沪科版八年级下册四边形探究性精选题

第 1 页 共 20 页 沪科版八年级下册四边形沪科版八年级下册四边形 探究性探究性 精选题精选题 1 已知 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 点 B 是 y 轴正半轴上一动点 以 5 0 OB OA 为边作矩形 OBCA 点 E H 分别在边 BC 和边 OA 上 将沿着 OE 对折 使点 B 落在 OC 上的 F 点处 将沿着 CH 对折 使点 A 落在 OC 上的 G 点处 求证 四边形 OECH 是平行四边形 1 当点 B 运动到使得点 F G 重合时 求点 B 的坐标 并判断四边形 OECH 是什 2 么四边形 说明理由 当点 B 运动到使得点 F G 将对角线 OC 三等分时 求点 B 的坐标 3 2 如图 1 正方形 ABCD 中 O 是正方形对角线的交点 点 E 和点 F 是 AD 边和 CD 边上的两点 如果 求证 1 如图 2 点 M 为 EF 的中点 求证 2 第 2 页 共 20 页 3 如图 正方形 ABCD 边长为 6 菱形 EFGH 的三个顶点 E G H 分别在正方形 ABCD 的边 AB CD DA 上 连接 CF 求证 1 当时 求证 菱形 EFGH 为正方形 2 2 设 的面积为 y 求 y 与 x 之 3 2 间的函数解析式 并直接写出 x 的取值范围 求 y 的最小值 4 4 以四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形 直角顶点分别为 E F G H 顺次连接这四个点 得四边形 EFGH 如图 1 当四边形 ABCD 为正方形时 我们发现四边形 EFGH 是正方形 如图 1 2 当四边形 ABCD 为矩形时 请判断 四边形 EFGH 的形状 不要求证明 如图 3 当四边形 ABCD 为一般平行四边形时 设 2 0 90 试用含 的代数式表示 求证 四边形 EFGH 是什么四边形 并说明理由 第 3 页 共 20 页 5 在中 点 D 在 BC 边所在的直线上 过点 D 作交直线 AB 于 E 交直线 AC 于点 F 当点 D 在边 BC 上时 如图 此时 DE DF AC 满足 当点 D 在 BC 的延长线或方向延长线上时 如图 如图 此时 1 DE DF AC 分别存在怎样的数量关系 请写出来 并选择一个加以证明 若 则 2 6 4 第 4 页 共 20 页 6 如图 ABC 中 点 O 是边 AC 上一个动点 过 O 作直线 MN BC 设 MN 交 ACB 的平分线于点 E 交 ACB 的外角平分线于点 F 求证 OEOF 1 若 CE CF 求 OC 的长 2 8 6 当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时 四边形 AECF 是矩形 并说明理由 3 7 如图 1 在中 是沿 BC 方向平移得到 5 6 的 连接 AE AC 和 BE 相交于点 O 判断四边形 ABCE 是怎样的四边形 说明理由 1 如图 2 P 是线段 BC 上一动点 图 不与点 B C 重合 连接 PO 并延长交 2 2 线段 AE 于点 Q 垂足为点四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而 发生变化 若变化 请说明理由 若不变 求出四边形 PQED 的面积 第 5 页 共 20 页 8 如图 中 点 O 为 AC 边上的一个动点 过点 O 作直线 设 MN 交A 的外角平分线 CF 于点 F 交内角平分线 CE 于 E 试说明 1 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形并证明你的结论 2 若 AC 边上存在点 O 使四边形 AECF 是正方形 猜想的形状并证明你 3 的结论 9 如图 在中 F 90 6 10 是 BC 边上一点 在图中画出以 AF 为对角线的平行四边形 ADFE 使 1 D E 分别在 AB 和 AC 边上 叙述如何得到 D E 点即 可 不需要用尺规作图 如果 AF 正好平分 判断此时四边形 