初三圆的证明专题训练(答案)

第 1 页 共 63 页 下载试卷文档前说明文档 下载试卷文档前说明文档 1 试题左侧二维码为该题目对应解析 2 请同学们独立解答题目 无法完成题目或者对题目有困惑的 扫描二维码 查看解析 杜绝抄袭 3 只有老师通过组卷方式生成的二维码试卷 扫描出的解析页面才有 求老 师讲解 按钮 菁优网原有的真题试卷 电子书 习题集 上的二维码试 卷扫出的页面无此按钮 学生点击该按钮以后 下载试卷教师可查看被点 击的相关统计数据 4 自主组卷的教师使用该二维码试卷后 可在 菁优网 我的空间 我的收 藏 我的下载 处点击图标查看学生扫描的二维码统计图表 以便确定 讲解重点 5 在使用中有任何问题 欢迎在 意见反馈 提出意见和建议 感谢您对菁 优网的支持 第 2 页 共 63 页 2015 年年 04 月月 19 日九年级数学组的初中数学组卷日九年级数学组的初中数学组卷 扫描二维码可查看试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 17 小题 小题 1 2014 辽阳 如图 在 ABC AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC BC 于点 D E 点 F 在 AC 的延长线上 且 CBF CAB 1 求证 直线 BF 是 O 的切线 2 若 AB 5 sin CBF 求 BC 和 BF 的长 2 2014 吉林 如图 四边形 OABC 是平行四边形 以 O 为圆心 OA 为半径的 圆交 AB 于点 D 延长 AO 交 O 于点 E 连接 CD CE 若 CE 是 O 的切线 解答下列 问题 1 求证 CD 是 O 的切线 2 若 BC 3 CD 4 求平行四边形 OABC 的面积 3 2014 天水 如图 点 D 为 O 上一点 点 C 在直径 BA 的延长线上 且 CDA CBD 1 判断直线 CD 和 O 的位置关系 并说明理由 2 过点 B 作 O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E 若 AC 2 O 的半径是 3 求 BE 的 长 第 3 页 共 63 页 4 2013 德州 如图 已知 O 的半径为 1 DE 是 O 的直径 过点 D 作 O 的 切线 AD C 是 AD 的中点 AE 交 O 于 B 点 四边形 BCOE 是平行四边形 1 求 AD 的长 2 BC 是 O 的切线吗 若是 给出证明 若不是 说明理由 5 2013 菏泽 如图 BC 是 O 的直径 A 是 O 上一点 过点 C 作 O 的切线 交 BA 的延长线于点 D 取 CD 的中点 E AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P 1 求证 AP 是 O 的切线 2 OC CP AB 6 求 CD 的长 6 2013 聊城 如图 AB 是 O 的直径 AF 是 O 切线 CD 是垂直于 AB 的弦 垂足为 E 过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F CD BE 2 求证 1 四边形 FADC 是菱形 2 FC 是 O 的切线 第 4 页 共 63 页 7 2012 北京 已知 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 OD BC 于点 D 过点 C 作 O 的切线 交 OD 的延长线于点 E 连接 BE 1 求证 BE 与 O 相切 2 连接 AD 并延长交 BE 于点 F 若 OB 9 sin ABC 求 BF 的长 8 2012 济宁 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 OD AC 于点 D 过点 A 作 O 的切线 AP AP 与 OD 的延长线交于点 P 连接 PC BC 1 猜想 线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系 并证明你的结论 2 求证 PC 是 O 的切线 9 2012 德阳 如图 已知点 C 是以 AB 为直径的 O 上一点 CH AB 于点 H 过点 B 作 O 的切线交直线 AC 于点 D 点 E 为 CH 的中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直线 CF 交 AB 的延长线于 G 1 求证 