2 解法3似乎违背了题意 若顶点A B C处的三个数互不相同 这一条件 其实是命题人为了干扰考生设计的陷阱 有此地无银三百两之嫌 这里利用了一般到特殊的思想方法求解 一 归纳推理在数列中的体现 解题感悟 1 以等差数列为背景 考察学生的阅读理解能力 运算能力 推理能力 合情猜想能力 能力立意高 设计新颖独特 这是一道很好的探索性 开放性 研究性的试题 解决其需要经历判断 尝试 归纳 猜想与推证得过程 特别是从前若干特例中推理发现一般规律的能力 将正 ABC分割成n2 n 2 n N 个全等的小正三角形 图2 图3分别给出了n 2 3的情形 在每个三角形的顶点各放置一个正实数 使位于 ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数 当数的个数不少于3时 都分别依次成等比数列 若顶点A B C处的三个数互不相同且积为1 记所有顶点上的数之积为f n 则有f n 一 归纳推理在数列中的体现 A 1 相关试题2 变式 一 归纳推理在数列中的体现 相关试题3 2009湖北卷文 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 例如 他们研究过图1中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图2中的1 4 9 16 这样的数称为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A 289B 1024C 1225D 1378 C 相关试题4 已知数列满足 求的值 相关试题5 已知数列满足 求连乘积的值 一 归纳推理在数列中的体现 例4 宁波市2009学年度高三数学第一学期期末试卷 理科 第17题 整数数列满足 则数列的通项 分析 本题考生要经历观察 探究 归纳 猜想 验证 证明的思维过程 一 归纳推理在数列中的体现 一 归纳推理在数列中的体现 二 类比推理在数列中的体现 类比推理 这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 开普勒 我珍视类比胜过任何别的东西 它是我最可信赖的老师 二 类比推理在数列中的体现 例5 2009浙江文科第16题 设等差数列的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列的前n项积为Tn 则T4 成等比数列 命题意图 此题是一个数列与类比推理结合的问题 既考查了数列中等差数列和等比数列的知识 也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 二 类比推理在数列中的体现 二 类比推理在数列中的体现 二 类比推理在数列中的体现 记等差数列的前项的和为利用倒序相加法 可将表示成首项为末项与项数的一个关系式 记公式类似地 记等比数列的前项积为且试类比等差数列求和的方法 可将表示成首项末项与项数的一个关系式 记公式 相关试题1 解 二 类比推理在数列中的体现 等差数列有如下的性质 若数列是等差数列 则当时 数列也是等差数列 类比上述性质 相应的 若数列是正项等比数列 当时 数列也是等比数列 相关试题2 二 类比推理在数列中的体现 相关试题3 已知命题 若数列为等差数列 且 现已知数列为等比数列 且 若类比上述结论 则可得 背景知识 基本数列的通项公式 三 合情推理在解数列综合题中的体现 等差数列和等比数列是数列中最基本也是最简单的两大数列 数列综合题难度最高莫非与不等式结合的题目 所涉及的非基本数列都要转换到基本数列进行求解 这就需要合情推理 观察其结构 结合解题经验 对问题的走向做出预测 当然这其中需要直觉 估算 转换视角等思维方式的参与 例7 2002年高考数学全国卷理科第22题 设数列满足 当时 求并由此猜想出的一个通项公式 当时 证明对所有的有 三 合情推理在解数列综合题中的体现 分析 第 问 容易猜想对第 问 用数学归纳法加以证明 难在第 问 注意到 可把右边的看成以为首项 为公比的等比数列的和 能想到用数列来控制数列 因此只需证 三 合情推理在解数列综合题中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 相关试题1 2008年全国卷一第22题 设函数 数列满足 证明 函数在区间是增函数 证明 设 整数 证明 三 合情推理在解数列综合题中的体现 三 合情推理在解数列综合题中的体现 从特殊观察寻找并发现一