等差数列前n项和教学设计

等差数列的前等差数列的前 n 项和项和 本节课为人教本节课为人教 A A 版版 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学 必修五必修五 2 3 2 3 节等差数列的前节等差数列的前 n n 项和项和 的的 内容 内容 1 1 课标要求课标要求 普通高中数学课程标准 实验 普通高中数学课程标准 实验 要求探索并掌握等差数列的前要求探索并掌握等差数列的前 n n 项和的公式 项和的公式 二 教学目标二 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 1 1 借助几何图形 通过直观感知 能自觉获得等差数列的前 借助几何图形 通过直观感知 能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路 理解公式项和公式的推导思路 理解公式n 的推导过程 的推导过程 2 2 通过对公式的理解 能用公式解决简单的问题 通过对公式的理解 能用公式解决简单的问题 2 2 过程与方法 过程与方法 1 1 从三角形图案入手 以高斯算法引入 从 从三角形图案入手 以高斯算法引入 从 想一想想一想 试一试试一试 探究探究 主动发现问题 得 主动发现问题 得 到公式推导的思路 并能自觉地得到解决办法 能合情推理 加深认识 正确运用 到公式推导的思路 并能自觉地得到解决办法 能合情推理 加深认识 正确运用 2 2 从高斯算法到倒序相加法 从特殊数列到一般数列求和 从公式的认识到运用 体验探索的 从高斯算法到倒序相加法 从特殊数列到一般数列求和 从公式的认识到运用 体验探索的 精神 并体会其中的数学思想 精神 并体会其中的数学思想 3 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过亲身经历数学探究的过程 体验创造的激情 享受成功的喜悦 感受数学的魅力 培养良好通过亲身经历数学探究的过程 体验创造的激情 享受成功的喜悦 感受数学的魅力 培养良好 的思维习惯 以及为科学勇于创新 不懈努力的探索精神 的思维习惯 以及为科学勇于创新 不懈努力的探索精神 三 教学重 难点三 教学重 难点 重点 探索并掌握等差数列的前重点 探索并掌握等差数列的前 n n 项和公式 学会用公式解决一些实际问题 项和公式 学会用公式解决一些实际问题 解决方法 从高斯算法入手 再通解决方法 从高斯算法入手 再通过过与形的与形的结结合 得到等差数列前合 得到等差数列前 n 项项和公式 并通和公式 并通过练过练 习习巩固 熟巩固 熟练练公式 公式 难点 等差数列前难点 等差数列前 n n 项和公式推导思路的获得 项和公式推导思路的获得 解决解决办办法法 以三角形以三角形图图案入手 得自高斯算法的启案入手 得自高斯算法的启发发 设计设计一个一个 试试一一试试 借助几何 借助几何图图形形 的的变变化得到化得到 倒倒 的思路 的思路 4 4 学情分析学情分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质 也对高斯算法有一定的了解 这都在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质 也对高斯算法有一定的了解 这都 为本节课学习等差数列前为本节课学习等差数列前 n n 项和公式以及倒序相加法的教学提供了帮助 同时学生已有了函数知识 因项和公式以及倒序相加法的教学提供了帮助 同时学生已有了函数知识 因 此在教学中可适当渗透函数思想 高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离 如何从首尾配对此在教学中可适当渗透函数思想 高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离 如何从首尾配对 法引出倒序相加法 这是学生学习的一个难点 法引出倒序相加法 这是学生学习的一个难点 5 5 教材分析教材分析 以下是对人教以下是对人教 A A 版 人教版 人教 B B 版 北师大版 苏教版的教材分析 版 北师大版 苏教版的教材分析 人教人教 A A 版 本节是必修五第二章第三节的内容 在本章的前两节学习了数列和等差数列 都为本节版 本节是必修五第二章第三节的内容 在本章的前两节学习了数列和等差数列 都为本节 课的学习提供了良好的基础 而本节是从高斯对课的学习提供了良好的基础 而本节是从高斯对 1 2 1001 2 100 的和的求解方法引入 然后总结高斯算法的和的求解方法引入 然后总结高斯算法 的妙处 得出一般等差数列前的妙处 得出一般等差数列前 n n 项和的公式 本节课内容的设置从特殊到一般 由高斯算法启发得出公项和的公式 本节课内容的设置从特殊到一般 由高斯算法启发得出公 式 有利于学生更好地掌握公式 式 有利于学生更好地掌握公式 人教人教 B B 版 本节是必修五第二章第二节第二课时的内容 本节课引入时所用的是具体的实例 从版 本节是必修五第二章第二节第二课时的内容 本节课引入时所用的是具体的实例 从 形形 