AE FD AF EC 2 求证 FC FB 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 r 的长 第 5 页 共 63 页 10 2012 黔南州 已知 如图 点 C 在以 AB 为直径的 O 上 点 D 在 AB 的延 长线上 BCD A 1 求证 CD 为 O 的切线 2 过点 C 作 CE AB 于 E 若 CE 2 cosD 求 AD 的长 11 2012 广安 如图 在 ABC 中 ABC ACB 以 AC 为直径的 O 分别交 AB BC 于点 M N 点 P 在 AB 的延长线上 且 CAB 2 BCP 1 求证 直线 CP 是 O 的切线 2 若 BC 2 sin BCP 求点 B 到 AC 的距离 3 在第 2 的条件下 求 ACP 的周长 12 2012 黄冈 如图 在 ABC 中 BA BC 以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 于点 D 过点 D 作 DE BC 垂足为点 E 1 求证 DE 为 O 的切线 2 求证 BD2 AB BE 第 6 页 共 63 页 13 2011 芜湖 如图 已知直线 PA 交 O 于 A B 两点 AE 是 O 的直径 点 C 为 O 上一点 且 AC 平分 PAE 过 C 作 CD 丄 PA 垂足为 D 1 求证 CD 为 O 的切线 2 若 DC DA 6 O 的直径为 10 求 AB 的长度 14 2011 凉山州 如图 已知 ABC 以 BC 为直径 O 为圆心的半圆交 AC 于点 F 点 E 为的中点 连接 BE 交 AC 于点 M AD 为 ABC 的角平分线 且 AD BE 垂 足为点 H 1 求证 AB 是半圆 O 的切线 2 若 AB 3 BC 4 求 BE 的长 15 2011 乐山 如图 D 为 O 上一点 点 C 在直径 BA 的延长线上 且 CDA CBD 1 求证 CD 是 O 的切线 2 过点 B 作 O 的切线交 CD 的延长线于点 E 若 BC 6 tan CDA 求 BE 的长 第 7 页 共 63 页 16 2011 广安 如图所示 P 是 O 外一点 PA 是 O 的切线 A 是切点 B 是 O 上一点 且 PA PB 连接 AO BO AB 并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q 1 求证 PB 是 O 的切线 2 求证 AQ PQ OQ BQ 3 设 AOQ 若 OQ 15 求 AB 的长 17 2012 达州 如图 C 是以 AB 为直径的 O 上一点 过 O 作 OE AC 于点 E 过点 A 作 O 的切线交 OE 的延长线于点 F 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P 1 求证 PC 是 O 的切线 2 若 AF 1 OA 求 PC 的长 第 8 页 共 63 页 2015 年年 04 月月 19 日九年级数学组的初中数学组卷日九年级数学组的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 17 小题 小题 1 2014 辽阳 如图 在 ABC AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交 AC BC 于点 D E 点 F 在 AC 的延长线上 且 CBF CAB 1 求证 直线 BF 是 O 的切线 2 若 AB 5 sin CBF 求 BC 和 BF 的长 考点 切线的判定 与性质 勾 股定理 圆 周角定理 相似三角形 的判定与性 质 解直角 三角形 菁优网版权所有 专题 几何综合 题 分析 1 连接 AE 利用直 径所对的圆 周角是直角 从而判定直 角三角形 利用直角三 角形两锐角 相等得到直 角 从而证 明 ABF 90 2 利用已 第 9 页 共 63 页 知条件证得 AGC ABF 利用 比例式求得 线段的长即 可 解答 1 证明 连接 AE AB 是 O 的直径 AEB 90 1 2 90 AB AC 1 CAB CBF C AB 1 CBF CBF 2 90 即 ABF 90 AB 是 O 的直径 直线 BF 是 O 的切 线 2 解 过 点 C 作 CG AB 于 G sin CBF 1 C BF sin 1 在 Rt AEB 第 10 页 共 63 页 中 AEB 90 AB 5 BE AB sin 