高二理科数学圆锥曲线单元测试

试卷第 1 页 总 4 页 高二年单元考试试卷 圆锥曲线 高二年单元考试试卷 圆锥曲线 一 选择题一 选择题 60 分分 1 已知双曲线的一个焦点为 则双曲线的渐近线方程 22 2 10 16 xy Ca a 5 0C 为 A B 4312xy 4410 xy C D 1690 xy 430 xy 2 平面直角坐标系中 已知为坐标原点 点 的坐标分别为 OAB 1 1 3 3 若动点满足 其中 且 则点的轨迹方POPOAOB R 1 P 程为 A B 0 xy 0 xy C D 230 xy 22 125xy 3 抛物线上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10 则焦点到准线的距 2 2 0 ypx p 离是 A 4 B 8 C 16 D 32 4 椭圆的离心率是 则它的长轴长是 22 1mxy 3 2 A 1 B 1 或 2 C 2 D 2 或 4 5 设经过点的等轴双曲线的焦点为 此双曲线上一点满足 2 1 12 F FN 则的面积为 1 2 NFNF 12 NFF A B C D 2323 6 抛物线有如下光学性质 由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴 反 之 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点 已知抛物线 的焦点为 一条平行于轴的光线从点射出 经过抛物线上的点 2 4yx Fx 3 1M 反射后 再经抛物线上的另一点射出 则直线的斜率为 ABAB A B C D 4 3 4 3 4 3 16 9 7 已知点是椭圆的左 右焦点 点 P 是该椭圆上的一个动点 那 12 F F 22 22xy 么的最小值是 1 2 PFPF A 2 B C 0 D 12 2 试卷第 2 页 总 4 页 8 椭圆 上存在一点满足 为椭圆的左焦 22 22 1 xy ab 0ab F 2 A F 点 为椭圆的右顶点 则椭圆的离心率的范围是 A A B C D 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 9 把离心率的曲线称之为黄金双曲线 若以 51 2 e 22 22 10 0 xy Cab ab 原点为圆心 以虚半轴长为半径画圆 则圆与黄金双曲线 OOC A 无交点 B 有 1 个交点 C 有 2 个交点 D 有 4 个交点 10 已知 则方程是与在同一坐标系内的图形可能是 A B C D 11 设直线与抛物线相交于 两点 抛物线的焦点为 1yk x 2 4yx F 若 则的值为 F2 F k A B C D 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 12 已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点 且 记椭圆和 双曲线的离心率分别为 则的最大值是 A B C 2 D 3 二 填空题二 填空题 20 分分 13 已知 是抛物线 的焦点 是 上一点 的延长线交 轴于点 若为 的中点 则 14 抛物线的焦点为 F 其准线与双曲线相交于两点 若 为等边三角形 则 试卷第 3 页 总 4 页 15 已知椭圆 离心率为 双曲线的渐近线与椭圆有四 个交点 以这四个交点为顶点的四边形面积为 16 则椭圆 的方程为 16 设椭圆的左右焦点为 过作轴的垂线与 22 22 x 1 ab0 y C ab 12 F F 2 Fx 相交于两点 与轴相交于 若 则椭圆的离心率等于 C A B 1 FByD 1 ADFB C 三 解答题三 解答题 17 10 分 设命题 方程表示双曲线 命题 斜率为的直p 22 1 231 xy kk qk 线 过定点且与抛物线有两个不同的公共点 若是真命题 求l 2 1 P 2 4yx pq 的取值范围 k 18 12 分 1 已知椭圆的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 4 求椭圆 的标准方程 2 已知双曲线过点 4 3 且渐近线方程为 1 2 yx 求该双曲线的标准方程 19 12 分 已知双曲线C 的离心率为 点 0 是双曲线的一 22 22 1 xy ab 33 个顶点 1 求双曲线的方程 2 经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30 的直线 直线 与双曲线交于不同的 