的方面让学生更好地理解得出等差数列前的方面让学生更好地理解得出等差数列前 n n 项和公式的方法 可以让学生更好地理解本节课的内项和公式的方法 可以让学生更好地理解本节课的内 容 容 北师大版 本节是必修五第二章第二节第二课时的内容 本书中在引入本节课时通过具体事例 然北师大版 本节是必修五第二章第二节第二课时的内容 本书中在引入本节课时通过具体事例 然 后再通过高斯算法得出了主要内容 给出公式后又通过大量的练习来巩固 并且拓展给出了很多变形 后再通过高斯算法得出了主要内容 给出公式后又通过大量的练习来巩固 并且拓展给出了很多变形 使学生的思维更开阔 也增加了学生学习本节课的兴趣 使学生的思维更开阔 也增加了学生学习本节课的兴趣 苏教版 本节是必修五第十二章第二节第三课时的内容 本书的引入也是通过钢管的摆放然后与苏教版 本节是必修五第十二章第二节第三课时的内容 本书的引入也是通过钢管的摆放然后与 形形 的结合推出公式 但是在讲解的时候必须把握速度 才能使学生更好地理解 后面又通过大量的的结合推出公式 但是在讲解的时候必须把握速度 才能使学生更好地理解 后面又通过大量的 练习使学生更好地理解公式 练习使学生更好地理解公式 6 6 教学方法教学方法 本节课主要采用探究式情境教学法 讲练结合法来进行教学 在课程引入的时候 通过创设情境 本节课主要采用探究式情境教学法 讲练结合法来进行教学 在课程引入的时候 通过创设情境 吸引学生的兴趣 让学生知道学习本节课的内容是非常重要的 为后面的学习奠定良好的感情基础 学吸引学生的兴趣 让学生知道学习本节课的内容是非常重要的 为后面的学习奠定良好的感情基础 学 生通过对情境的探索 找出解决情境问题的方法 在学生探究出答案回答后 如果不对 应给予鼓励 生通过对情境的探索 找出解决情境问题的方法 在学生探究出答案回答后 如果不对 应给予鼓励 当回答正确时 应给予肯定表扬 保护并发展学生的学习兴趣 引导学生向更高的思维层次发展 在得当回答正确时 应给予肯定表扬 保护并发展学生的学习兴趣 引导学生向更高的思维层次发展 在得 出公式之后 使用讲练结合法使学生更好的掌握理解公式 并能熟练运用公式 出公式之后 使用讲练结合法使学生更好的掌握理解公式 并能熟练运用公式 7 7 教学理念教学理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展 让学生利用自己原有的认知结构中相关的知识让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展 让学生利用自己原有的认知结构中相关的知识 与经验 自主地教师引导下促进对新知识的建构 因为建构主义教学观认为 教学不能无视学习者的已与经验 自主地教师引导下促进对新知识的建构 因为建构主义教学观认为 教学不能无视学习者的已 有知识经验 简单强硬地从外部对学习者实施知识的有知识经验 简单强硬地从外部对学习者实施知识的 填与灌填与灌 而是应当把学习者原有的知识经验作为 而是应当把学习者原有的知识经验作为 新知识的生长点 引导学习者从原有的知识经验 生长新的知识经验 教师应当努力调动学生学习的积新知识的生长点 引导学习者从原有的知识经验 生长新的知识经验 教师应当努力调动学生学习的积 极性 教师应善于引起学生观念上的不平衡 教师应鼓励学生探索问题 在本节课引入部分 通过印度极性 教师应善于引起学生观念上的不平衡 教师应鼓励学生探索问题 在本节课引入部分 通过印度 泰姬陵充分调动学生的学习兴趣 并且学生在初中的学习中对高斯算法有了一定的了解 这样就引起了泰姬陵充分调动学生的学习兴趣 并且学生在初中的学习中对高斯算法有了一定的了解 这样就引起了 学生学习的积极性 从而更好掌握本节课的内容 学生学习的积极性 从而更好掌握本节课的内容 八 教学过程八 教学过程 一 一 情境引入 情境引入 1 1 印度泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿 印度泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿 成为世界八大奇迹之一 陵寝以宝石镶成为世界八大奇迹之一 陵寝以宝石镶 饰 图案之细致令人叫绝 饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有 100100 层 见图 层 见图 奢靡之程度 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 即即 1 2 3 100 1 2 3 100 少年高斯是如何快速地得出了结论的呢 少年高斯是如何快速地得出了结论的呢 高斯用的是首尾配对的方法 高斯用的是首尾配对的方法 特点 特点 首项与末项的和 首项与末项的和 1 1 100100 101101 第第 2 2 项与倒数第项与倒数第 2 2 项的和 项的和 2 2 9999 101101 第第 3 3 项与倒数第项与倒数第 3 3 项的和 项的和 3 3 9898 101101 第第 5050 项与倒数第项与倒数第 5050 项的和 项的和 5050 5151 