1 AB AC AEB 90 BC 2BE 2 在 Rt ABE 中 由勾股 定理得 AE 2 sin 2 c os 2 在 Rt CBG 中 可求得 GC 4 GB 2 AG 3 GC BF AGC A BF BF 第 11 页 共 63 页 点评 本题考查常 见的几何题 型 包括切 线的判定 角的大小及 线段长度的 求法 要求 学生掌握常 见的解题方 法 并能结 合图形选择 简单的方法 解题 2 2014 吉林 如图 四边形 OABC 是平行四边形 以 O 为圆心 OA 为半径的圆交 AB 于点 D 延长 AO 交 O 于点 E 连接 CD CE 若 CE 是 O 的切线 解答下列问题 1 求证 CD 是 O 的切线 2 若 BC 3 CD 4 求平行四边形 OABC 的面积 考点 切线的判定 与性质 全 等三角形的 判定与性质 平行四边形 的性质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 1 连接 OD 求出 EOC DO C 根据 SAS 第 12 页 共 63 页 推出 EOC DOC 推出 ODC OE C 90 根据 切线的判定 推出即可 2 根据全 等三角形的 性质求出 CE CD 4 根据平行四 边形性质求 出 OA 3 根 据平行四边 形的面积公 式求出即 可 解答 1 证明 连接 OD OD OA ODA A 四边形 OABC 是平 行四边形 OC AB EOC A COD O DA EOC D OC 在 EOC 和 DOC 中 EOC D OC SAS ODC O EC 90 即 OD DC CD 是 O 第 13 页 共 63 页 的切线 2 解 EOC DOC CE CD 4 四边形 OABC 是平 行四边形 OA BC 3 平行四边形 OABC 的面 积 S OA CE 3 4 12 点评 本题考查了 全等三角形 的性质和判 定 切线的 判定 平行 四边形的性 质的应用 解此题的关 键是推出 EOC DOC 3 2014 天水 如图 点 D 为 O 上一点 点 C 在直径 BA 的延长线上 且 CDA CBD 1 判断直线 CD 和 O 的位置关系 并说明理由 2 过点 B 作 O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E 若 AC 2 O 的半径是 3 求 BE 的 长 第 14 页 共 63 页 考点 切线的判定 与性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问 题 分析 1 连接 OD 根据圆 周角定理求 出 DAB DB A 90 求出 CDA AD O 90 根据 切线的判定 推出即可 2 根据勾 股定理求出 DC 根据切 线长定理求 出 DE EB 根据勾股定 理得出方程 求出方程的 解即可 解答 解 1 直 线 CD 和 O 的位置 关系是相切 理由是 连 接 OD AB 是 O 的直径 ADB 90 DAB D 第 15 页 共 63 页 BA 90 CDA C BD DAB C DA 90 OD OA DAB A DO CDA A DO 90 即 OD CE 直线 CD 是 O 的切线 即直线 CD 和 O 的位 置关系是相 切 2 AC 2 O 的半径是 3 OC 2 3 5 OD 3 在 Rt CDO 中 由勾股 定理得 CD 4 CE 切 O 于 D EB 切 O 于 B DE EB CBE 90 设 DE EB x 在 Rt CBE 中 由勾股 定理得 CE2 BE2 BC 2 则 4 x 2 x2 5 3 第 16 页 共 63 页 2 解得 x 6 即 BE 6 点评 本题考查了 切线的性质 和判定 勾 股定理 切 线长定理 圆周角定理 等腰三角形 的性质和判 定的应用 题目比较典 型 综合性 比较强 难 度适中 4 2013 德州 如图 已知 O 的半径为 1 DE 是 O 的直径 过点 D 作 O 的切线 AD C 是 AD 的中点 AE 交 O 于 B 点 四边形 BCOE 是平行四边形 1 求 AD 的长 2 BC 是 O 的切线吗 若是 给出证明 若不是 说明理由 考点 切线的判定 与性质 直 角三角形斜 边上的中线 平行四边形 的性质 菁优网版权所有 专题 计算题 第 17 页 共 63 页 分析 1 连接 BD 由 ED 为圆 O 的直 径 利用直 径所对的圆 周角为直角 得到 DBE 为直角 由 BCOE 为平 行四边形 得到 BC 与 OE 平行 且 BC