初中数学重要知识点总结

1 线线 1 基本概念 基本概念 图形直线射线线段 端点个数无一个两个 表示法直线 a 直线 AB BA 射线 AB 线段 a 线段 AB BA 作法叙述作直线 AB 作直线 a作射线 AB作线段 a 作线段 AB 连接 AB 延长叙述 不能延长 反向延长射线 AB延长线段 AB 反向 延长线段 BA 2 直线的性质 直线的性质 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 简单地 两点确定一条直线 3 画一条线段等于已知线段 画一条线段等于已知线段 1 度量法 2 用尺规作图法 4 线段的大小比较方法 线段的大小比较方法 1 度量法 2 叠合法 5 线段的中点 二等分点 线段的中点 二等分点 三等分点 四等分点等 三等分点 四等分点等 定义 把一条线段平均分成两条相等线段的点 图形 符号 若点 M 是线段 AB 的中点 则 AM BM AB AB 2AM 2BM 6 线段的性质 线段的性质 两点的所有连线中 线段最短 简单地 两点之间 线段最短 7 两点的距离 两点的距离 连接两点的线段长度叫做两点的距离 8 点与直线的位置关系 点与直线的位置关系 1 点在直线上 A M B 2 2 点在直线外 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 4 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 5 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 6 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 7 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 8 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 9 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 等边三角形等边三角形 1 推论 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 2 推论 三个角都相等的三角形是等边三角形 3 推论 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 等腰三角形等腰三角形 1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角 2 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 3 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 4 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等 角对等边 角角 1 角 角 由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 2 角的表示法 四种 角的表示法 四种 用三个字母及角的符号 表示 中间的字母表示顶点 其他两个字母分别表示角的两 边上的店 当顶点处只有一个角时 可用表示顶点的这个字母来表示该角 用一个数字表示一个角 用一个希腊字母表示一个角 3 3 角的分类 角的分类 锐角 直角 钝角平角 周角 范围0 90 90 90 0 时 y 随 x 的增大而增大 直线 y kx 经过一 三象限 从左到右直线上升 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 直线 y kx b k 0 是上升的 3 当 k0 b 0 直线经过一 二 三象限 2 k 0 b 0 直线经过一 三 四象限 3 k0 直线经过一 二 四象限 4 k 0 b0 则 kx b 0 若 y 0 则 kx b 0 4 一元一次不等式 y1 kx b y2 y1 y2都是已知数 且 y10 时 图象的两个分支分别在一 三象限内 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 当 ka bx ax 不等式组的解集是 xx b bx ax 不等式组的解集是空集 9 几个重要的判断 yx xy yx 0 0 yx xy yx 0 0 yx xy yx 0 0 yx xy yx 0 0 整式的乘除整式的乘除 1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 am an am n 底数不变 指数相加 2 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方与积的乘方 am n amn 底数不变 指数相乘 ab n