第4课二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（含答案）

高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 1 第第 4 课课 二元一次不等式二元一次不等式 组组 与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 编者 彭小平 审订 高三理科数学组 班级 姓名 考纲导读考纲导读 1 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 3 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 知识梳理知识梳理 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 一般地 二元一次不等式 Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0 某一侧的所有点组成的平面区域 半平面 不含边界直线 不等式 Ax By C 0 所表示的平面区域 半平面 包括边界直线 2 对于直线 Ax By C 0 同一侧的所有点 x y 使得 Ax By C 的值符号 相同 也就是位于同一半平面内的点 其坐标适合同一个不等式 Ax By C 0 而位于另一个半平面内的点 其坐标适合另一个不等式 Ax By C 0 3 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域 是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分 2 线性规划的有关概念 名称意义 线性约束条件 由 x y 的一次不等式 或方程 组成的不等式组 是对 x y 的约 束条件 目标函数关于 x y 的解析式 线性目标函数关于 x y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 x y 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 基础练习基础练习 1 设变量x y满足约束条件Error 则目标函数z y 2x 的最小值为 A 7 B 4 C 1 D 2 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 2 解析 解析 可行域如图阴影部分 含边界 令z 0 得直线l0 y 2x 0 平移直线l0知 当直线l过A点时 z取得最小值 由Error 得A 5 3 所以z最小 3 2 5 7 故选 A 答案 答案 A 2 设x y满足约束条件Error 则的最大值是 2y 2 x 1 A 5 B 6 C 8 D 10 解析 解析 画出可行域如图 的几何意义是点M 1 1 与 y 1 x 1 可行域内的点P x y 连线的斜率 当点P移动到点N 0 4 时 斜率最大 最大值为 5 4 1 0 1 2 5 10 故选 D 2y 2 x 1 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 3 答案 答案 D 3 已知变量x y满足约束条件Error 则目标函数 z 3x y的取值范围是 解析 解析 变量x y满足约束条件Error 目标函数为 z 3x y 直线 4x y 1 0 与x 2y 2 0 交于点A 0 1 直线 2x y 4 0 与x 2y 2 0 交于点B 2 0 直线 4x y 1 0 与 2x y 4 0 交于点C 1 2 3 分析可知z在点C处取得最小值 zmin 3 1 z 1 2 3 2 在点B处取得最大值 zmax 3 2 0 6 故答案为 3 2 6 答案 答案 3 2 6 典例分析典例分析 例例 1 1 设z kx y 其中实数x y满足Error 若z的最大值为 12 则实数k 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示 由图可知当 0 k 时 直线y kx z经过点M 4 4 时z最 1 2 大 所以 4k 4 12 解得k 2 舍去 当 k 时 直线 1 2 y kx z经过点 0 2 时z最大 此时z的最大值为 2 不合题 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 4 意 当 k 0 时 直线y kx z经过点M 4 4 时z最大 所以 4k 4 12 解得k 2 符合题意 综上可知 k 2 例例 2 2 若不等式组Error 所表示的平面区域被直线y kx 分为面积 4 3 相等的两部分 则k的值是 A B C D 7 3 3 7 4 3 3 4 思维启迪 画出平面区域 显然点在已知的平面区域内 直 0 4 3 线系过定点 结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即 0 4 3 可 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线y kx 过定点 因此只有直线过AB中点时 直 4 3 0 4 3 线y kx 能平分平面区域 4 3 因为A 1 1 B 0 4 所以AB中点D 1 2 5 2 当y kx 过点时 4 3 1 2 5 2 5 2 k 2 4 3 所以k 7 3 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 5 例例 3 3 设实数x y满足Error 则 的最大值为 y x 思维启迪 与二元一次不等式 组 表示的平面区域有关的非线性 