计数原理排列组合二项式

计数原理排列组合二项式计数原理排列组合二项式 专题要点专题要点 1 理解两个原理的含义 区别分类还是分布 2 理解并掌握排列 组合的概念 熟记排列数与组合数公式并能用它们解决一些实际问 题 3 理解并掌握二项式定理的项数 指数 通项几个特征 并熟记它们的展开式 4 能够运用展开式中的通项求展开式中的特定项 5 应特别用方程 不等式和函数的观点来解决二项式定理中的有关问题 培养学生的归 纳推理能力 高考资源网 考纲要求考纲要求 1 掌握分类计数原理和分步计数原理的实质 理解并掌握排列 组合的有关问题 能用 它们计算和论证一些简单问题 2 熟练掌握二项式定理及其通项公式 二项式系数的性质 并能用它们计算和论证一些简 单问题 知识纵横知识纵横 常用基本公式常用基本公式 高考资源网 1 排列数公式 1 1 m n Annnm 组合数公式 1 1 1 2 1 m m n n m m An nnm C Amm 由于 0 1 所以 n m nm 0 1 n C mn m nn CC 1 1 mmm nnn CCC 2 二项式定理 a b n 0111nn nn C aC ab n N rn rrnn nn C abC b 通项 在二项展开式中的叫做二项展开式的通项 用 Tr 1表示 即通项为展 rn rr n C ab 开式的第 r 1 项 1 0 1 rn rr rn TC abrn 在二项式定理中 如果设 a 1 b x 则得到公式 1 x n 若 a 1 b x 则得到公式 1 x n 1 12233 1 nn nnnn C xC xC xC x 1 n C x 22 n C x 1 n nn n C x 两个基本原理 综合应用 二项式定理 及其应用 排列与组合 学法导航学法导航 1 分类应在同一标准下进行 确保 不漏 不重 分步要做到 步骤连续 和 步骤独立 并能完成事项 2 界定 元素与位置 要辩证地看待 特殊元素 特殊位置 可直接优先安排 也可间接处理 高考资源网 3 解排列组合综合问题注意先选后排的原则 复杂的排列 组合问题利用分类思想转 化为简单问题求解 4 常见的解题策略有以下几种 1 特殊元素优先安排的策略 高考资源网 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 7 定序问题除法处理的策略 高考资源网 8 分排问题直排处理的策略 9 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 10 构造模型的策略 5 二项式定理解题 四大热点 四条规律 1 四大热点 通项运用型 系数配对型 系数和差型 综合应用型 2 四条规律 常规问题通项分析法 系数和差赋值法 近似问题截项法 整除 或余数 问题展开法 高考资源网 典例精析典例精析 高考资源网 1 分类加法与分步乘法计数原理 例 1 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有 4 班 汽车有2 班 轮船有3 班 那麽 一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地 共有多少种不同的走法 解析 因为一天中乘火车有 4 种走法 乘汽车有 2 种走法 乘轮船有 3 种走法 每一种 走法都可以从甲地到乙地 因此 一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 2 3 9 种不同的走法 例 2 2007 东城 某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码 某人采用千位 百位上的数字 之积作为十位和个位上的数字 如 2816 的方法设计密码 当积为一位数时 十位上数字 选 0 并且千位 百位上都能取 0 这样设计出来的密码共有 A 90 个 B 99 个 C 100 个 D 112 个高考资源网 解析 由于千位 百位确定下来后十位 个位就随之确定 则只考虑千位 百位即 可 千位 百位各有 10 种选择 所以有 10 10 种 100 种 故选 C 答案 C 2 排列与组合高考资源网 例 3 2009 北京卷文 用数字 1 2 3 4 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A 8B 24C 48D 120 答案答案 C w 解析解析 本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识 属于基础知识 基本运算的 考查 2 和 4 排在末位时 共有 1 2 2A 种排法 高考资源网 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 3 4 4 3 224A 种排法 于是由分步计数原理 符合题意的偶数共有2 2448 个 故选 C 例 4 2009 全国卷 理 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同 学 若从甲 乙两组中各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 D