OE 1 在直角三角 形 ABD 中 C 为 AD 的 中点 利用 斜边上的中 线等于斜边 的一半求出 AD 的长即可 2 连接 OB 由 BC 与 OD 平行 BC OD 得 到四边形 BCDO 为平 行四边形 由 AD 为圆 的切线 利 用切线的性 质得到 OD 垂直于 AD 可得出四边 形 BCDO 为 矩形 利用 矩形的性质 得到 OB 垂 直于 BC 即 可得出 BC 为圆 O 的切 线 第 18 页 共 63 页 解答 解 1 连 接 BD DE 是直径 DBE 90 四边形 BCOE 为平 行四边形 BC OE B C OE 1 在 Rt ABD 中 C 为 AD 的中点 BC AD 1 则 AD 2 2 是 理 由如下 如图 连接 OB BC O D BC OD 四边形 BCDO 为平 行四边形 AD 为圆 O 的切线 OD AD 四边形 BCDO 为矩 形 OB BC 则 BC 为圆 O 的切线 第 19 页 共 63 页 点评 此题考查了 切线的判定 与性质 直 角三角形斜 边上的中线 性质 以及 平行四边形 的判定与性 质 熟练掌 握切线的判 定与性质是 解本题的关 键 5 2013 菏泽 如图 BC 是 O 的直径 A 是 O 上一点 过点 C 作 O 的切线 交 BA 的延长线于点 D 取 CD 的中点 E AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P 1 求证 AP 是 O 的切线 2 OC CP AB 6 求 CD 的长 考点 切线的判定 与性质 解 直角三角 形 菁优网版权所有 分析 1 连接 AO AC 如图 欲证 AP 是 O 的 切线 只需 证明 OA AP 即可 2 利用 1 中切线 的性质在 Rt OAP 中 利用边角关 系求得 ACO 60 第 20 页 共 63 页 然后在 Rt BAC Rt ACD 中利用 余弦三角函 数的定义知 AC 2 C D 4 解答 1 证明 连接 AO AC 如图 BC 是 O 的直径 BAC C AD 90 E 是 CD 的 中点 CE DE AE ECA EA C OA OC OAC O CA CD 是 O 的切线 CD OC ECA O CA 90 EAC O AC 90 OA AP A 是 O 上 一点 AP 是 O 的切线 2 解 由 1 知 OA AP 在 Rt OAP 中 OAP 90 第 21 页 共 63 页 OC CP OA 即 OP 2OA sinP P 30 AOP 60 OC OA ACO 60 在 Rt BAC 中 BAC 90 AB 6 AC O 60 AC 2 又 在 Rt ACD 中 CAD 90 ACD 90 ACO 30 CD 4 点评 本题考查了 切线的判定 与性质 解 第 22 页 共 63 页 直角三角 形 注意 切线的定义 的运用 解 题的关键是 熟记特殊角 的锐角三角 函数值 6 2013 聊城 如图 AB 是 O 的直径 AF 是 O 切线 CD 是垂直于 AB 的弦 垂足 为 E 过点 C 作 DA 的平行线与 AF 相交于点 F CD BE 2 求证 1 四边形 FADC 是菱形 2 FC 是 O 的切线 考点 切线的判定 与性质 菱 形的判定 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 首先连 接 OC 由垂 径定理 可 求得 CE 的长 又由勾股定 理 可求得 半径 OC 的 长 然后由 勾股定理求 得 AD 的长 即可得 AD CD 易 证得四边形 FADC 是平 行四边形 继而证得四 边形 FADC 第 23 页 共 63 页 是菱形 2 首先连 接 OF 易证 得 AFO CFO 继而 可证得 FC 是 O 的切 线 解答 证明 1 连接 OC AB 是 O 的直径 CD AB CE DE C D 4 2 设 OC x BE 2 OE x 2 在 Rt OCE 中 OC2 OE2 C E2 x2 x 2 2 2 2 解得 x 4 OA OC 4 OE 2 AE 6 在 Rt AED 中 AD 4 AD CD AF 是 O 切线 AF AB 第 24 页 共 63 页 CD AB AF CD CF AD 四边形 FADC 是平 行四边形 AD CD 平行四边形 FADC 是菱 形 2 连接 OF AC 四边形 FADC 是菱 形 FA FC FAC FC A AO CO OAC O CA FAC O AC FCA OCA 即 OCF OAF 90 即 OC