ADFE 的形状 并说明理由 2 求出中四边形 ADFE 的周长 3 2 10 已知 矩形 ABCD 中 AC 的垂直平分线 EF 分别交 4 8 AD BC 与点 E F 垂足为 O 第 6 页 共 20 页 如图 1 连接 AF 求证四边形 AFCE 为菱形 并求 AF 的长 1 如图 2 动点 P Q 分别从 A C 两点同时出发 沿和各边匀速 2 运动一周 即点 P 自停止 点 Q 自停止 在运动过程中 已知点 P 的速度为每秒 5cm 点 Q 的速度为每秒 4cm 运动时间为 t 秒 当 A C P Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时 求 t 的值 11 如图 1 在中 直线 MN 经过点 C 且 90 于 D 于 E 说明 1 说明 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量 3 关系 请写出这个等量关系 并加以说明 第 7 页 共 20 页 12 已知 点 O 到的两边 AB AC 所在直线的距离相等 且 如图 1 若点 O 在边 BC 上 求证 1 如图 2 若点 O 在的内部 求证 2 若点 O 在的外部 成立吗 请画出图表示 3 第 8 页 共 20 页 答案和解析答案和解析 答案答案 1 证明 如图 1 1 四边形 OBCA 为矩形 又沿着 OE 对折 使点 B 落在 OC 上的 F 点处 沿着 CH 对折 使点 A 落在 OC 上的 G 点处 2 2 又 四边形 OECH 是平行四边形 解 点 B 的坐标是 四边形 OECH 是菱形 理由如下 2 0 5 3 3 如图 2 沿着 OE 对折 使点 B 落在 OC 上的 F 点处 沿着 CH 对折 使点 A 落在 OC 上的 G 点处 90 90 点 F G 重合 又四边形 OECH 是平行四边形 平行四边形 OECH 是菱形 又 30 又点 A 的坐标是 5 0 5 5 在中 3 3 5 3 3 点 B 的坐标是 0 5 3 3 解 当点 F 在点 O G 之间时 如图 3 3 沿着 OE 对折 使点 B 落在 OC 上的 F 点处 沿着 CH 对折 使点 A 落在 OC 上的 G 点处 而 第 9 页 共 20 页 点 F G 将对角线 OC 三等分 设 则 3 在中 5 2 2 2 解得 2 52 3 2 5 4 2 5 2 4 点 B 的坐标是 0 5 4 2 当点 G 在 O F 之间时 如图 4 同理可得 设 则 2 在中 5 2 2 2 解得 2 2 52 3 2 5 2 5 点 B 的坐标是 0 2 5 2 证明 如图 1 1 过 O 作于 M 于 N 则 90 90 四边形 ABCD 是正方形 90 360 90 3 90 为正方形 ABCD 的对角线的交点 90 90 90 在和中 第 10 页 共 20 页 如图 2 2 过 O 作于 N 于 P 则 90 所以 90 为正方形 ABCD 的对角线交点 P N 分别为 AD CD 的中点 在和中 90 90 M 为 EF 的中点 90 1 2 1 2 3 证明 如图 1 连接 GE 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 2 90 四边形 EFGH 是菱形 在和中 又 90 第 11 页 共 20 页 90 90 菱形 EFGH 为正方形 解 作 交 DC 的延长线于 M 3 在和中 2 6 1 2 1 2 2 6 6 0 2 6 4 1 0 随 x 的增大而减小 时 y 的最小值是 2 66 2 6 4 解 四边形 EFGH 的形状是正方形 1 解 2 90 在平行四边形 ABCD 中 180 180 和是等腰直角三角形 45 360 360 45 45 180 90 答 用含 的代数式表示是 90 证明 和是等腰直角三角形 2 2 2 2 在平行四边形 ABCD 中 和是等腰直角三角形 45 90 是等腰直角三角形 答 四边形 EFGH 是正方形 理由是 由同理可得 第 12 页 共 20 页 四边形 EFGH 是菱形 90 90 四边形 EFGH 是正方形 5 2 