函数恒成立问题(端点效应)

第 1 页 共 14 页 函数恒成立函数恒成立 专题专题 01 可求最值型可求最值型 基础知识 基础知识 1 不等式 不等式在定义域内恒成立 等价于在定义域内恒成立 等价于 0 xf 0 min xf 2 不等式 不等式在定义域内恒成立 等价于在定义域内恒成立 等价于 0 xf 0 max xf 例 1 重庆文 若对任意的 恒成立 求 的取值范围 0 x 244 23ln12 ccxxxxf c 例 2 函数在区间上恒有 求可以取到的最大1 1ln 1 kxxxxf 1 0 xfk 整数 变式 1 函数 若恒成立 求的取值范 0 ln 42 2 axaxgxxxf 4 xgxxf a 围 变式 2 2012 新课标文 设函数 2 axexf x 求的单调区间 xf 若 为整数 且当时 求的最大值 1 ak0 x01 xxfkxk 第 2 页 共 14 页 变式 3 2012 新课标理 已知函数满足 xf 21 2 1 0 1 xxfefxf x 求的解析式及单调区间 xf 若 求的值 baxxxf 2 2 1 ba 1 专题专题 02 分离变量型分离变量型 基础知识 分离变量的核心思想就是为了简化解题 希望同学通过以下例子有所感悟基础知识 分离变量的核心思想就是为了简化解题 希望同学通过以下例子有所感悟 例 1 2010 天津 函数 对任意 1 2 xxf 4 1 4 2 3 2 mfxfxfm m x fx 恒成立 求实数的取值范围 m 变式 1 2010 安徽 若不等式对一切恒成立 求的取值范围 0 1 22 xxaa 2 0 xa 例 2 若函数在上单调递增 求的取值范围 x axxxf 1 2 2 1 a 变式 2 2012 湖北 若在上是减函数 求的取值范围 2ln 2 1 2 xbxxf 1 b 第 3 页 共 14 页 变式 3 2014 江西 已知函数 若在区间上单调 21 2 Rbxbbxxxf xf 3 1 0 递增 求的取值范围 b 专题专题 03 端点与一次函数 二次函数端点与一次函数 二次函数 第 4 页 共 14 页 基础知识 基础知识 1 研究发现 恒成立 研究发现 恒成立与区间与区间的端点有很深的渊源 首先来看一些恒成立的问的端点有很深的渊源 首先来看一些恒成立的问 题 通过这些常见的例子 我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一题 通过这些常见的例子 我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一 点一点揭开 点一点揭开 2 一次函数的恒成立很简单 如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题 一次函数的恒成立很简单 如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题 那就要尽量转化 那就要尽量转化 例 1 2009 北京 若在上单调递增 求的取值范围 0 kxexf x 1 1 k 引申 我们的习惯思维都是默认字母引申 我们的习惯思维都是默认字母为函数的自变量 而像为函数的自变量 而像这样的字母代表参这样的字母代表参xtma 数 但其实数 但其实这样的字母只是一个代号而已 是人为赋予了其身份 这意这样的字母只是一个代号而已 是人为赋予了其身份 这意tmax 味着自变量和参数的身份并非绝对 若题目需要求解参数的取值范围 在此需要味着自变量和参数的身份并非绝对 若题目需要求解参数的取值范围 在此需要 牢记一点 将待求的变量视为参数 不要受惯性思维的限制而非要将牢记一点 将待求的变量视为参数 不要受惯性思维的限制而非要将视为函数视为函数x 的自变量 这个方法称为的自变量 这个方法称为 变换主元法变换主元法 例 2 2009 福建 已知函数的导函数为若对满足13 3 axxxf 3 axxfxgxf 的一切的值 都有 求实数的取值范围 11 aa0 xgx 例 3 2008 天津 已知函数 若对于任意的 不等式Rbaxb x a xxf 0 2 2 1 a 在上恒成立 求的取值范围 10 xf 4 4 1 b 变式 2008 安徽 设函数 其中为实数 1 1 2 3 3 23 xaxx a xfa 已知函数在处取得极值 求的值 xf1 xa 已知对任意恒成立 求实数的取值范围 1 2 axxxf 0ax 第 5 页 共 14 页 3 对于一次函数或任何单调函数而言 最值必在端点处取得 若函数不单调 