目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来 完成 答案 1 3 2 解析 1 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 在点 1 处 y x 3 2 取到最大值 例例 4 4 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过 50 亩 投入资金 不超过 54 万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 年产量 亩 年种植成本 亩 每吨售 价 黄瓜4 吨1 2 万元 0 55 万 元 韭菜6 吨0 9 万元 0 3 万 元 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 求黄瓜和韭菜的种植面积 单位 亩 解析 设种植黄瓜x亩 韭菜y亩 则由题意可知Error 求目标函 数z x 0 9y的最大值 根据题意画可行域如图阴影所示 当目标函数线l向右平移 移至点A 30 20 处时 目标函数取得 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 6 最大值 即当黄瓜种植 30 亩 韭菜种植 20 亩时 种植总利润最 大 思维升华 线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写 出所研究的目标函数 转化为简单的线性规划问题 再按如下步 骤完成 1 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中过原点的那一条l 2 平移 将l平行移动 以确定最优解的对应点A的位置 3 求值 解方程组求出A点坐标 即最优解 代入目标函数 即可求出最值 巩固训练巩固训练 1 在直角坐标平面内 不等式组Error 所表示的平面区域的面积为 3 2 则t的值为 A 或B 3 或 1C 1D 333 答案 C 解析 不等式组Error 所表示的平面区域如图中阴 影部分所示 由Error 解得交点B t t 1 在y x 1 中 令x 0 得y 1 即直线y x 1 与y轴的交点为C 0 1 由平面区域的面积S 得t2 2t 3 0 解得t 1 或t 3 不 1 t 1 t 2 3 2 合题意 舍去 故选 C 2 设变量x y满足约束条件Error 则目标函数z y 2x的最小值 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 7 为 A 7B 4C 1D 2 答案 A 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 8 解析 可行域如图阴影部分 含边界 令z 0 得直线l0 y 2x 0 平移直线l0知 当直线l过A点时 z取得最小值 由Error 得A 5 3 zmin 3 2 5 7 选 A 3 设z 2x y 其中x y满足Error 若z的最大值为 6 则k的 值为 z的最小值为 答案 2 2 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平 面区域及直线 2x y 6 结合图形分析可知 要使z 2x y的最 大值是 6 直线y k 必过直线 2x y 6 与x y 0 的交点 即必过点 2 2 于是有 k 2 平移直线 2x y 6 当平移到经过该平面区域内的点 2 2 时 相应 直线在y轴上的截距达到最小 此时z 2x y取得最小值 最小值 是z 2 2 2 2 4 铁矿石A和B的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量b及 每万吨铁矿石的价格c如表 a b 万吨 c 百万元 A50 13 B70 0 56 某冶炼厂至少要生产 1 9 万吨 铁 若要求 CO2的排放量不超过 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 9 2 万吨 则购买铁矿石的最少费用为 百万元 答案 15 解析 设购买铁矿石A B分别为x万吨 y万吨 购买铁矿石的费 用为z 百万元 则 Error 目标函数z 3x 6y 由Error 得Error 记P 1 2 画出可行域可知 当目标函数z 3x 6y过点P 1 2 时 z取到 最小值 15 5 当x y满足约束条件Error k为负常数 时 能使z x 3y的最 大值为 12 试求k的值 高三第一轮复习学案 高三数学理科备课组 10 解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的 平面区域 如图所 示 当直线y x z经过区域中的点A时 截距最大 1 3 1 3 由Error 得x y k 3 点A的坐标为 k 3 k 3 则z的最大值为 3 k k 3 k 3 4 3 令 12 得k 9 4k 3 所求实数k的值为 9 6 2013 湖北 某客运公司用A B两种型号的车辆承担甲 乙两地 间的长途客运业务 每车每天往返一次 A B两种车辆的载客量 分别为 36 人和 60 人 从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元 辆和 2 400 元 辆 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队 并要求B型车不多于A型车 7 辆 若每天运送人数不少于 900 且 使公司从甲地去乙地的营运成本最小 那么应配备A型车 B型 车各多少辆 解 设A型 B型车辆的数量分别为x y辆 相应营运成本为z 元 则z 1 600 x 2 400