FC 点 C 在 O 上 FC 是 O 的切线 第 25 页 共 63 页 点评 此题考查了 切线的判定 与性质 菱 形的判定与 性质 垂径 定理 勾股 定理以及全 等三角形的 判定与性 质 此题难 度适中 注 意掌握辅助 线的作法 注意数形结 合思想的应 用 7 2012 北京 已知 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 OD BC 于点 D 过 点 C 作 O 的切线 交 OD 的延长线于点 E 连接 BE 1 求证 BE 与 O 相切 2 连接 AD 并延长交 BE 于点 F 若 OB 9 sin ABC 求 BF 的长 考点 切线的判定 与性质 相 似三角形的 判定与性质 解直角三角 第 26 页 共 63 页 形 菁优网版权所有 专题 几何综合 题 分析 1 连接 OC 先证明 OCE OB E 得出 EB OB 从 而可证得结 论 2 过点 D 作 DH AB 根据 sin ABC 可求出 OD 6 OH 4 HB 5 然后由 ADH AFB 利用 相似三角形 的性质得出 比例式即可 解出 BF 的 长 解答 证明 1 连接 OC OD BC COE B OE 在 OCE 和 OBE 中 第 27 页 共 63 页 OCE O BE OBE O CE 90 即 OB BE OB 是 O 半径 BE 与 O 相切 2 过点 D 作 DH AB 连接 AD 并 延长交 BE 于 点 F DOH B OD DHO BDO 90 ODH O BD 又 sin ABC OB 9 OD 6 易得 ABC OD H sin ODH 第 28 页 共 63 页 即 OH 4 DH 2 又 ADH AFB FB 点评 此题考查了 切线的判定 与性质 相 似三角形的 判定与性质 解答本题的 关键是掌握 切线的判定 定理 在第 二问的求解 中 一定要 注意相似三 角形的性质 的运用 8 2012 济宁 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 OD AC 于点 D 过点 A 作 O 的 切线 AP AP 与 OD 的延长线交于点 P 连接 PC BC 1 猜想 线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系 并证明你的结论 2 求证 PC 是 O 的切线 第 29 页 共 63 页 考点 切线的判定 与性质 全 等三角形的 判定与性质 三角形中位 线定理 圆 周角定理 菁优网版权所有 分析 1 根据垂 径定理可以 得到 D 是 AC 的中点 则 OD 是 ABC 的中位 线 根据三 角形的中位 线定理可以 得到 OD BC CD BC 2 连接 OC 设 OP 与 O 交于 点 E 可以 证得 OAP OCP 利用 全等三角形 的对应角相 等 以及切 线的性质定 理可以得到 OCP 90 即 OC PC 即可等证 第 30 页 共 63 页 解答 1 猜想 OD BC OD BC 证明 OD AC AD DC AB 是 O 的直径 OA OB 2 分 OD 是 ABC 的中位 线 OD BC O D BC 2 证明 连接 OC 设 OP 与 O 交 于点 E OD AC O D 经过圆心 O 即 AOE CO E 在 OAP 和 OCP 中 OAP O CP OCP O AP PA 是 O 的切线 OAP 90 第 31 页 共 63 页 OCP 90 即 OC PC PC 是 O 的切线 点评 本题考查了 切线的性质 定理以及判 定定理 三 角形的中位 线定理 证 明圆的切线 的问题常用 的思路是根 据切线的判 定定理转化 成证明垂直 的问题 9 2012 德阳 如图 已知点 C 是以 AB 为直径的 O 上一点 CH AB 于点 H 过点 B 作 O 的切线交直线 AC 于点 D 点 E 为 CH 的中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直线 CF 交 AB 的延长线于 G 1 求证 AE FD AF EC 2 求证 FC FB 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 r 的长 考点 切线的判定 与性质 等 腰三角形的 第 32 页 共 63 页 性质 等腰 三角形的判 定 直角三 角形斜边上 的中线 勾 股定理 圆 周角定理 相似三角形 的判定与性 质 菁优网版权所有 专题 证明题 几 何综合题 压轴题 