六年级奥数蝴蝶模型

蝴蝶模型蝴蝶模型 1 蝴蝶模型与任意四边形蝴蝶模型与任意四边形 4321 SSSS 在任意四边形中 两对角线将四边形分成四个三角形 两组相对三角形面在任意四边形中 两对角线将四边形分成四个三角形 两组相对三角形面 积之积相等 积之积相等 推导 推导 由等积变形模型可知 OC AO S S BOC AOB OC AO S S COD AOD COD AOD BOC AOB S S S S 2 4 3 1 S S S S 即 4321 SSSS 2 蝴蝶模型与梯形蝴蝶模型与梯形 4321 SSSS 21 SS 推导 推导 同上 过点 A 作三角形 ABC 的高 过点 1 h D 作 BCD 的高 2 h BCAD 两平行线之间高相等 21 hh 1 2 1 hBCS ABC 2 2 1 hBCS BDC BDCABC SS 3231 SSSS 21 SS 3 蝴蝶模型与平行四边形蝴蝶模型与平行四边形 一 4321 SSSS 4321 SSSS 推导推导 同上 同底等高 BCDABC SS ACDBCD SS 4241 SSSS 2324 SSSS 21 SS 43 SS ODOB OCOA 31 SS 42 SS 二 即 对角平行四边形面积乘积相等即 对角平行四边形面积乘积相等 4321 SSSS 在平行四边形 ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段 GH EF 推导 推导 连接 GE EH HF FG 过点 E 作 EM 垂直于 GH 于点 M EMOGS OGE 2 1 EMOGSS 1平行四边形 1 2 1 SS OGE 同理可得 3 2 1 SS OGF 2 2 1 SS OFH 4 2 1 SS EOH 由蝴蝶定理可知 EOHOGFOFHOGE SSSS 4321 2 1 2 1 2 1 2 1 SSSS 4321 SSSS 4 蝴蝶模型与长方形蝴蝶模型与长方形 1 4321 SSSS 4321 SSSS 2 即 对角长方形面积乘积相等即 对角长方形面积乘积相等 4321 SSSS 5 蝴蝶模型与正方形蝴蝶模型与正方形 子子母图母图 两共线相邻的正方形两共线相邻的正方形 在上面两个图形中 每组正方形的对角线均互相平行 即 a b c d 重要结论 两共线相邻的正方形对角线互相平行 重要结论 两共线相邻的正方形对角线互相平行 例例 1 如下图所示 在梯形 ABCD 中 对角线 BD AC 相交于点 O AOD 的面 积是 6 AOB 的面积是 4 那么梯形 ABCD 的面积是多少 分析 梯形 ABCD 是四个三角形面积的总和 现已经知道两个三角形的面积 由蝴蝶定理容易求出三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积 进而可以求出梯形 ABCD 的面积 解 由蝴蝶定理可知 6 6 6 4 9 梯形 的面积是9 6 4 6 25 答 梯形 ABCD 的面积是 25 例例 2 如图 求阴影部分的面积 单位 cm2 分析 由长方形中的蝴蝶定理 对角长方形面积乘积相等 可直接求出阴 影部分的面积 解 cm2 阴影 28 6 12 14 答 阴影部分的面积为 14 平方厘米 例例 3 下图是两个正方形 大正方形边长是 8 小正方形边长是 6 求图中阴影 部分的面积 单位 厘米 分析 图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出 因此要将其转化 为容易算的部分 由 子母图中对角线互相平行 这一重要结论可知 连接 AC 所以 AC 平行于 GE 由梯形的蝴蝶定理可知 三角形 AOG 和三角形 COE 面 积相等 因此 阴影部分的面积就等于三角形 GCE 的面积 即小正方形面积的 一半 解 连接 AC AC GE 由梯形的蝴蝶定理可知 cm2 阴 1 2 6 6 18 答 阴影部分的面积为 18 平方厘米 2812 6 AB D C 4 6 O A B C D E F G O 练习题练习题 1 如图 某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 AC BD 分成四个部分 AOB 面积为 1 平方千米 BOC 面积为 2 平方千米 COD 的面积为 3 平 方千米 公园由 6 92 平方千米的陆地和人工湖组成 则人工湖的面积是多 少平方千米 2 如图 长方形 ABCD 被 CE DF 分成四块 已知其中 3 块的面积分别为 2 5 8 平方厘米 求余下的四边形 OFBC 的面积 3 如图 在长方形 ABCD 中 ABP