课时跟踪检测(五十三)　最值、范围、证明问题(选用)

课时跟踪检测 五十三 最值 范围 证明问题 选用 分 卷 共 2 页 第 卷 夯基保分卷 1 已知抛物线 C x2 2py p 0 其焦点 F 到准线的距离为 1 2 1 试求抛物线 C 的方程 2 设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t t 0 过 P 的直线交 C 于另一点 Q 交 x 轴于 M 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N 若 MN 是 C 的切线 求 t 的最小值 2 已知椭圆 C 1 a b 0 的一个焦点是 F 1 0 且离心率为 x2 a2 y2 b2 1 2 1 求椭圆 C 的方程 2 设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M N 两点 线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P 0 y0 求 y0的取值范围 3 2013 南京二模 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 以原点为圆心 椭圆 C 的短半轴 x2 a2 y2 b2 3 2 长为半径的圆与直线 x y 2 0 相切 1 求椭圆 C 的方程 2 已知点 P 0 1 Q 0 2 设 M N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点 直线 PM 与 QN 相交于点 T 求证 点 T 在椭圆 C 上 第 卷 提能增分卷 1 2014 石家庄模拟 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 1 0 F2 1 0 x2 a2 y2 b2 过 F1作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 A B 两点 1 若 ABF2为正三角形 求椭圆的离心率 2 若椭圆的离心率满足 0 e O 为坐标原点 求证 OA 2 OB 2 AB 2 5 1 2 2 2013 西安质检 如图 已知中心为坐标原点 O 焦点在 x 轴上 的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为 2 的 正方形 1 求椭圆的标准方程 2 过点 P 0 2 的直线 l 与椭圆交于 A B 两点 当 OAB 面积最大 时 求直线 l 的方程 答 案 第 卷 夯基保分卷 1 解 1 因为焦点 F 到准线的距离为 所以 p 故抛物线 C 的方程为 x2 y 1 2 1 2 2 设 P t t2 Q x x2 N x0 x 则直线 MN 的方程为 y x 2x0 x x0 2 02 0 令 y 0 得 M x0 2 0 所以 kPM kNQ x0 x t2 t x0 2 2t2 2t x0 x2 0 x2 x0 x 因为 NQ QP 且两直线斜率存在 所以 kPM kNQ 1 即 x0 x 1 2t2 2t x0 整理 得 x0 2t2x 2t 1 2t2 又 Q x x2 在直线 PM 上 则与共线 得 x0 MQ MP 2xt x t 由 得 t 0 2t2x 2t 1 2t2 2xt x t 所以 t x2 1 3x 所以 t 或 t 舍去 2 3 2 3 所以所求 t 的最小值为 2 3 2 解 1 设椭圆 C 的半焦距为 c 依题意 得 c 1 因为椭圆 C 的离心率为 e 1 2 所以 a 2c 2 b2 a2 c2 3 故椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 2 当 MN x 轴时 显然 y0 0 当 MN 与 x 轴不垂直时 可设直线 MN 的方程为 y k x 1 k 0 由Error 消去 y 并整理得 3 4k2 x2 8k2x 4 k2 3 0 设 M x1 y1 N x2 y2 线段 MN 的中点为 Q x3 y3 则 x1 x2 8k2 3 4k2 所以 x3 x1 x2 2 4k2 3 4k2 y3 k x3 1 3k 3 4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y 3k 3 4k2 1 k x 4k2 3 4k2 在上述方程中 令 x 0 得 y0 k 3 4k2 1 3 k 4k 当 k 0 时 4k 4 3 k3 当且仅当 4k k 时等号成立 3 k 3 2 当 k 0 时 4k 4 当且仅当 4k k 时等号成立 3 k3 3 k 3 2 所以 y0 0 或 0 y0 3 12 3 12 综上 y0的取值范围是 3 12 3 12 3 解 1 由题意知椭圆 C 的短半轴长为圆心到切线的距离 即 b 2 22 因为离心率 e c a 3 2 所以 所以 a 2 b a 1 c a 2 1 22 所以椭圆 C 的方程为 1 x2 8 y2 2 2 由题意可设 M N 的坐标分别为 x0 y0 x0 y0 则直线 PM 的方程为 y x 1 y0 1 x0 直线 QN 的方程为 y x 2 y0 2 x0 设 T 点的坐标为 x y 联立 解得 x0 y0 x 2y 3 3y 4 2y 3 因为 1 x2 0 8 y2 0 2 所以 2 2 1 1 8 x 2y 3 1 2 3y 4 2y 3 整理得 2y 3 2 所以 12y 8 4y2 12y 9 即 1 x2 8 3y 4 2 2 x2 8 9y2 2 x2 8 y2 2 所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程 即点 T 在椭圆 C 上 第 卷 提能增分卷 1 解 1 由椭圆的定义知 AF1 AF2 BF1 BF2 AF2 BF2 AF1 BF1 即 F1F2 为边 AB 上的中线 F1F2 AB 在 Rt AF1F2中 cos 30 则 2c 4a 3 c a 3 3 椭圆的离心率为 3 3 2 设 A x1 y1 B x2 y2 0 e c 1 a 5 1 2 1 5 2 当直线 AB 与 x 轴垂直时 1 1 a2 y2 b2 y2 x1x2 y1y2 1 b4 a2 OA OB b4 a2 a4 3a2 1 a2 a2 3 2 2 5 4 a2 a2 0 3 5 2 OA OB AOB 恒为钝角 OA 2 OB 2 AB 2 当直线 AB 不与 x 轴垂直时 设直线 AB 的方程为 y k x 1 代入 1 x2 a2 y2 b2 整理得 b2 a2k2 x2 2k2a2x a2k2 a2b2 0 x1 x2 x1x2 2a2k2 b2 a2k2 a2k2 a2b2 b2 a2k2 x1x2 y1y2OA OB x1x2 k2 x1 1 x2 1 x1x2 1 k2 k2 x1 x2 k2 a2k2 a2b2 1 k2 2a2k4 k2 b2 a2k2 b2 a2k2 k2 a2 b2 a2b2 a2b2 b2 a2k2 k2 a4 3a2 1 a2b2 b2 a2k2 令 m a a4 3a2 1 由 可知 m a 0 AOB 恒为钝角 恒有 OA 2 OB 2 AB 2 2 解 1 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由已知得Error 解得Error 所以所求椭圆的标准方程为 y2 1 x2 2 2 根据题意可知直线 l 的斜率存在 故设直线 l 的方程为 y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 由方程组Error 消去 y 得关于 x 的方程 1 2k2 x2 8kx 6 0 由直线 l 与椭圆相交于 A B 两点 则有 0 即 64k2 24 1 2k2 16k2 24 0 解得 k2 3 2 由一元二次方程的根与系数的关系 得 Error 故 AB x1 x2 1 k2 16k2 24 2k2 11 k2 又因为原点 O 到直线 l 的距离 d k 0 0 2 1 k2 2 1 k2