分析 1 由 BD 是 O 的切 线得出 DBA 90 推出 CH BD 证 AEC AF D 得出比例 式即可 2 连接 OC BC 证 AEC AF D AHE ABF 推出 BF DF 根 据直角三角 形斜边上中 线性质得出 CF DF BF 即可 3 求出 EF FC 求 出 G FAG 推出 AF FG 求 出 AB BG 求出 FCB CAB 第 33 页 共 63 页 推出 CG 是 O 切线 由切割线定 理得出 2 FG 2 BG AG 2 BG2 在 Rt BFG 中 由 勾股定理得 出 BG2 FG2 BF2 推出 FG2 4FG 12 0 求出 FG 即可 解答 1 证明 BD 是 O 的切线 DBA 90 CH AB CH BD AEC A FD AE FD AF EC 2 证明 连接 OC BC CH BD AEC A FD AHE ABF 第 34 页 共 63 页 CE EH E 为 CH 中点 BF DF AB 为 O 的直径 ACB D CB 90 BF DF CF DF BF 直角三角 形斜边上的 中线等于斜 边的一半 即 CF BF 3 解 BF CF DF 已证 EF BF 2 EF FC FCE FE C AHE C HG 90 FAH AE H 90 G GCH 9 0 AEH CE F G FAG AF FG FB AG AB BG BF 切 O 于 B FBC CA B 第 35 页 共 63 页 OC OA C F BF FCB FB C OCA OAC FCB CA B ACB 90 ACO B CO 90 FCB BC O 90 即 OC CG CG 是 O 切线 GBA 是 O 割线 AB BG 已 证 FB FE 2 由切割线定 理得 2 FG 2 BG AG 2 BG2 在 Rt BFG 中 由勾股 定理得 BG2 FG2 BF2 FG2 4FG 12 0 解得 FG 6 FG 2 舍去 由勾股定理 得 AB BG 第 36 页 共 63 页 4 O 的半径 是 2 点评 本题考查了 切线的性质 和判定 相 似三角形的 性质和判定 等腰三角形 的性质和判 定 直角三 角形斜边上 中线的性质 圆周角定理 勾股定理等 知识点的综 合运用 题 目综合性比 较强 有一 定的难度 10 2012 黔南州 已知 如图 点 C 在以 AB 为直径的 O 上 点 D 在 AB 的延长线上 BCD A 1 求证 CD 为 O 的切线 2 过点 C 作 CE AB 于 E 若 CE 2 cosD 求 AD 的长 第 37 页 共 63 页 考点 切线的判定 与性质 圆 周角定理 解直角三角 形 菁优网版权所有 分析 1 先连接 CO 根据 AB 是 O 直 径 得出 1 OCB 9 0 再根据 AO CO 得 出 1 A 最后根据 4 A 证 出 OC CD 即可得出 CD 为 O 的切 线 2 根据 OC CD 得 出 3 D 90 再根据 CE AB 得 出 3 2 90 从而得出 cos 2 cosD 再在 OCD 中根据 余弦定理得 出 CO 的值 最后根据 O 的半径 为 即可得 出 AD 的 长 解答 证明 1 连接 CO AB 是 O 直径 1 OCB 第 38 页 共 63 页 90 AO CO 1 A 4 A 4 OCB 90 即 OCD 90 OC CD 又 OC 是 O 半径 CD 为 O 的切线 2 OC CD 于 C 3 D 90 CE AB 于 E 3 2 90 2 D cos 2 cosD 在 OCD 中 OCD 90 cos 2 cosD C E 2 tan D CO 第 39 页 共 63 页 O 的半径 为 OD AD 点评 本题考查了 切线的判定 与性质 要 证某线是圆 的切线 已 知此线过圆 上某点 连 接圆心与这 点 即为半 径 再证垂 直即可 同 时考查了三 角函数的知 识 11 2012 广安 如图 在 ABC 中 ABC ACB 以 AC 为直径的 O 分别交 AB BC 于点 M N 点 P 在 AB 的延长线上 且 CAB 2 BCP 1 求证 直线 CP 是 O 的切线 2 若 BC 2 sin BCP 求点 B 到 AC 的距离 3 在第 2 的条件下 求 ACP 的周长 第 40 页 共 63 页 考点 切线的判定 与性质 等 腰三角形的 性质 勾股 定理 相似 三角形的判 定与性质 解直角三角 形 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 根据 ABC AC