6 解 证明 如图 交的平分线于点 E 交的外角平分线于点 1 F 2 5 4 6 1 53 6 1 2 3 4 2 2 5 4 6 2 4 5 6 90 8 6 82 62 10 5 当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时 四边形 AECF 是矩形 理由如下 3 当 O 为 AC 的中点时 四边形 AECF 是平行四边形 90 平行四边形 AECF 是矩形 第 13 页 共 20 页 7 解 四边形 ABCE 是菱形 证明如下 1 是由沿 BC 平移得到的 且 四边形 ABCE 是平行四边形 分 2 又 四边形 ABCE 是菱形分 4 由菱形的对称性知 2 分 7 是由平移得到的 6 又 分 8 四边形 四边形 四边形 分 1 2 1 2 8 6 24 10 8 解 平分 1 同理 当点 O 运动到 AC 中点处时 四边形 AECF 是矩形 2 如图 四边形 AECF 为平行四边形 平分 1 2 同理 1 2 1 2 1 2 180 90 四边形 AECF 是矩形 是直角三角形 3 四边形 AECF 是正方形 故 90 第 14 页 共 20 页 90 是直角三角形 9 解 如图 分别过点 F 作交 AB 于点 D 1 作交 AC 于点 E 如果 AF 正好平分 则四边形 ADFE 为菱形 2 理由 平分 又四边形 ADFE 为平行四边形 四边形 ADFE 为菱形 过点 F 作于点 G 3 则 6 6 10 8 4 设 则 8 由 2 2 2 可得 42 2 8 2 解得 即 3 3 又设 则 6 由 2 2 2 可得 6 2 32 2 解得 9 4 则菱形 ADFE 的周长为 4 4 9 4 9 10 证明 四边形 ABCD 是矩形 1 的垂直平分线 EF 在和中 第 15 页 共 20 页 四边形 AFCE 是平行四边形 四边形 AFCE 是菱形 设 则 8 四边形 ABCD 是矩形 90 在中 由勾股定理得 42 8 2 2 解得 即 5 5 显然当 P 点在 AF 上时 Q 点在 CD 上 此时 A C P Q 四点不可能构成平行四 2 边形 同理 P 点在 AB 上时 Q 点在 DE 或 CE 上或 P 在 BF Q 在 CD 时不构成平行四边形 也不能构成平行四边形 因此只有当 P 点在 BF 上 Q 点在 ED 上时 才能构成平行四边 形 以 A C P Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时 点 P 的速度为每秒 5cm 点 Q 的速度为每秒 4cm 运动时间为 t 秒 5 12 4 5 12 4 解得 4 3 以 A C P Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时 秒 4 3 11 证明 1 90 90 90 90 在和中 证明 由知 2 1 第 16 页 共 20 页 3 证明 90 90 90 90 在和中 12 解 证明 过点 O 分别作于 E 于 F 1 由题意知 在和中 从而 证明 过点 O 分别作于 E 于 F 2 由题意知 90 在和中 又 第 17 页 共 20 页 解 不一定成立 当的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时 3 否则如示例图 解析解析 1 如图 1 根据矩形的性质得 再利用平行线的性质得 1 然后根据折叠的性质得到 所以 2 2 根据平行线的判定定理得 加上 于是可根据平行四 边形的判定方法得四边形 OECH 是平行四边形 如图 2 先根据折叠的性质得 由点 2 90 90 F G 重合得到 根据菱形的判定方法得到平行四边形 OECH 是菱形 则 所以 而 根据三角形内角和定理可计算出 在中 根据含 30 度的直角三角形三边的关 30 系得 于是得到点 B 的坐标是 3 3 5 3 3 0 5 3 3 分类讨论 当点 F 在点 O G 之间时 如图 3 根据折叠的性质得 3 则 所以 设 则 在 3 中 根据勾股定理得 解得 则点 B 的坐标是 2 52 3 2 5 4 2 当点 G 在 O