anbn 积的乘方等 于各因式乘方的积 3 单项式的乘法 单项式的乘法 系数相乘 相同字母相乘 只在一个因式中含有的字母 连同指数写 在积里 4 单项式与多项式的乘法 单项式与多项式的乘法 m a b c ma mb mc 用单项式去乘多项式的每一项 再 把所得的积相加 5 多项式的乘法 多项式的乘法 a b c d ac ad bc bd 先用多项式的每一项去乘另一个多项式的 每一项 再把所得的积相加 6 乘法公式 乘法公式 1 平方差公式 a b a b a2 b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平 方差 2 完全平方公式 b a b a b a b a 11 a b 2 a2 2ab b2 两个数和的平方 等于它们的平方和 加上它们的积的 2 倍 a b 2 a2 2ab b2 两个数差的平方 等于它们的平方和 减去它们的积的 2 倍 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 略 7 配方 配方 1 若二次三项式 x2 px q 是完全平方式 则有关系式 q p 2 2 2 二次三项式 ax2 bx c 经过配方 总可以变为 a x h 2 k 的形式 利用 a x h 2 k 可以判断 ax2 bx c 值的符号 当 x h 时 可求出 ax2 bx c 的最大 或最小 值 k 3 注意 2 11 2 2 2 x x x x 8 同底数幂的除法 同底数幂的除法 am an am n 底数不变 指数相减 9 零指数与负指数公式 零指数与负指数公式 1 a0 1 a 0 n n a a 1 a 0 注意 00 0 2无意义 2 有了负指数 可用科学记数法记录小于 1 的数 例如 0 2 01 10 5 10 单项式除以单项式 单项式除以单项式 系数相除 相同字母相除 只在被除式中含有的字母 连同它 的指数作为商的一个因式 11 多项式除以单项式 多项式除以单项式 先用多项式的每一项除以单项式 再把所得的商相加 12 多项式除以多项式 多项式除以多项式 先因式分解后约分或竖式相除 注意 被除式 余式 除式 商式 13 整式混合运算 整式混合运算 先乘方 后乘除 最后加减 有括号先算括号内 线段 角 相交 线与平行线 几何几何 A 级概念 要求深刻理解 熟练运用 主要用于几何证明 级概念 要求深刻理解 熟练运用 主要用于几何证明 1 角平分线的定义 一条射线把一个角分成 两个相等的部分 这条 射线叫角的平分线 如 图 几何表达式举例 1 OC 平分 AOB AOC BOC 2 AOC BOC OC 是 AOB 的平分线 2 线段中点的定义 几何表达式举例 O C A B 12 点 C 把线段 AB 分成两 条相等的线段 点 C 叫 线段中点 如图 1 C 是 AB 中点 AC BC 2 AC BC C 是 AB 中点 3 等量公理 如图 1 等量加等量和相等 2 等量减等量差相等 3 等量的等倍量相等 4 等量的等分量相等 几何表达式举例 1 AC DB AC CD DB CD 即 AD BC 2 AOC DOB AOC BOC DOB B OC 即 AOB DOC 3 BOC GFM 又 AOB 2 BOC EFG 2 GFM AOB EFG 4 ABAC 2 1 EFEG 2 1 又 AB EF AC EG 4 等量代换 几何表达式举例 a c b c a b 几何表达式举例 a c b d 又 c d a b 几何表达式举例 a c d b c d a b 5 补角重要性质 同 角或等角的补角相等 如 图 几何表达式举例 1 3 180 2 4 180 又 3 4 1 2 ACB A CBD O C A D B O C A B F M E G ACBEFG 31 42 13 6 余角重要性质 同 角或等角的余角相等 如 图 几何表达式举例 1 3 90 2 4 90 又 3 4 1 2 7 对顶角性质定理 对顶角相等 如图 几何表达式举例 AOC DOB 又 AOC AOD 180 DOB BOC 180 AOD BOC 8 两条直线垂直的定义 两条直线相交成四个 角 有一个角是直角 这两条直线互相垂直 如 图 几何表达式举例 1 AB CD 互相垂直 COB 90 2 COB 90 AB CD 互相垂直 9 三直线平行定理 两条直线都和第三条直 线平行 那么 这两条 直线也平行 如图 几何表达式举例 AB EF 又 CD EF AB CD 10 平行线判定定理 两条直线被第三条直线 所截 1 若同位角相等 两 条直线平行 如图 2 若内错角相等 两 条直线平行 如图 3 若同旁内角互补 两条直线平行 如图 几何表达式举例 1 GEB EFD AB CD 2 AEF DFE AB CD 3 BEF DFE 180 AB CD 11 平行线性质定理 1 两条平行线被第三 条直线所截 同位角相 几何表达式举例 1 AB CD GEB EFD 3 1 2 4 C O A B D D