抛物线焦点弦的弦长公式

关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦 求焦点弦的弦长的问题 其中只介 绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题 1 已知 抛物线的方程为 过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点 px y 2 2 0 p 且弦 AB 的倾斜角为 求弦 AB 的长 解 由题意可设直线 AB 的方程为将其代入抛物线方程整理得 2 p xky 2 且0 84 4 2 2 222 k p kxk xpp tan k 设 A B 两点的坐标为 则 2 2 1 1 y x y x k k xx pp 2 2 21 2 4 2 21 p xx sin 221 2 22 4 21 1 p AB xxxxk 当时 斜率不存在 AB 2p 即为通径 2 1sin 而如果抛物线的焦点位置发生变化 则以上弦长公式成立吗 这只能代表开口向右时 的弦长计算公式 其他几种情况不尽相同 现在我们来探讨这个问题 2 已知 抛物线的方程为 过焦点的弦 AB 交抛物线于 A B 两点 0 2 2 ppy x 直线 AB 倾斜角为 求弦 AB 的长 解 设 A B 的坐标为 斜率为 k 而焦点坐标为 2 2 1 1 y x y x tan k 2 0 p 故 AB 的方程为 将其代入抛物线的方程整理得 kx p y 2 从而 02 2 2 p x pkx p xxxx pk 2 2121 2 弦长为 cos 221 2 22 4 21 1 p AB xxxxk 即为通径 pAB2 1cos 0 而与 1 的结果一样 与 2 的结果一样 但是 1 与px y 2 2 py x 2 2 2 的两种表达式不一样 为了统一这两种不同的表达式 只须作很小的改动即可 现将 改动陈述于下 3 已知 抛物线的方程为 过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A px y 2 2 0 p B 两点 且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 求弦 AB 的长 解 由题意可设直线 AB 的方程为将其代入抛物线方程整理 2 p xky 2 得 0 84 4 2 2 222 k p kxk xpp 若倾斜角 则 2 tantan k 若倾斜角则 2 tan tan k 设 A B 两点的坐标为 2 2 1 1 y x y x 则 k k xx pp 2 2 21 2 4 2 21 p xx sin 2 tan 2 4 4 2 2 2 21 2 2 2 2 1 4 21 1 p AB k kppkp xxxxk 而 故 sin sin sinsin sin 2 2 p AB 当时 AB 2p 即为通径 2 1sin 而与 3 的结果一样px y 2 2 同理 4 已知 抛物线的方程为 过焦点的弦 AB 交抛物线于 A B 0 2 2 ppy x 两点 直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 求弦 AB 的长 解 设 A B 的坐标为 若倾斜角为 斜率为 k 2 2 1 1 y x y x 则 而焦点坐标为 tan k 2 0 p 故 AB 的方程为 将其代入抛物线的方程整理得 kx p y 2 从而 02 2 2 p x pkx p xxxx pk 2 2121 2 弦长为 cos 221 2 22 4 21 1 p AB xxxxk 当倾斜角 则 2 sin 2 cos cos 2 当倾斜角则 2 sin 2 cos cos 2 所以恒成立 sin 2 2 p AB 当时 AB 2p 即为通径 2 1sin 而与 4 的结果一样 py x 2 2 故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 那么不论抛物线的开口向上 向下 向左还是向右 过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示 即