A Bll 两点 求 AB 的长 试卷第 4 页 总 4 页 20 12 分 过抛物线的焦点作直线 与抛物线交于两 2 20C xpy p FlC A B 点 当点的纵坐标为 1 时 A2AF 1 求抛物线的方程 C 2 若直线 的斜率为 2 问抛物线上是否存在一点 使得 并说明lCMMAMB 理由 21 12 分 已知椭圆过点 两个焦点为 C 3 1 2 A 1 0 1 0 1 求椭圆的方程 C 2 是椭圆上的两个动点 如果直线的斜率与的斜率之和为 2 证 E FCAEAF 明 直线恒过定点 EF 22 12 分 已知椭圆的离心率为 点 分别为椭圆的右顶点 上C 3 2 ABF 顶点和右焦点 且 3 1 2 ABF S 1 求椭圆的方程 C 2 已知直线 被圆 所截得的弦长为 若直线lykxm O 22 4xy 2 3 与椭圆交于 两点 求面积的最大值 lCMNMON 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 1 页 总 11 页 参考答案参考答案 1 D 解析 由题得 c 5 则 即 a 3 所以双曲线的渐近线方程为 22 169ac 4 3 yx 即 故选 D430 xy 2 C 解析 设 则 P x y3 3 26 xyyx xy 因此 选 C 1230 26 xyyx xy 3 B 解析 横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10 该点到准线的距离为 10 抛物线的准线方程为 故选 B 4 D 解析 把椭圆方程转化为 22 1mxy 22 1 1 1 xy m 分两种情况 时椭圆的离心率 1 1 m 3 2 则 解得 m 进一步得长轴长为 4 1 1 3 1 4 m m 1 4 时 1 1 m 椭圆的离心率 则 长轴长为 2 3 2 故选 D 点睛 在椭圆和双曲线中 焦点位置不确定时 勿忘分类讨论 5 D 解析 设等轴双曲线方程为 因为过点 所以 22 xy 2 1 2 1212 2132 3 2 6NFNFFF 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2 页 总 11 页 从而 222 12121212 2 12 212NFNFNFNFFFNF NF 选 D 121212 1 2421263 2 NF NFNF NFSNF NF 6 A 解析 令 y 1 代入 得 即 由抛物线的光学性质可知 直线 2 4yx 1 4 x 1 1 4 A AB 经过焦点 F 1 0 所以 直线的斜率为 故选 AAB 1 04 1 3 1 4 k 答案 A 解析 椭圆 即为 则椭圆的 则由为 22 22xy 2 2 1 2 x y 2 1ab OP 的中线 即有 则 可设 则 12 PFF 12 1 2 POPFPF 12 2PFPFPO P x y 即有 当时 取得最小 2 2 1 2 x y 22 222 111 22 xx POxyx 0 x 值 则的最小值为 故选 A 1 12 PFPF 2 8 C 解析 设 则由得 P x yF 2 A 因为 2 00 xc yxa yxcxay 所以 22 22 1 xy ab 22 2 2 210 aba c xaxa aee c 或 选 C 1 011 2 ee 点睛 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方 a b c 程或不等式 再根据的关系消掉得到的关系式 而建立关于的方程或不 a b cb a c a b c 等式 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质 点的坐标的范围等 9 D 解析 由题意知 所以 因为 51 2 c a 22 62 551 11 42 bc aa 所以 所以 所以圆与黄金双曲线的左右两支各有 2 51 1 2 b a 1 b a ba OC 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 3 页 总 11 页 2 个交点 即圆与黄金双曲线由 4 个交点 故选 D OC 10 A 解析 方程即 表示抛物线 方程表示椭 圆或双曲线 当 和 同号时 抛物线开口向左 方程表示椭 圆 无符合条件的选项 当 和 异号时 抛物线开口向右 方程 表示双曲线 故选 A 11 B 解析 设 因为 所以由抛物线定义得 1122 M x yN xyF2 F 22 1212112212 12 24 44 