对于一次函数或任何单调函数而言 最值必在端点处取得 若函数不单调 那情形又如何呢 设那情形又如何呢 设在在上不单调且恒大于零 那上不单调且恒大于零 那 0 2 acbxaxxf 么么在在上递减 在上递减 在上递增 故上递增 故的最大值也必然在端点的最大值也必然在端点 xf a b 2 2a b xf 处取得 所以对于任何一个函数处取得 所以对于任何一个函数而言 若他在区间上是先减后增 则其最大而言 若他在区间上是先减后增 则其最大 xf 值必在端点处取得 同理 若函数在区间上先增后减 其最小值必在区间端点处值必在端点处取得 同理 若函数在区间上先增后减 其最小值必在区间端点处 取得 具体表达如下 取得 具体表达如下 在在上非正 等价于上非正 等价于 0 2 acbxaxxf 21 x x 0 0 2 1 xf xf 在在上非负 等价于上非负 等价于 0 2 acbxaxxf 21 x x 0 0 2 1 xf xf 例 1 已知函数在区间在区间上单调递减 则上单调递减 则的取值范围是的取值范围是 cbxaxxxf 23 0 1 22 ba 例 2 函数在区间在区间上单调递增 则实数上单调递增 则实数的取值范围是的取值范围是 13 3 1 223 xmmxxxf 2 1m 第 6 页 共 14 页 专题专题 04 端点端点效应效应 基础知识 基础知识 从前面的例子可以看出 将函数恒正 恒负 等价于在区间端点处恒正 恒负 从前面的例子可以看出 将函数恒正 恒负 等价于在区间端点处恒正 恒负 即可 但那只是针对一小部分题 对于大多数情况来说这是不对的 但这不意味即可 但那只是针对一小部分题 对于大多数情况来说这是不对的 但这不意味 着端点就没有任何作用了 着端点就没有任何作用了 例 1 已知函数 当 当时 若函数时 若函数在区间在区间上是单调函上是单调函axxaxxf6 1 3 23 0 a xf 2 1 数 求数 求的取值范围的取值范围 a 第 7 页 共 14 页 例 2 2008 江苏 设函数 若对于总有恒成立 则13 3 xaxxf 1 1 x0 xf a 说明说明 在例在例 1 和例和例 2 中 都是事先考虑函数在端点的情形 虽然通过端点不能得到最终中 都是事先考虑函数在端点的情形 虽然通过端点不能得到最终 结果 但例结果 但例 1 通过端点可以不必考虑单增情形 例通过端点可以不必考虑单增情形 例 2 通过端点可以缩小通过端点可以缩小的范围 的范围 a 我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为 端点效应端点效应 函数在端点处的取值有以下三种情形 函数在端点处的取值有以下三种情形 1 在区间在区间的端点的端点和和处均有定义且处均有定义且 xf ba ab 0 0 bf af 2 在区间在区间的端点的端点或或处无定义或区间是无限区间处无定义或区间是无限区间 xf ba ab ba 3 在区间在区间的端点的端点或或处有处有或或 xf ba ab0 af0 bf 1 端点处的取值有意义且不为端点处的取值有意义且不为 0 例 1 2008 天津 设是定义在是定义在上的奇函数 且当上的奇函数 且当时 时 若对任意的 若对任意的 xfR0 x 2 xxf 不等式 不等式恒成立 则恒成立 则 的取值范围是 的取值范围是 2 ttx 2 xftxf t A 2 B 2 第 8 页 共 14 页 C 2 0 D 21 2 例 2 若在上恒成立 则实数的取值范围是 02 3 2 axaaxxf 1 0a 变式 1 2013 全国卷 已知函数 当时 求的133 23 xaxxxf 2x0 xfa 取值范围 变式 2 2012 江西 已知函数在上单调递减 求的取值范围 x exaaxxf1 1 2 1 0a 变式 3 2010 天津 已知函数 若在区间上恒成立 0 1 2 3 23 axaxxf 2 1 2 1 0 xf 求的取值范围 a 2 端点处的取值没有意义且趋于无穷端点处的取值没有意义且趋于无穷 的定义域是的定义域是 且当 且当趋于趋于 0 时 时 趋于负无穷 当趋于负无穷 当趋于趋于xxfln 0 xxxfln x 时 时 趋于正无穷 为了后面方便表述 记趋于正无穷 为了后面方便表述 记 然后不管函 然后不管函 xxfln 0 ff 数数在区间的端点在区间的端点处有没有意义 也不管处有没有意义 也不管是否为无穷 我们均记是否为无穷 我们均记为当为当趋于趋于时时 xfaa afxa 的值 这样的记法为了后面的叙述 的值 这样的记法为了后面的叙述 