101101 于是所求的和是 于是所求的和是 101 50101 50 50505050 S S100 100 1 2 3 1 2 3 100 100 101 50101 50 50505050 2 2 试一试 假如再给你同样多的珠宝 在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢 试一试 假如再给你同样多的珠宝 在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢 把把 全等三角形全等三角形 倒置 与原图构成平行四边形 平行四边形中的倒置 与原图构成平行四边形 平行四边形中的 每行宝石的个数均为每行宝石的个数均为 101101 个 共个 共 100100 行 有什么启发 行 有什么启发 1 1 2 2 3 3 98 98 99 99 100 100 100 100 9999 9898 3 3 2 2 1 1 1 2 3 100 1 2 3 100 100 1100 1 100 2 5050 100 2 5050 设计设计意意图图 以三角形 以三角形图图案开始 高斯算法引入 激案开始 高斯算法引入 激发发学生学生 的的兴兴趣 因趣 因为为高斯算法与倒序相加法有一段距离 所以高斯算法与倒序相加法有一段距离 所以设计设计 了一个了一个 试试一一试试 假如再 假如再给给你同你同样样多的珠宝 在原多的珠宝 在原图图的基的基础础上你能上你能设计设计出一个什么出一个什么样样的的图图 案呢 目的是想案呢 目的是想让让同学同学们们从从图图形形变变化入手 从感化入手 从感观观上体会上体会 倒倒 的巧妙 启的巧妙 启发发同学的思同学的思维维 为为自然自然过过渡到渡到 倒序相加法倒序相加法 作准作准备备 二 推进新课 巩固练习 二 推进新课 巩固练习 1 1 探究 探究 1 1 求 求 1 1 到到 n n 的正整数之和的正整数之和 即 即 1 1 2 2 3 3 n n n s 123 1 1 2 21 2 1 1 1 1 2 n n n n n snn snnn snnn n n s 2 2 探究 探究 2 2 那么 对于一般的等差数列 又该如何去求它的前 那么 对于一般的等差数列 又该如何去求它的前 n n 项和 项和 即 即 a a1 1 a a2 2 a a3 3 a an n n s 证法证法 1 1 123121 11 21 2 1 aaaaaaaa aaaS aaaS nnnn nnn nn 1 1 2 2 可得 可得 2 2 1nn aanS 2 1n n aan S 证法二 利用定义可得 证法二 利用定义可得 a a1 1 a a2 2 a a3 3 a an n n s d 1n a d2adaa 1111 1 d n 2d dna1 1 d n 2 1na1 d 2 1 nn na1 所以所以 n sd 2 1 nn na1 综上所述 等差数列求和公式为 综上所述 等差数列求和公式为 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 公式公式 n sd 2 1 nn na1 2 1n n aan S 相同点相同点 都需知道都需知道和和 n n 1 a 不同点不同点还需知道还需知道 d d 还需知道还需知道 n a 设计设计意意图图 探究 探究 1 从特殊数列入手 从特殊数列入手 让让学生更好地体会学生更好地体会 倒序相加法倒序相加法 的的优优点 点 看看谁谁算得算得 快快 是是为为了启了启发发同学的思同学的思维维 也是加深倒序相加法的感性 也是加深倒序相加法的感性认识认识 探究 探究 2 公式的推 公式的推导导 要求学生 要求学生 自自觉觉地地应应用用 倒序相加法倒序相加法 3 3 练习 练习 根据下列条件 求相应的等差数列前根据下列条件 求相应的等差数列前 n n 项的和项的和 1 1 a a1 1 4 4 a a8 8 1818 n 8 n 8 a a1 1 14 5 14 5 d 0 7d 0 7 a an n 32 32 20002000 年年 1111 月月 1414 日教育部下发了日教育部下发了 关于在中小学实施关于在中小学实施 校校通校校通 工程的通知工程的通知 该市据此提出了实 该市据此提出了实 2 2 施施 校校通校校通 工程的总目标 从工程的总目标 从 20012001 年起用年起用 1010 年的时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测年的时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测 算 算 20012001 年该市用于年该市用于 校校通校校通 工程的经费为工程的经费为 500500 万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资 金都比上一年增加金都比上一年增加 5050 万元 那么从万元 那么从 20012001 年起的未来年起的未来 1010 年内 该市在年内 该市在 校校通校校通 工程中的总投入是多少 工程中的总投入是多少 设计设