xxyyyx yxxx 选 B 1 11 1 2 2 2 2 2 13 y xyk x 12 A 解析 如图 设椭圆的长半轴长为 双曲线的半实轴长为 则根据椭圆及双曲线的定义 设 则 在中根据余弦定理可得到 化简得 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4 页 总 11 页 该式可变成 故选 点睛 本题综合性较强 难度较大 运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出 与 的数量关系 然后再利用余弦定理求出与 的数量关系 最后利用基本不 等式求得范围 13 解析 如图所示 不妨设点M位于第一象限 设抛物线的准线与 轴交于点 作与点 与点 由抛物线的解析式可得准线方程为 则 在直角梯形中 中位线 由抛物线的定义有 结合题意 有 故 点睛 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础 它能将两种距离 抛物线上的点到焦点的距 离 抛物线上的点到准线的距离 进行等量转化 如果问题中涉及抛物线的焦点和准线 又 能与距离联系起来 那么用抛物线定义就能解决问题 因此 涉及抛物线的焦半径 焦点 弦问题 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离 这样就可以使问题简单 化 14 解析 由抛物线可知焦点 准线 由于 为等边三角形 设 AB 与 y 轴交 于 M FM P 即 填 点睛 对于圆锥曲线要先定位 再定量 本题的抛物线焦点是在 y 轴正半径 所以求出抛物线的 焦点坐标与准线方程 再把准线方程与双曲线组方程组算出 B 点坐 再由等边三角形 可 解的 P 15 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 5 页 总 11 页 解析 由题意 双曲线的渐近线方程为 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 故边长为 4 在椭圆 上 椭圆方程为 故答案为 16 3 3 解析 试题分析 连接 为的中点 为的中点 又 1 AFABOD O 21F FD 1 BF 设 则 1 ADFB ABAF 1 21 AF2AF nAF2 n2AF 1 n3FF 21 3 3 n3 n3 AFAF FF a c e 21 21 考点 椭圆离心率 方法点晴 本题考查的是椭圆的几何性质 离心率问题 属于中档题 本题的切入点就 在原点上 利用平行关系 推出点也是中点 从而思路豁然开朗 解析几何的中心思OD 想就是数形结合 善于抓图像的性质 是解好解析几何题的关键所在 特别是小题 离心率 问题是重点题型 主要思路就是想方设法去建立的等或者不等的关系即可 ca 17 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6 页 总 11 页 解析 试题分析 1 命题 p 中式子要表示双曲线 只需 对于命 题 q 直线与抛线有两上不同的公共点 即设直线与抛物线方程组方程组 21ykxk 只需 解出两个不等式 组 中 k 的范围 再求出交集 试题解析 命题真 则 解得或 命题为真 由题意 设直线 的方程为 即 联立方程组 整理得 要使得直线与抛物线有两个公共点 需满足 解得且 若是真命题 则 所以的取值范围为 18 1 2 2 2 1 4 x y 解析 试题分析 1 由已知 先确定 的值 进而求出 可得椭圆的标准方程 2 由已知可得双曲线焦点在 轴上且 将点代入双曲线方程 可求出 即得双曲线的标准方程 试题解析 1 由椭圆的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 4 得 即 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 7 页 总 11 页 2 试题分析 由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为 代入点 22 1 4 xy 得 所以双曲线方程为 4 31 2 2 1 4 x y 考点 双曲线方程及性质 19 1 2 22 1 36 xy 16 3 5 解析 试题分析 1 由椭圆过点 0 得 a 再由离心率求 c 最后根据勾股数求3 b 2 先根据点斜式写出直线 l 方程 再与双曲线联立方程组 消 y 得关于 x 的一元二次 方程 结合韦达定理 利用弦长公式求AB的长 