双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程 第一课时 双曲线及其标准方程 第一课时 教学目标 教学目标 1 掌握双曲线的定义 能说出其焦点 焦距的意义 2 能根据定义 按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程 熟练掌握两类标准方程 3 能解决较简单的求双曲线标准方程的问题 4 培养学生观察 分析 归纳和逻辑推理能力 教学重点 教学重点 双曲线的定义和标准方程 教学难点 教学难点 双曲线标准方程的推导过程 教学过程 教学过程 一 创设情景 引入新课 一 创设情景 引入新课 师 我们先来思考这样一个问题 打开几何画板 已知定点和 定圆的圆心为 0 1 1 F 0 1 2 F 1 C 且半径为 动圆过定点 且与定圆相切 1 Fr 2 C 2 F 1 若 试求动圆圆心的轨迹 2 若 试求动圆圆心的轨迹 4 r1 r 教师结合几何画板演示分析 师 当时 我们得到的轨迹是什么 4 r 生 是椭圆 师 为什么 生 因为当时动圆内切于定圆 所以两个圆的圆心距满足 移项后可4 r 2 C 1 C 1 MF 21 4MFMF 以得到 满足椭圆的定义 所以得到的轨迹是一个以 为定点 为定长的椭圆 4 21 MFMF 1 F 2 F4 师 很好 那么 当呢 此时动圆与定圆相切有几种情况 1 r 2 C 1 C 生 有两种情况 内切和外切 师 我们先来考察两圆外切时的情况 演示 我们得到的轨迹满足什么条件 生 同时教师板书 由于两圆外切 所以两个圆的圆心距满足 1 MF 移项后可以得到 教师演示轨迹 21 1MFMF 1 21 MFMF 师 我们再来考察两圆内切时的情况 演示 我们得到的轨迹又满足什么条件 生 同时教师板书 由于两圆内切 所以两个圆的圆心距满足 1 MF 移项后可以得到 教师演示轨迹 1 21 MFMF1 21 MFMF 师 同时演示两种情况下的轨迹 我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足 即 圆心的轨迹我们称之为双曲线 1 21 MFMF1 21 MFMF 二 新课讲解 二 新课讲解 1 1 定义给出 定义给出 师 今天我们来学习双曲线 同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义 生 双曲线是到平面上两个定点 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹 这两个定点叫 1 F 2 F 做双曲线的焦点 两焦点的距离叫做双曲线的焦距 师 由椭圆的定义 一般情况下 我们设该常数为 2a 那么什么情况下表示的是双曲线的右支 什么情况下表示的是双曲线的左支 生 当时 表示的是双曲线的右支 当时 表示的是双曲线的左aMFMF2 21 aMFMF2 21 支 2 2 定义探究 定义探究 教师引导学生分情况讨论 师 这个常数 2a 有没有限制条件 生 有 这个常数 2a 要比焦距小 21F F 师 很好 为什么要有这个限制条件呢 其他情况会是怎样的呢 我们一起来分析一下 1 若 a 0 则有即 此时轨迹为线段的中垂线 0 21 MFMF 21 MFMF 21F F 2 若 2a 则有 此时轨迹为直线上除去线段中间部分 以 21F F 2121 FFMFMF 21F F 21F F 1 F 为端点的两条射线 2 F 3 若 2a 则根据三角形的性质 轨迹不存在 21F F 3 3 双曲线标准方程的推导过程 双曲线标准方程的推导过程 师 我们学过求曲线的方程的一般步骤 现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程 师生互 动 共同推导之 第一步 建立直角坐标系 第二步 设点 设 M x y 焦点分别为和 M 到焦点的距离差的绝对值等于 0 1 cF 0 2 cF 2a 第三步 启发学生根据定义写出 M 点的轨迹构成的点集 aMFMFMP2 21 第四步 建立方程 aycxycx2 2222 第五步 化简 得到 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 教师强调 教师强调 我们得到了焦点在 x 轴上 且焦点是和的双曲线标准方程为 0 1 cF 0 2 cF 这里 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 222 bac 师 那么如果焦点在 y 轴上呢 学生练习 生 练习后 此时的标准方程应该是 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 4 4 双曲线标准方程的探讨 双曲线标准方程的探讨 师 刚才我们共同推导了双曲线的标准方程 请同学想一下 双曲线标准方程中字母 a b c 的 关系如何 是不是 ba 生 a b c 满足等式 所以有 可以得到 但不能判断 222 bac 222 bca cba ba 师 很好 我们在求双曲线标准方程过程中还发现 确定焦点对求双曲线方程很重要 那么如何 根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢 生 由于焦点在 x 轴和 y 轴上标准方程分别为和 我们发现焦点所在轴相关1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 的未知数的分母总是 a 所以可以由 a 来判定 师 很好 如果我们知道的方程是 那么你如何寻找 a 1 23 22 yx 生 因为 a 所在的这一项未知数的系数是正的 所以只要找正的系数就可以了 师 如果方程是呢 1 23 22 yx 生 先化成标准方程 师 请同学总结一下 生 化标准 找正号 5 5 运用新知 运用新知 练习练习 已知方程表示双曲线 则 m 的取值范围是 此时双曲线的焦点坐1 19 22 m yx 标是 焦距是 变式变式 若将 9 改成 则 m 的取值范围是 m 2 例例 1 1 已知双曲线两个焦点的坐标为 双曲线上一点 P 到 的距离的差的 0 5 1 F 0 5 2 F 1 F 2 F 绝对值等于 6 求双曲线的标准方程 解 因为双曲线的焦点再 x 轴上 所以设它的标准方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 因为 2a 6 2c 10 所以 a 3 c 5 所以 1635 222 b 所以所求双曲线的标准方程为 1 169 22 yx 变式变式 已知两个定点的坐标为 动点 P 到 的距离的差等于 6 求 P 点的 0 5 1 F 0 5 2 F 1 F 2 F 轨迹方程 解 因为 所以 P 的轨迹是双曲线的右支 设双曲线标准方程为6 21 PFPF 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 因为 2a 6 2c 10 所以 a 3 c 5 所以 1635 222 b 所以所求 P 点的轨迹方程为 3 1 169 22 x yx 例例 2 2 已知双曲线的焦点在 y 轴上 并且双曲线上两点 的坐标分别为 求双 1 P 2 P 5 4 9 24 3 曲线的标准方程 解 因为双曲线的焦点在 y 轴上 所以设所求双曲线的标准方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 因为点 在双曲线上 所以点 的坐标适合方程 代入得 1 P 2 P 1 P 2 P 可解得 1 4 9 25 1 3 24 2 2 2 2 2 2 2 ba ba 9 16 2 2 b a 所以所求双曲线得标准方程为 1 916 22 xy 变式变式 已知双曲线的焦点在坐标轴上 并且双曲线上两点 的坐标分别为 1 P 2 P 5 4 9 24 3 求双曲线的标准方程 分情况讨论 练习练习 1 一边两个端点是和 顶点 A 满足 求 A 的轨迹方ABC 6 0 B 6 0 C8 ACAB 程 2 一边的两个端点是和 另两边所在直线的斜率之积是 求顶点ABC 6 0 B 6 0 C 9 4 A 的轨迹 三 本课小结 三 本课小结 师 我们总结一下本节课我们学了什么 生 1 双曲线