B C O A A C D E F B F G B E A H DC F G B E A H DC 14 等 如图 2 两条平行线被第三 条直线所截 内错角相 等 如图 3 两条平行线被第三 条直线所截 同旁内角 互补 如图 2 AB CD AEF DFE 3 AB CD BEF DFE 180 几何几何 B 级概念 要求理解 会讲 会用 主要用于填空和选择题 级概念 要求理解 会讲 会用 主要用于填空和选择题 一 基本概念 直线 射线 线段 角 直角 平角 周角 锐角 钝角 互为补角 互为余角 邻补 角 两点间的距离 相交线 平行线 垂线段 垂足 对顶角 延长线与反向延长线 同位 角 内错角 同旁内角 点到直线的距离 平行线间的距离 命题 真命题 假命题 定义 公理 定理 推论 证明 二 定理 1 直线公理 过两点有且只有一条直线 2 线段公理 两点之间线段最短 3 有关垂线的定理 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中 垂线段最短 4 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 三 公式 直角 90 平角 180 周角 360 1 60 1 60 四 常识 1 定义有双向性 定理没有 2 直线不能延长 射线不能正向延长 但能反向延长 线段能双向延长 3 命题可以写为 如果 那么 的形式 如果 是命题的条件 那么 是命题的结论 4 几何画图要画一般图形 以免给题目附加没有的条件 造成误解 5 数射线 线段 角的个数时 应该按顺序数 或分类数 6 几何论证题可以运用 分析综合法 方程分析法 代入分析法 图形观察法 四种方 15 法分析 7 方向角 1 2 8 比例尺 比例尺 1 m 中 1 表示图上距离 m 表示实际距离 若图上 1 厘米 表示实 际距离 m 厘米 9 几何题的证明要用 论证法 论证要求规范 严密 有依据 证明的依据是学过的定 义 公理 定理和推论 有理数的基础知识有理数的基础知识 1 三个重要的定义 三个重要的定义 1 正数 像 1 2 5 这样大于 0 的数叫做正数 2 负数 在正数前面加上 号 表示比 0 小的数叫做负数 3 0 即不是正数也不是负数 2 有理数的分类 有理数的分类 1 按定义分类 2 按性质符号分类 北 西北 西南 东北 东南 南 西东 30 60 东偏北 30 南偏东 60 整数 分数 有理数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正有理数 负有理数 有理数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 16 3 数轴数轴 数轴有三要素 原点 正方向 单位长度 画一条水平直线 在直线上取一点表示 0 叫做原点 选取某一长度作为单位长度 规 定直线上向右的方向为正方向 就得到数轴 在数轴上的所表示的数 右边的数总比左边的数 大 所以正数都大于 0 负数都小于 0 正数大于负数 4 相反数 相反数 如果两个数只有符号不同 那么其中一个数就叫另一个数的相反数 0 的相反数是 0 互 为相反的两上数 在数轴上位于原点的两则 并且与原点的距离相等 5 绝对值绝对值 1 绝对值的几何意义 一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离 2 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身 0 的绝对值是 0 一个负数的绝对值 是它的相反数 可用字母 a 表示如下 3 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 有理数的运算有理数的运算 1 有理数的加法 有理数的加法 1 有理数的加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 绝对值不等 的异号两数相加 取绝对值较大数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反 的两个数相加得 0 一个数同 0 相加 仍得这个数 2 有理数加法的运算律 加法的交换律 a b b a 加法的结合律 a b c a b c 用加法的运算律进行简便运算的基本思路是 先把互为相反数的数相加 把同分母的分 数先相加 把符号相同的数先相加 把相加得整数的数先相加 2 有理数的减法 有理数的减法 1 有理数减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数 a a 0 a a 0 a 0 a 0 17 2 有理数减法常见的错误 顾此失彼 没有顾到结果的符号 仍用小学计算的习惯 不把减法变加法 只改变运算符号 不改变减数的符号 没有把减数变成相反数 3 有理数加减混合运算步骤 先把减法变成加法 再按有理数加法法则进行运算 3 有理数的乘法 有理数的乘法 