《均匀随机数的产生》教案

均匀随机数的产生均匀随机数的产生 教案教案 教学目标教学目标 1 了解均匀随机数的意义 会利用计算器 计算机 产生均匀随机数 2 会用模拟方法 包括计算器产生随机数进行模拟 估计概率 3 理解用模拟方法估计概率的实质 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题 教学重点教学重点 1 均匀随机数的产生 1 计算器上产生 0 1 的均匀随机数的函数是 RAND 函数 2 Excel 软件产生 0 1 区间上均匀随机数的函数为 rand 2 用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 1 试验模拟的方法 制作两个转盘模型 进行模拟试验 并统计试验结果 2 计算机模拟的方法 用 Excel 软件产生 0 1 区间上均匀随机数进行模拟 注意 操作步骤 3 a b 上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生 0 1 上的均匀随机数 x RAND 然后利用伸缩和平移交 换 x x1 就可以得到 a b 内的均匀随机数 试验的结果是 a b 上的任何一个实数 并且任何一个实数都是等可能的 教学过程教学过程 情境导学 在古典概型中我们可以利用 整数值 随机数来模拟古典概型的问题 那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢 如果能 我们又如何产生随 机数呢 这就是本节课要解决的问题 探究点一 均匀随机数的产生 思考 1 我们常用的是 0 1 上的均匀随机数 如何利用计算器产生 0 1 之间的均 匀随机数 如何利用计算机产生 0 1 之间的均匀随机数 答 用计算器产生 0 1 之间的均匀随机数的方法见教材 用计算机的方法如下 用 Excel 演示 1 选定 A1 格 键入 rand 按 Enter 键 则在此格中的数是随机产生的 0 1 上的均匀随机数 2 选定 A1 格 点击复制 然后选定要产生随机数的格 比如 A2 A100 点击 粘贴 则在 A1 A100 的数都是 0 1 上的均匀随机数 这样我们就很快就得到了 100 个 0 1 之间的均匀随机数 相当于做了 100 次随机试验 思考 2 计算机只能产生 0 1 上的均匀随机数 如果试验的结果是区间 a b 上等 可能出现的任何一个值 则需要产生 a b 上的均匀随机数 对此 你有什么办法解 决 答 首先利用计算器或计算机产生 0 1 上的均匀随机数 X RAND 然后利用伸 缩和平移变换 Y X b a a 计算 Y 的值 则 Y 为 a b 上的均匀随机数 思考 3 利用计算机产生 100 个 2 6 上的均匀随机数 具体如何操作 答 1 在 A1 A100 产生 100 个 0 1 之间的均匀随机数 2 选定 B1 格 键入 A1 例 1 取一根长度为 5 m 的绳子 拉直后在任意位置剪断 用均匀随机模拟方法 估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率有多大 解 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A 1 利用计算器或计算机产生 n 个 0 1 之间的均匀随机数 x RAND 2 作伸缩变换 y x 5 0 转化为 0 5 上的均匀随机数 3 统计出 2 3 内均匀随机数的个数 m 4 则概率 P A 的近似值为 m n 反思与感悟 通过模拟试验求某事件发生的概率 不同于古典概型和几何概型试 验求概率 前者只能得到概率的近似值 后者求得的是准确值 跟踪训练 1 如图所示 向边长为 2 的正方形内投飞镖 用计算机随机模拟这个 试验 求飞镖落在中央边长为 1 的正方形内的概率 解 用计算机随机模拟这个试验 步骤如下 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 RAND b1 RAND 2 经过伸缩平移变换 a a1 0 5 4 b b1 0 5 4 得到两组 2 2 上的均匀随机 数 3 统计出试验总次数 N 落在阴影部分的次数 N1 4 计算频率 fn A 就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值 N1 N 探究点二 随机模拟方法 例 2 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上 6 30 7 30 之间把报纸送到 你家 你父亲离开家去上班的时间在早上 7 00 8 00 之间 如果把 你父亲在离开 家之前能得到报纸 称为事件 A 则事件 A 的概率是多少 思考 1 设 X Y 为 0 1 上的均匀随机数 6 5 X 表示送报人到达你家的时间 7 Y 表示父亲离开家的时间 若事件 A 发生 则 X Y 应满足什么关系 答 7 Y 6 5 X 即 Y X 0 5 思考 2 设送报人到达你家的时间为 x 父亲离开家的时间为 y 若事件 A 发生 则 x y 应满足什么关系 不等式組表示的平面區域如何 答 Error 思考 3 