B 且 CAB 2 BC P 在 ABC 中 ABC BA C BCA 18 0 得到 2 BCP 2 B CA 180 从 而得到 BCP BCA 90 证得 直线 CP 是 O 的切 线 2 作 BD AC 于点 D 得到 BD PC 从 而利用 sin BCP sin 第 41 页 共 63 页 DBC 求得 DC 2 再根据勾股 定理求得点 B 到 AC 的距 离为 4 3 先求出 AC 的长度 然后利用 BD PC 的比 例线段关系 求得 CP 的长 度 再由勾 股定理求出 AP 的长度 从而求得 ACP 的周 长 解答 解 1 ABC A CB 且 CAB 2 BC P 在 ABC 中 ABC BA C BCA 18 0 2 BCP 2 BCA 180 BCP BC A 90 又 C 点在直 径上 直线 CP 是 O 的切 线 2 如右图 作 BD AC 于点 D 第 42 页 共 63 页 PC AC BD PC PCB DB C BC 2 s in BCP sin BCP si n DBC 解得 DC 2 由勾股定理 得 BD 4 点 B 到 AC 的距离为 4 3 如右图 连接 AN AC 为直径 ANC 90 Rt ACN 中 AC 5 又 CD 2 AD AC CD 5 2 3 BD CP CP 在 Rt ACP 第 43 页 共 63 页 中 AP AC CP AP 5 20 ACP 的周 长为 20 点评 本题考查了 切线的判定 与性质等知 识 考查的 知识点比较 多 难度较 大 12 2012 黄冈 如图 在 ABC 中 BA BC 以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 于点 D 过点 D 作 DE BC 垂足为点 E 1 求证 DE 为 O 的切线 2 求证 BD2 AB BE 考点 切线的判定 与性质 圆 周角定理 相似三角形 第 44 页 共 63 页 的判定与性 质 菁优网版权所有 专题 证明题 分析 1 连接 OD BD 根据圆周角 定理可得 ADB 90 继而得出点 D 是 AC 中 点 判断出 OD 是三角形 ABC 的中位 线 利用中 位线的性质 得出 ODE 90 这样可判断 出结论 2 根据题 意可判断 BED BDC 从而 可得 BD2 BC BE 将 BC 替 换成 AB 即 可得出结 论 解答 证明 1 连接 OD BD 则 ADB 90 圆周角定 理 BA BC CD AD 三线合一 又 AO OB OD 是 ABC 的中位 线 第 45 页 共 63 页 OD BC DEB 90 ODE 90 即 OD DE 故可得 DE 为 O 的切 线 2 EBD D BC DEB CDB BED B DC 又 AB BC 故 BD2 AB BE 点评 此题考查了 切线的判定 及性质 三 角形的中位 线的判定与 性质等腰三 角形的性质 解答本题的 关键是得出 点 D 是 AC 中点 求出 ODE 是直 第 46 页 共 63 页 角 有一定 难度 13 2011 芜湖 如图 已知直线 PA 交 O 于 A B 两点 AE 是 O 的直径 点 C 为 O 上一点 且 AC 平分 PAE 过 C 作 CD 丄 PA 垂足为 D 1 求证 CD 为 O 的切线 2 若 DC DA 6 O 的直径为 10 求 AB 的长度 考点 切线的判定 与性质 勾 股定理 矩 形的判定与 性质 垂径 定理 菁优网版权所有 专题 几何综合 题 分析 1 连接 OC 根据题 意可证得 CAD DC A 90 再根 据角平分线 的性质 得 DCO 90 则 CD 为 O 的切线 2 过 O 作 OF AB 则 OCD CD A OFD 90 得四边形 OCDF 为矩 形 设 AD x 在 第 47 页 共 63 页 Rt AOF 中 由勾股定理 得 5 x 2 6 x 2 25 从而 求得 x 的值 由勾股定理 得出 AB 的 长 解答 1 证明 连接 OC OA OC OCA O AC AC 平分 PAE DAC C AO DAC O CA PB OC CD PA CD OC C O 为 O 半 径 CD 为 O 的切线 2 解 过 O 作 OF AB 垂 足为 F OCD C DA OFD 9 0 四边形 DCOF 为矩 形 OC FD O F CD DC DA 6 第 48 页 共 63 页 设 AD x 则 OF CD 6 x O 的直径 为 10 DF OC 5 AF 5 x 在 Rt AOF 中 由勾股 定理得 AF2 