试题解析 1 因为双曲线C 的离心率为 点 0 是双曲线的一 22 22 1 xy ab 33 个顶点 所以 即 2 经过双曲线右焦点 F2作倾斜角3 3 6acb 22 1 36 xy 为 30 的直线 l 与双曲线联立方程组消 y 得 3 3 3 yx 由弦长公式解得 2 12 9 56270 3 5 xxxx 12 1 1 3 ABxx 16 3 5 点睛 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中 应熟练地利用根与系数关系 设而不求法计算弦长 涉及垂直关系时 也往往利用根与系数关系 设而不求法简化运算 涉及过焦点的弦的问题 可考虑用圆锥 曲线的定义求解 涉及中点弦问题往往利用点差法 20 1 2 存在点 2 4C xy 6 9 6 9MM 解析 试题分析 1 运用抛物线的定义建立方程求出 2 借助题12 2 p 2p 设条件建立方程 再运用根与系数的关系得到方程MAMB 1020 160 xxxx 通过对判别式的研究发现有解 即所设的点存在 2 00 4120 xkx 解 1 由抛物线的定义可得 故抛物线方程为 122 2 p p 2 4xy 2 假设存在满足题设条件的点 则设直线代入可得 00 M xy 1AB ykx 2 4xy 设 则 因为 2 440 xkx 1122 A x yB xy 1212 4 4xxk x x 则由 10102020 MAxxyyMBxxyy MAMB 可得 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8 页 总 11 页 即 10201020 0 xxxxyyyy 也即 所以 10201020 1 10 16 xxxxxxxx 1020 160 xxxx 由于判别式 此时 2 00 4120 xkx 2 164816 430k 00 2 6xx 则存在点 即存在点满足题设 2 1 6 9MM 00 M xy 21 1 2 证明见解析 22 1 43 xy 解析 试题分析 1 由题意得到 a b 的值即可确定椭圆方程 2 设出直线方程 联立直线与椭圆的方程 结合韦达定理分类讨论即可证得题 中的结论 试题解析 1 由题意可得 则椭圆的方程为 22 4 3ab C 22 1 43 xy 2 设 直线方程为 1122 E x yF xyEFykxb 得 22 1 43 xy ykxb 222 3484120kxkbxb 由韦达定理 12 2 8 34 kb xx k 2 12 2 412 34 b x x k 由题意可知 即 12 12 33 22 2 11 yy xx 12 12 33 22 2 11 kxbkxb xx 122121 33 11211 22 kxbxkxbxxx 即 1212 1 221 20 2 kx xbkxxb 2 22 41218 221 20 34234 bkb kbkb kk 22 1 2241281 2340 2 kbbkkbbk 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 9 页 总 11 页 22 824274640bkkbbk 22 824274640bkkbbk 22 846424270kkbkk 2 84629230kkbkk 4292230bkbk 或 9 24 k b 3 2 bk 当时 直线方程恒过定点 9 24 k b EF 919 2424 k ykxk x 19 24 当时 直线方程恒过定点与点重合 3 2 bk EF 33 1 22 ykxkk x 3 1 2 A 不合题意舍去 综上所述 直线恒过定点 EF 19 24 点睛 1 解答直线与椭圆的题目时 时常把两个曲线的方程联立 消去 x 或 y 建 立一元二次方程 然后借助根与系数的关系 并结合题设条件建立有关参变量 的等量关系 2 涉及到直线方程的设法时 务必考虑全面 不要忽略直线斜率为 0 或不存在 等特殊情形 22 1 2 当 即时 面积取到最大值 1 2 2 1 4 x y 3t 2 2 k MON 解析 试题分析 利用离心率可以得出的关系 化为的关系 再利用的 a c a bABF 面积列出的方程 借助解出 写出椭圆方程 联立方程组 化为关 a b c 222 abc a b 于的一元二次方程 利用设而不求思想 借助根与系数关系 利用弦长公式表示出弦长x 写出面积 利用换元法和配方法求出最值 MN 试题解析 1 由题意 椭圆的焦点在轴上 设椭圆标准方程为 则Cx 22 22 1 0 xy ab ab