F 之间时 如图 4 同理可得 设 则 0 5 4 2 在中 根据勾股定理得 解得 则 2 2 2 52 3 2 5 所以点 B 的坐标是 2 5 0 2 5 本题考查了四边形的综合题 熟练掌握矩形的性质 平行四边形和菱形的判定方法和 折叠的性质 理解坐标与图形的性质 会运用勾股定理进行几何计算 能运用分类讨 论的思想解决数学问题 2 过 O 作于 M 于 N 求出 求出 1 90 根据 ASA 推出 根据全等三角形的性质得出即可 过 O 作于 N 于 P 求出 求出 2 90 根据 SAS 推出 根据全等得出 求出 根据直角三角形斜边上的中线性质得出即可 90 本题考查了全等三角形的性质和判定 正方形的性质 直角三角形斜边上的中线性质 的应用 能构造全等三角形是解此题的关键 3 连接 GE 根据正方形的性质和平行线的性质得到 根据菱形的性 1 质和平行线的性质得到 解答即可 第 18 页 共 20 页 证明 得到 证明 根据正方形 2 90 的判定定理证明 作 证明 得到 根据三角形的面积公 3 2 式得到解析式 根据一次函数的性质 当时 y 随 x 的增大而减小解答即可 4 0 本题考查的是正方形的性质 菱形的性质 全等三角形的判定和性质 一次函数解析 式的求法和一次函数的性质 正确作出辅助线 灵活运用相关的性质定理和判定定理 是解题的关键 4 根据等腰直角三角形的性质得到 求出四边形是矩形 1 90 根据勾股定理求出 2 2 2 2 2 2 推出 根据正方形的判定推出四边形 EFGH 是 2 2 正方形即可 根据平行四边形的性质得出 根据和是等腰直 2 180 角三角形 得到 求出即可 45 根据和是等腰直角三角形 得出 平行四边形 2 2 2 2 的性质得出 求出 根据 SAS 证 90 根据全等三角形的性质即可得出 与证明过程类似求出 推出 得出菱形 EFGH 证 求出 即可推出结论 90 90 本题主要考查对正方形的判定 等腰直角三角形的性质 菱形的判定和性质 全等三 角形的性质和判定 平行线的性质等知识点的理解和掌握 综合运用性质进行推理是 解此题的关键 5 解 图中 1 证明 图结论 四边形 AEDF 是平行四边形 又 同理可证出图结论 当如图的情况 2 6 4 2 第 19 页 共 20 页 当如图的情况 舍去 4 6 2 故答案为 2 证明四边形 AFDE 是平行四边形 且和是等腰三角形即可证得 1 根据中的结论代入数据直接求解 2 1 本题考查了平行线的性质 等腰三角形的性质依据平行线的判定及性质 解题的关键 是 证出 代入数据直接求解 本题属于中档题 难度不大 1 2 解决该题型题目时 根据平行四边形的判定即性质找出相等的边角关系是关键 6 本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的性质 勾股定理 直角三角形斜边上 的中线性质 平行四边形的判定和矩形的判定等知识 根据已知得出是解 90 题关键 根据平行线的性质以及角平分线的性质得出 进而得出答案 1 1 2 3 4 根据已知得出 进而利用勾股定理求出 EF 的长 即可根 2 2 4 5 6 90 据直角三角形斜边上的中线性质得出 CO 的长 根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可 3 7 利用平移的知识可得四边形 ABCE 是平行四边形 进而根据可得该四边 1 形为菱形 利用证明三角形全等可得四边形 PQED 的面积为三角形 BED 的面积 所以不会改 2 变 进而利用三角形的面积公式求解即可 考查菱形的判定及相关性质 把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是 解决本题的关键 8 根据 CE 平分 找到相等的角 即 再根据等边 1 对等角得 同理 可得 利用矩形的判定解答 即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 2 利用已知条件及正方形的性质解答 3 本题主要考查利用平行线的性质 等角对等边 证明出结论 再利用结论和矩 1 1 形的判定证明结论 再对进行判断 解答时不仅