OF2 O A2 即 5 x 2 6 x 2 25 化简得 x2 11x 18 0 解得 x1 2 x2 9 CD 6 x 大 于 0 故 x 9 舍去 x 2 从而 AD 2 AF 5 2 3 OF AB 由垂径定理 知 F 为 AB 的中点 AB 2AF 6 第 49 页 共 63 页 点评 本题考查了 切线的判定 和性质 勾 股定理 矩 形的判定和 性质以及垂 径定理 是 基础知识要 熟练掌握 14 2011 凉山州 如图 已知 ABC 以 BC 为直径 O 为圆心的半圆交 AC 于点 F 点 E 为的中点 连接 BE 交 AC 于点 M AD 为 ABC 的角平分线 且 AD BE 垂足为点 H 1 求证 AB 是半圆 O 的切线 2 若 AB 3 BC 4 求 BE 的长 考点 切线的判定 与性质 勾 股定理 圆 周角定理 相似三角形 的判定与性 质 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 连接 EC AD 为 ABC 的角平 分线 得 第 50 页 共 63 页 1 2 又 AD BE 可 证 3 4 由对顶角相 等得 4 5 即 3 5 由 E 为的中 点 得 6 7 由 BC 为直径得 E 90 即 5 6 90 由 AD CE 可 证 2 6 从而有 3 7 90 证明结论 2 在 Rt ABC 中 由 勾股定理可 求 AC 5 由 3 4 得 AM AB 3 则 CM AC AM 2 由 1 可证 CME BCE 利用 相似比可得 EB 2EC 在 Rt BCE 中 根据 BE2 CE2 BC 2 得 BE2 2 42 可求 BE 解答 1 证明 连接 EC 第 51 页 共 63 页 AD BE 于 H 1 2 3 4 1 分 4 5 4 5 3 2 分 又 E 为的 中点 6 7 3 分 BC 是直径 E 90 5 6 90 又 AHM E 90 AD CE 2 6 1 3 7 90 又 BC 是直 径 AB 是半圆 O 的切线 4 分 2 解 AB 3 BC 4 由 1 知 ABC 90 AC 5 5 分 在 ABM 中 第 52 页 共 63 页 AD BM 于 H AD 平分 BAC AM AB 3 CM 2 6 分 6 7 E 为公共角 CME B CE 得 7 分 EB 2EC 在 Rt BCE 中 BE2 CE2 BC 2 即 BE2 2 42 解得 BE 8 分 点评 本题考查了 切线的判定 与性质 相 似三角形的 判定与性质 圆周角定理 勾股定理的 第 53 页 共 63 页 运用 关键 是由已知条 件推出相等 角 构造互 余关系的角 推出切线 利用相等角 推出相似三 角形 由相 似比得出边 长的关系 由勾股定理 求解 15 2011 乐山 如图 D 为 O 上一点 点 C 在直径 BA 的延长线上 且 CDA CBD 1 求证 CD 是 O 的切线 2 过点 B 作 O 的切线交 CD 的延长线于点 E 若 BC 6 tan CDA 求 BE 的长 考点 切线的判定 与性质 圆 周角定理 相似三角形 的判定与性 质 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 连 OD OE 根 据圆周角定 理得到 ADO 1 9 0 而 CDA CB D CBD 第 54 页 共 63 页 1 于是 CDA AD O 90 2 根据切 线的性质得 到 ED EB OE BD 则 ABD OE B 得到 tan CDA tan OEB 易证 Rt CDO Rt C BE 得到 求得 CD 然后在 Rt CBE 中 运用勾股定 理可计算出 BE 的长 解答 1 证明 连 OD OE 如 图 AB 为直径 ADB 90 即 ADO 1 9 0 又 CDA C BD 而 CBD 1 1 CDA CDA A 第 55 页 共 63 页 DO 90 即 CDO 90 CD 是 O 的切线 2 解 EB 为 O 的切线 ED EB O E DB ABD D BE 90 OEB DB E 90 ABD O EB CDA O EB 而 tan CDA tan OEB Rt CDO R t CBE CD 6 4 在 Rt CBE 中 设 BE x x 4 2 x2 62 解得 x 即 BE 的长为 第 56 页 共 63 页 点评 本题考查了 切线的判定 与性质 过 半径的外端 点与半径垂 直的直线是 圆的切线 也考查了圆 周角定理的 推论以及三 角形相似的 判定与性 质 16 2011 广安