A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解 分两类 1 甲组中选出一名女生有 112 536 225CCC 种选法 高考资源网 2 乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC 种选法 故共有 345 种选法 选 D 例 5 2009 四川卷文 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排 若男生甲不站两端 3 位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36 答案答案 B 解析解析 解法一 解法一 从 3 名女生中任取 2 人 捆 在一起记作 A A 共有6 2 2 2 3 AC种不同 排法 剩下一名女生记作 B 两名男生分别记作甲 乙 则男生甲必须在 A B 之间 若 甲在 A B 两端 则为使 A B 不相邻 只有把男生乙排在 A B 之间 此时就不能满足男 生甲不在两端的要求 此时共有 6 2 12 种排法 A 左 B 右和 A 右 B 左 最后再在排好的 三个元素中选出四个位置插入乙 所以 共有 12 4 48 种不同排法 解法二 解法二 同解法一 从 3 名女生中任取 2 人 捆 在一起记作 A A 共有6 2 2 2 3 AC种不 同排法 剩下一名女生记作 B 两名男生分别记作甲 乙 为使男生甲不在两端可分三类 情况 第一类 女生 A B 在两端 男生甲 乙在中间 共有 2 2 2 2 6AA 24 种排法 第二类 捆绑 A 和男生乙在两端 则中间女生 B 和男生甲只有一种排法 此时 共有 2 2 6A 12 种排法 第三类 女生 B 和男生乙在两端 同样中间 捆绑 A 和男生甲也只有一种排法 此时共有 2 2 6A 12 种排法 三类之和为 24 12 12 48 种 高考资源网 3 二项式定理的通项公式 例 6 2009 重庆卷理 28 2 x x 的展开式中 4 x的系数是 A 16B 70C 560D 1120 答案 解析 设含 4 x的为第 2616 3 166 2 1 2 rrrrrr r rTCxCx x 1634r 所以4r 故系数为 44 62 1120C 选 D 4 二项式定理的综合应用 例 7 2007 济南 x2 1 x 2 9 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a11 x 1 11 则 a1 a2 a3 a11的值为 解析 令 x 1 得 2 1 9 a0 令 x 2 得 22 1 0 a0 a1 a11 联立 知 a1 a2 a11 2 答案 2 例 8 6 2009 陕西卷文 若 20092009 012009 1 2 xaa xaxxR 则 200912 22009 222 aaa 的值为 A 2B 0 C 1 D 2 答案 C 解析 由题意容易发现 11200820082008 1200920082009 2 2 2009 2 2 2009aCaC 则 2008200811 20082008 2009 2009 0 2222 aaaa 即 同理可以得出 20072 22007 0 22 aa 32006 32006 0 22 aa 高考资源网 亦即前 2008 项和为 0 则原式 200912 22009 222 aaa 20092009 20092009 20092009 2 1 22 aC 故选 C 专题综合专题综合 1 二项式与推理综合问题 例 2009 浙江卷理 观察下列等式 153 55 22CC 15973 999 22CCC 15913115 13131313 22CCCC 1591317157 1717171717 22CCCCC 高考资源网 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 nN 15941 41414141 n nnnn CCCC 答案 4121 212 n nn 解析 这是一种需类比推理方法破解的问题 结论由二项构成 第二项前有 1 n 二项指数分别为 4121 2 2 nn 因此对于 nN 15941 41414141 n nnnn CCCC 4121 212 n nn 2 排列组合求概率问题高考资源网 例 2009 重庆卷理 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个 花生馅汤圆 5 个 豆沙馅汤圆 4 个 这三种 汤圆的外部特征完全相同 从中任意舀取 4 个汤圆 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 答案 C 解析 因为总的滔法 4 15 C而所求事件的取法分为三类 即芝麻馅汤圆 花生馅汤圆 豆 沙馅汤圆取得个数分别按 1 1 2 1 2 1 2 1 1 三类 故所求概率为 112121211 654654654 4 15 48 91 CCCCCCCCC C 2 二项式定理与极限综合问题高考资源网 例 2009 湖北卷理 设 2 22212 01212 2 2 nnn nn xaa xa xaxa x 则 22 024213521 li