xf 第 9 页 共 14 页 例 1 2012 新课标 当时 则的取值范围是 2 1 0 xx a x log4 a A B C D 2 2 0 1 2 2 2 1 2 2 例 2 函数 若对定义域内任意恒成立 求实数 0 1 2 1 ln 2 xxaxxaxf0 xfx 的取值范围 a 例 3 2012 天津 函数恒成立 则实数的取值范 0 1 1 xmfmxfx x xxfm 围是 例 4 2013 新课标 设函数 若时 1 2 24 2 xexgxxxf x 2 x xkgxf 求的取值范围 k 例 5 2009 江西 已知函数 若对于任一实数 mxxgxmmxxf 1 4 22 2 x 与的值至少有一个为正 则的取值范围是 xf xgm 变式 1 不等式恒成立 则实数的取值范围是 2 1 32 log 2 xxx a a A B C D 3 1 0 1 3 1 3 1 3 第 10 页 共 14 页 变式 2 2011 北京 设函数 若对于任意的 都有 求 k x ekxxf 2 0 x e xf 1 实数的取值范围 k 变式 3 2014 江苏 已知函数 其中 是自然对数的底数 若关于的不等式 xx eexf ex 在上恒成立 求实数的取值范围 1 mexmf x 0m 变式 4 2012 北京文 已知 若或22 3 2 x xgmxmxmxf0 xfRx 则的取值范围是 0 xgm 变式 5 2012 北京理 已知 若同时满足 1 22 3 2 x xgmxmxmxf 或 2 则的取值范围是 0 xfRx0 xg 0 4 xgxfxm 第 11 页 共 14 页 3 端点处的取值为端点处的取值为 0 1 若多项式函数 若多项式函数满足满足 则 则一定可以分解成一定可以分解成这种这种 xf0 af xf xgaxxf 形式 其中形式 其中也为多项式函数 也为多项式函数 xg 例 1 2009 全国卷 已知在上是增函数 求的取值范围 xxaaxxf4 13 23 24 1 1 a 例 2 2012 浙江理 设 若时均有 则 Ra 0 x 0 1 1 1 2 axxxa a 例 3 2009 天津 已知有三个不同的实根 分别为0 0 1 3 1 223 xfmxmxxxf 若对任意的恒成立 求的取值范围 0 2121 xxxx 1 21 fxfxxx m 变式 1 2008 全国卷 设函数 若在处取 23 3 xaxxf 20 xxfxfxg0 x 得最大值 求的取值范围 a 第 12 页 共 14 页 变式 2 2011 湖北 已知有三个不同的实根 分别为 且对mxxxx 23 23 0 2121 xxxx 任意的 恒成立 求实数的取值范围 21 x xx 1 23 23 xmxxxm 注意 若多项式函数有明显的根 分解因式能够将函数降次 特别是形如注意 若多项式函数有明显的根 分解因式能够将函数降次 特别是形如 的多项式函数 是高考中的常见情形 它可以分解成的多项式函数 是高考中的常见情形 它可以分解成cxbxaxxf 23 需掌握此多项式 需掌握此多项式 2 cbxaxxxf 2 若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式 这些函数虽然在端点处的值为若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式 这些函数虽然在端点处的值为 零 但不能将它们分解 对此需用以下知识点 零 但不能将它们分解 对此需用以下知识点 在在上恒成立 若上恒成立 若 则 则 若 若 则 则0 xf ba 0 af0 a f0 bf0 b f 在在上恒成立 若上恒成立 若 则 则 若 若 则 则0 xf ba 0 af0 a f0 bf0 b f 特别提醒 这里的结论只是必要条件 不一定是充分条件 特别提醒 这里的结论只是必要条件 不一定是充分条件 例 1 2007 全国 理 已知函数 xx eexf 证明 的导数 xf2 x f 若对所有都有 求的取值范围 0 xaxxf a 例 2 2008 全国 文 已知函数 2 1 axexxf x 第 13 页 共 14 页 若 求的单调区间 2 1 a xf 若时 求的取值范围 0 x0 xfa 例 3 2008 全国 理 已知函数 x x xf cos2 sin 求的单调区间 xf 如果对任何时 都有 求的取值范围 0 xaxxf a 例 4 2010 新课标理 已知函数 2 1 axxexf x 若 求的单调区间 0 a xf 若时 求的取值