1 有理数乘法的法则 两个有理数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任 何数与 0 相乘都得 0 2 有理数乘法的运算律 交换律 ab ba 结合律 ab c a bc 交换律 a b c ab ac 3 倒数的定义 乘积是 1 的两个有理数互为倒数 即 ab 1 那么 a 和 b 互为倒数 倒 数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来 4 有理数的除法 有理数的除法 有理数的除法法则 除以一个数 等于乘上这个数的倒数 0 不能做除数 这个法则可以 把除法转化为乘法 除法法则也可以看成是 两个数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以 任何一个不等于 0 的数都等于 0 5 有理数的乘法 有理数的乘法 1 有理数的乘法的定义 求几个相同因数 a 的运算叫做乘方 乘方是一种运算 是几 个相同的因数的特殊乘法运算 记做 an 其中 a 叫做底数 表示相同的因数 n 叫做指数 表 示相同因数的个数 它所表示的意义是 n 个 a 相乘 不是 n 乘以 a 乘方的结果叫做幂 2 正数的任何次方都是正数 负数的偶数次方是正数 负数的奇数次方是负数 6 有理数的混合运算 有理数的混合运算 1 进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加 减 乘 除 乘方的运算法则 运算律 及运算顺序 比较复杂的混合运算 一般可先根据题中的加减运算 把算式分成几段 计算 时 先从每段的乘方开始 按顺序运算 有括号先算括号里的 同时要注意灵活运用运算律 简化运算 2 进行有理数的混合运算时 应注意 一是要注意运算顺序 先算高一级的运算 再算低一级的运算 二是要注意观察 灵活运用运算律进行简便运算 以提高运算速度及运算能力 方程方程 18 1 方程的概念 方程的概念 1 含有未知数的等式叫方程 2 在一个方程中 只含有一个未知数 并且未知数的指数是 1 系数不为 0 这样的 方程叫一元一次方程 2 等式的基本性质 等式的基本性质 1 等式两边同时加上 或减去 同一个代数式 所得结果仍是等式 若 a b 则 a c b c 或 a c b c 2 等式两边同时乘以 或除以 同一个数 除数不能为 0 所得结果仍是等式 若 a b 则 ac bc 或 a c b c 3 对称性 等式的左右两边交换位置 结果仍是等式 若 a b 则 b a 4 传递性 如果 a b 且 b c 那么 a c 这一性质叫等量代换 解方程解方程 1 移项的有关概念 移项的有关概念 把方程中的某一项改变符号后 从方程的一边移到另一边 叫做移项 这个法则是根据等式的性质 1 推出来的 是解方程的依据 要明白移项就是根据解方程 变形的需要 把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边 移动的项一定要变号 2 解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的步骤 1 去分母 等式的性质 2 注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项 切记不可漏乘某一项 分母是小数的 要先 利用分数的性质 把分母化为整数 若分子是代数式 则必加括号 2 去括号 去括号法则 乘法分配律 严格执行去括号的法则 若是数乘括号 切记 不漏乘括号内的项 减号后去括号 括号内各项的符号一定要变号 3 移项 等式的性质 1 越过 的叫移项 属移项者必变号 未移项的项不变号 注意不遗漏 移项时把含未 知数的项移在左边 已知数移在右边 书写时 先写不移动的项 把移动过来的项改变符号 写在后面 4 合并同类项 合并同类项法则 注意在合并时 仅将系数加到了一起 而字母及其指数均不改变 5 系数化为 1 等式的性质 2 两边同除以未知数的系数 记住未知数的系数永远是分母 除数 切不可分子 分母颠 倒 19 6 检验 列方程解应用题列方程解应用题 1 列方程解应用题的一般步骤 列方程解应用题的一般步骤 1 将实际问题抽象成数学问题 2 分析问题中的已知量和未知量 找出等量关系 3 设未知数 列出方程 4 解方程 5 检验并作答 2 一些实际问题中的规律和等量关系 一些实际问题中的规律和等量关系 1 日历上数字排列的规律是 横行每整行排列 7 个连续的数 竖列中 下面的数比上 面的数大 7 日历上的数字范围是在 1 到 31 之间 不能超出这个范围 2 几种常用的面积公式 长方形面积公式 S ab a 为长 b 为宽 S 为面积 正方形面积公式 S a2 a 为边长 S 为面积 梯形面积公式 a b 为上下底边长 h 为梯形的高 S 为梯形面积 hbS a 2 1 圆形的面积公式 r 为圆的半径 S 为圆的面积 2 rS 三角形面积公式 a 为三角形的一边长 h 为这一边上的