根据几何概型的概率计算公式 事件 A 发生的概率为多少 答 试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为 1 的正方形 面积为 1 图中 的阴影部分面积为 1 所以 P A 1 2 1 2 1 2 7 8 7 8 1 7 8 思考 4 你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件 A 发生的概率吗 答 方法一 随机模拟的方法 做两个只带有分针的圆盘 标上时间 分别旋转 两个圆盘 记下父亲在离家前能得到报纸的次数 则 P A 父亲在离家前能得到报纸的次数 试验的总次数 方法二 用计算机产生随机数模拟试验 X 是 0 1 之间的均匀随机数 Y 也是 0 1 之间的均匀随机数 如果 Y 7 X 6 5 即 Y X 0 5 那么父亲在离开家前能 得到报纸 在计算机上做 M 次试验 查一下 Y X 0 5 的 Y 的个数 如果为 N 则所 求概率为 N M 反思与感悟 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的 区域转化为随机数的范围 用转盘产生随机数 这种方法可以亲自动手操作 但费时 费力 试验次数不可能很大 随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机 数的范围 用计算机产生随机数 可以产生大量的随机数 又可以自动统计试验的结 果 同时可以在短时间内多次重复试验 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻 的认识 跟踪训练 2 在右图的正方形中随机撒一把豆子 计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆 子数之比并以此估计圆周率的值 解 随机撒一把豆子 每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的 落在每个区 域的豆子数与这个区域的面积近似成正比 即圆的面积 正方形的面积 落在圆中的豆 子数 落在正方形中的豆子数 设正方形的边长为 2 则圆半径为 1 所以 4 由于落在 落在圆中的豆子数 落在正方形中的豆子数 每个区域的豆子数是可以数出来的 所以就得到了 的近似值 探究点三 用模拟法估计面积型的几何概率 例 3 利用随机模拟方法计算由 y 1 和 y x2所围成的图形的面积 解 以直线 x 1 x 1 y 0 y 1 为边界作矩形 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 区间的均匀随机数 a1 RAND b1 RAND 2 进行平移和伸缩变换 a 2 a1 0 5 3 数出落在阴影内的样本点数 N1 用几何概型公式计算阴影部分的面积 例如做 1 000 次试验 即 N 1 000 模拟得到 N1 698 所以 P 阴影面积 矩形面积 698 1 000 即阴影面积 S 矩形面积 2 1 396 698 1 000 698 1 000 反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概 率 然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值 解决此类问题时注意两点 一是选 取合适的对应图形 二是由几何概型正确计算概率 跟踪训练 3 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分 y 2 2x x2与 x 轴围成的图形 的面 积 解 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 RAND b1 RAND 2 经过平移和伸缩变换 a a1 N1 N 就是点落在阴影部分的概率的近似值 5 设阴影部分面积为 S 由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为 S 12 S 12 N1 N S 即为阴影部分面积的近似值 12N1 N 当堂测 查疑缺 1 将 0 1 内的均匀随机数转化为 3 4 内的均匀随机数 需要实施的变换为 A a a1 7 B a a1 7 3 C a a1 7 3D a a1 4 答案 C 解析 根据伸缩和平移变换 a a 1 4 3 3 a 1 7 3 2 用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m 其实际概率的大小为 n 则 A m n B m n C m n D m 是 n 的近似值 答案 D 解析 随机摸拟法求其概率 只是对概率的估计 3 在区间 1 1 上随机任取两个数 x y 则满足 x2 y2 的概率为 1 4 答案 16 解析 当 x y 1 1 时 点 x y 构成的区域是一个边长为 2 的正方形 其面积 等于 2 2 4 而满足 x2 y2 的点 x y 构成的区域是一个半径为 的圆的内部 其面 1 4 1 2 积等于 所以所求概率 P 4 4 4 16 4 某汽车站每隔 10 分钟