解读日本提出的非正弦振动曲线

236 解读日本提出解读日本提出的非正弦振动曲线的非正弦振动曲线 2sin 1 tifAy m i n 曾晶 杨拉道 杨超武 雷华 王蓉 西安重型机械研究所 陕西 西安 710032 摘要 解读 1992 年由日本提出的一种非正弦振动曲线 给出曲线表达式中系数的求解方法 关键词 非正弦振动正弦波叠加 CrackCrack thethe non sinnon sin oscillatingoscillating expressionexpression broughtbrought forwardforward byby JapanJapan 2sin 1 tifAy m i i ZengJing YangLaDao YangChaowu LeiHua WangRong Xi an Heavy Machinery Research Institute Xi an 710032 China Abstract Crack the non sin oscillating expression brought by Japan in 1992 and give a way to calculate the coefficient in this expression Key words no sin oscillatesuperposition of sine waves 1992 年 日本 鐵 鋼 第 78 年 1992 第 1 号发表了一篇题为 高速鑄造時 鑄型內論熱 潤滑舉動 鑄型振動波形 影響 的文章 第 113 120 页 文章中给出了偏斜正弦波可以用多个正弦波叠加而产生的 基本概念 其具体表达式如下 1 2sin 1 tifAy m i n 式中 为振动的频率 f 为第 个正弦波的振幅 i Ai 为时间 t 该公式中所涉及的系数的求解 文章中没有公布具体的算法 振动曲线的位移 速度 加速度图像形状大 i A 致如图 1 所示 位移速度 加速度 图 1 位移 速度 加速度形式 从已知的测量数据及其系数来看 该曲线的加速度和其他类似的非正弦振动曲线的加速度相比是比较小的 由 于是由多个正弦波的叠加而产生 该振动曲线具有任意阶导数 即速度 加速度 跃度全部光滑可导 在不考虑加速度图像存在二类间断点的情况下 可以构建形如图 2 所示的非正弦振动的速度曲线 图中的 BC 237 段和 DF 段均为直线且其斜率互为倒数 若在振动曲线的偏斜率 频率为 冲程为一定的情况下该曲线在 fh 至时间内或至时间内加速度小于任何形式的振动曲线 但该曲线明显不可导 从理论上讲加速度图像 B t D t D t F t 存在二类间断点 在 B 点 F 点的加速度趋于无穷大 如果想在此基础上去掉二类间断点并保留 BD 段和 DF 段加速度 的优越性 则可采用傅立叶三角级数去表达该速度曲线 图 2 构建的速度曲线 确立构建的速度曲线的相关参数 确立构建的速度曲线的相关参数 该速度曲线分为 4 个部分 每段均为直线 水平段 AB 斜线段 BD 斜线段 DF 水平段 FG 其中 C E 两点处 的速度为零 对应位移曲线的波峰和波谷 对应时间上和的两个时刻 f4 1 f4 3 由于斜线段 BD 斜线段 DF 与时间轴所围成的面积必须等于冲程 才能保证曲线为周期性的振动曲线 设最大的h 速度为 建立方程 max V hVtt CE max 2 1 1 4 max fh V 设水平段 AB 的速度为 斜线段 BD 的斜率为 斜线段 DF 的斜率为 则 0 vk k 0 0 4 3 4 1 v f tk f tk v GF FD DB BA ttt ttt ttt ttt 式 1 其中斜率 因此式 1 也可以写成 2 2 max 1 16 4 1 1 4 hf f fh tt V k DE 238 0 2 2 2 2 0 2 1 4 1 1 16 4 1 1 16 v ff t hf f t hf v GF FD DB BA ttt ttt ttt ttt 式 2 因为直线段 AB 斜线段 BC 与时间轴所围城的面积是 设从点 B 到点 C 的时间为 建立以下方程 2 h 2 t 22 4 1 4 1 02 20 h vt ff tkv f t fh v 4 1 1 14 2 2 2 2 0 因为 所以 如果 当时显然不合理 所 f t 4 1 2 ff4 1 4 1 2 f t 4 1 2 2 10 以应当舍去这组解 因此 f t fh v 4 1 1 14 2 2 2 2 0 f t fh v 4 1 1 14 2 2 2 2 0 确立构建的速度曲线的位移表达式 确立构建的速度曲线的位移表达式 将式 2 积分就可以得到位移的表达式如下 f tv B ff t hf A f t hf tv 1 2 1 4 1 1 8 4 1 1 8 0 2 2 2 2 2 2 0 GF FD DB BA ttt ttt ttt ttt 其中 A B 为常数 由原函数必连续的定理知位移图像在时刻 也连续 建立方程如下 B t F t FF BB tvB f t hf tvA f t hf 0 2 