解读定积分与微积分基本定理

解读定积分与微积分基本定理解读定积分与微积分基本定理 一 知识点精析 知识点 1 曲边梯形的面积 曲边梯形是曲线与平行于轴的直线 和轴所围成的图形 yf x yxa xb x 通常称为曲边梯形 求曲边梯形面积可分为四个步骤 1 分割 将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形 从区间上看 用 ab 个分点将区间分成个小区间 不一定相等 1n ab n 2 近似代替 在每个小区间内任取一点 1 12 ii xxin 以为高 为底的小矩形面积为 用它 11 iii i f 1iii xxx ii fx 作为相应的小曲边梯形面积的近似值 3 求和 将分割成的个矩形面积加起来 其和为 它是所求曲边梯n 1 n ii i fx 形的面积的近似值 4 取极限 将曲边梯形无限的细分 即分点越多 上面的近似值就越 1 i n ix i f 接近于曲边梯形的面积 当中的最大值时 的极限 i x max0 i x 1 n ii i fx 存在 则这个极限值就是曲边梯形的面积 0 1 lim n ii i i fx 知识点 2 定积分 设函数定义在区间上 用分点 yf x ab 0121nn axxxxxb 把区间分成个小区间 其长度依次为 记为这 ab n 1 0121 iii xxx in 些小区间长度的最大值 当趋近于时 所有的小区间的长度都趋近于 在每个小区 00 间内任取一点 作和式 当时 如果和式的极限存在 我们把 i 1 0 n nii i Ifx 0 和式的极限叫做函数在区间上的定积分 记作 即 n I f x ab b a f x dx 其中 叫做被积函数 叫积分下限 叫积分上限 1 0 0 lim n b ii a i f x dxfx f xab 叫做被积式 此时称函数在区间上可积 f x dx f x ab 理解说明 1 定积分是 和式 的极限值 它的值取决于被积函数和积分上 b a f x dx f x 限 下限 而与积分变量用什么字母表示无关 即 称为积分形式的不变性 bbb aaa f x dxf u duf t dt 2 在定积分的定义中 总是假设 而当及时 不难验 b a f x dx ab ab ab 证 这就是说当定积分的上限和下限相同时 定 0 a b f x dx ba ab f x dxf x dx 积分的值为零 当交换定积分的上限和下限时 定积分的绝对值相同 只相差一个负号 3 在区间上求连续函数的定积分 可归结为 分割 近似代替 求和 ab f x 取极限四步 因此用定义求定积分的一般步骤 分割 将区间等分成个小区间 近似代替 取点 ab n 求和 取极限 1 012 31 iii xxin 1 0 n i i ba f n A 1 0 0 lim n b i a i ba f x dxf n 知识点 3 定积分的几何意义 一般情况下 定积分的几何意义是表示由轴 曲线以及直线 b a f x dx x yf x 所围成的曲边梯形的面积的代数和 xa xb 在区间上 当函数时 曲边梯形位于轴的上方 定积分 ab 0f x x 的几何意义是由轴 曲线以及直线 所围成的曲边梯形 b a f x dx x yf x xa xb 的面积 即 S b a Sf x dx 当函数时 曲边梯形位于轴的下方 在右端的 0f x x 0 lim b ii ai f x dxfx 和式中 由于 所以有 从而定积分的值为0 i x 0 i f 0 ii fx b a f x dx 负值 此时由轴 曲线以及直线 所围成的曲边梯形的面积应x yf x xa xb S 是或 b a Sf x dx b a Sf x dx 因此在用定积分求平面图形的面积时 首先要确定被积函数 积分变量 积分上限下 限 其一般步骤为 画出图形 将其适当分割成若干个曲边梯形 对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限 用定积分表示其面积 计算各个定积分 求出所求的面积 知识点 4 微积分基本定理 如果 且在上可积 则 这个结 F xf x f x ab b a f x dxF bF a 论叫微积分基本定理 其中叫做的一个原函数 也常记为 F x f x b b a a f x dxF xF bF a 理解说明 1 由于 所以也是函数的原函数 其中为常 F xCf x F xC f xC 数 2 利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的一个原 b a f x dx f x 函数 通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则 从反方向上 F x 求出 因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算 F x 二 应注意的几点 1 根据定积分定义求定积分 往往比较困难 利用微积分基本定理求定积分比较方 便 2 利用定积分求所围成的平面图形的面积 要用数形结合的方法确定被积函数和积分 上下限 3 与有不同的几何意义 绝不能等同看待 由 b a f x dx b a f x dx b a f x dx 于被积函数在闭区间上可正可负 因而它的图象可都在轴的上方 也可都 f x ab x 在轴的下方 还可以在轴的上下两侧 所以表示轴 曲线以及xx b a f x dx x yf x 直线