2 2 0 2 2 2 4 1 1 8 4 1 1 8 2 2 h B h A 239 所以位移的最终表达式为 f tv h ff t hf h f t hf tv 1 22 1 4 1 1 8 24 1 1 8 0 2 2 2 2 2 2 0 GF FD DB BA ttt ttt ttt ttt 式 3 确立构建的速度曲线的加速度表达式 确立构建的速度曲线的加速度表达式 将式 2 求导就可以得到加速度的表达式如下 0 1 16 1 16 0 2 2 2 2 hf hf GF FD DB BA ttt ttt ttt ttt 式 4 傅立叶三角级数的表达傅立叶三角级数的表达 三角级数表达形式为 2sin 1 ftnAy m i n 从表达式 3 可知 该分段函数满足 狄里克雷 条件 可以用傅立叶三角级数表示 首先对式 3 式进行奇拓延 使函数的定义域范围界定在区间上 2 2 TT 由傅立叶三角级数一般项系数的求解公式 给出的显式表达 n A dtftn h tdtftntv L A BD B tt t n 0 2 0 2sin 2 2sin 2 式中 ff tB 4 1 4 1 2 f4 1 2 2 1 8 hf 2 2 0 1 14 fh v f tD 2 1 令 其中 CBA L An 2 04 2sin 2cos 2 2sin 222 0 0 0 B tt nf vftfnftfnfn dtftntvA B B D t t t t nf ftntfnftntnf dtftntB D B 333 2 222 2 4 2sin22cos21 2sin 240 B D t t t t fn h dtftn h C D B 4 ft2ncos 2sin 2 化简后表达如下 23 3 2 2 3 2 2 2 0 1 1cos8 222221 2 1 21 1 222 n nh n ftnCosh nf ftnSintfnftnCostfn n h nf f fn nf vftnCosftnftnSin A n BBBBB n BBB n 式 5 对于由多个正弦波叠加的非正弦振动曲线来说 工程上只能使用有限的正弦波个数 一般为 3 5 项 因此在 对构建曲线进行了有 3 5 项傅立叶三角级数替换后 与原构建曲线在着一定的差异 如图 3 所示 也正是由于有 限的正弦波的个数使得该曲线在维持了原构建曲线小加速度的特性的同时 且具有了任意阶导函数 即速度 加速 度 跃度均光滑可导 图 3 叠加正弦波和构建曲线的差异 由于对工程上使用有限的正弦波进行叠加 必然导致计算结果和原构造曲线之间在振幅和偏斜率上存在一 定的偏差 因此可以通过计算机程序采用二分法得到真实的偏斜率 然后在此基础上对所有参与叠加的正弦波 的振幅统一乘以一个修正系数 便可得到所要求的精确振幅 从式 5 可知系数与频率无关 因此可设非正弦振动曲线的冲程为单位 1 频率为 1 次 分钟建立 n A 一张加速度 系数与偏斜率的关系表 如表 1 所示 省略部分表格 并以此为基础通过简单的换算关系得出 各种振幅及各种偏斜率的非正弦振动的全部系数及最大加速度 241 5 项5 项 偏斜率 A1A2A3A4A5Amax 偏斜率 A1A2A3A4A5Amax 34 10 0 44661 0 133130 03171 0 002460 000000 0117137 50 0 43953 0 141590 04049 0 005900 000000 01308 34 20 0 44641 0 133400 03197 0 002540 000000 0117537 60 0 43931 0 141820 04075 0 006020 000000 01312 34 30 0 44620 0 133660 03223 0 002630 000000 0117837 70 0 43910 0 142050 04101 0 006140 000000 01316 34 40 0 44600 0 133930 03248 0 002710 000000 0118237 80 0 43888 0 142280 04127 0 006260 000000 01321 34 50 0 44579 0 134190 03274 0 002790 000000 0118637 90 0 43867 0 142510 04153 0 006390 000000 01325 34 60 0 44559 0 134450 03299 0 002880 000000 0118938 00 0 43845 0 142730 04179 0 006510 000000 01330 34 70 0 44538 0 134720 03325 0 002970 000000 0119338 10 0 43823 0 142960 04206 0 006640 000000 01334 34 80 0 44518 0 134980 03351 0 003060 000000 0119738 20 0 43802 0 143180 04232 0 006770 000000 01339 34 90 0 44497 0 135240 03377 0 003150 000000 0120138 30 0 43780 0 143400 04258 0 006900 000000 01343 35 00 0 44476 0 135490 03402 0 003240 000000 0120538 40 0 43758 0 143620 04284 0 007030 000000 01348 35 10 0 44456 0 135750 03428 0 003330 000000 0120938 50 0 43736 0 143840 04310 0 007160 000000 01352 35 20 0 44435 0 136010 03454 0 003420 000000 0121338 60 0 43714 0 144060 04336 0 007300 000000 01357 35 30 0 44414 0 136260 03479 0 003520 000000 0121638 70 0 43692 0 144280 04362 0 007430 000000 01361 35 40 0 44394 0 136520 03505 0 003610 000000 0122038 80 0 43669 0 144500 04388 0 007570 000000 01366 35 50 0 44373 0 136770 03531 0 003710 000000 0122438 90 0 43647 0 144720 04414 0 007700 000000 01371 35 60 0 44352 0 137020 03557 0 003810 000000 0122839 00 0 43625 0 144930 04441 0 007840 000000 01375 35 70 0 44332 0 137270 03583 0 003910 000000 0123239 10 0 43602 0 145150 04467 0 007980 000000 01380 35 80 0 44311 0 137520 03608 0 004010 000000 0123639 20 0 43580 0 145360 04493 0 008120 000000 01385 35 90 0 44290 0 137770 03634 0 004110 000000 0124039 30 0 43557 0 145570 04519 0 008260 000000 01390 36 00 0 44269 0 138020 03660 0 004210 000000 0124439 40 0 43534 0 145780 04545 0 008400 000000 01394 36 10 0 44248 0 138260 03686 0 004320 000000 0124839 50 0 43512 0 146000 04572 0 008540 000000 01399 36 20 0 44228 0 138510 03712 0 004420 000000 0125339 60 0 43489 0 146210 04598 0 008690 000000 01404 36 30 0 44207 0 138750 03738 0 004530 000000 0125739 70 0 43466 0 146410 04624 0 008830 000000 01409 36 40 0 44186 0 138990 03764 0 004640 000000 0126139 80 0 43443 0 146620 04650 0 008980 000000 01414 36 50 0 44165 0 139230 03790 0 004740 000000 0126539 90 0 43420 0 146830 04676 0 009130 000000 01418 36 60 0 44144 0 139480 03816 0 004850 000000 0126940 00 0 43410 0 147080 04704 0 009280 000160 01424 36 70 0 44123 0 139710 03841 0 004970 000000 0127340 10 0 43389 0 147290 04731 0 009430 000180 01429 36 80 0 44102 0 139950 03867 0 005080 000000 0127740 20 0 43367 0 147500 04757 0 009580 000200 01434 36 90 0 44081 0 140190 03893 0 005190 000000 0128240 30 0 43346 0 147710 04783 0 009740 000220 01439 37 00 0 44059 0 140430 03919 0 005310 000000 01286