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第九章无穷级数习题课 一 常数项级数 一 定义及性质 2 敛散性定义 3 性质 必要性 线性运算性质 则级数收敛 否则级数发散 设级数为常数 则 设 如果存在 级数收敛 1 常数项级数 4 常数项级数类型 正项级数 交错级数 任意项级数 常数项级数 二 判别常数项级数收敛的解题方法 若成立 则需作进一步的判别 成立 若不成立 则可判定级数发散 此时可将常数项级数分为两大类 即正项级数与任意项级数 对于正项级数 可优先考虑应用比值法或根值法 若此二方法失效 则可利用比较法 或定义 作进一步判别 若不收敛 但级数是交错级数 可考虑应用莱布尼兹判别法 若能判别级数收敛 则原级数条件收敛 对于一般的任意项级数 则可考虑利用利用级数收敛定义 性质等判别 解题方法流程图如下图所示 对于任意项级数 一般应先考虑正项级数是否收敛 若收敛 则可判定原级数收敛 且为绝对收敛 解题方法流程图 Yes 判断的敛散性 比值法 根值法 比较法 找正项收敛级数 找正项发散级数 用其它方法证明 No No No Yes 为正项级数 为任意项级数 绝对收敛 三 典型例题 由定义 所以原级数收敛 且和为1 例1 判别级数的收敛性 并求级数的和 分析 此级数为正项级数 由于 因此可利用定义求 解 由于 由级数收敛的必要条件 原级数发散 例2 判别级数的收敛性 分析 此级数为正项级数 因为分别求分 子 分母的极限不为0 由级数收敛的必要条件 原级数发散 解 因为 而 故由比较审敛法的极限形式 原级数收敛 例3 判别级数的收敛性 解法1 此级数为正项级数 而级数为等比级数收敛 解法2 由比值审敛法 故由比值审敛法知原级数收敛 由于 故转到应用比较判别法 由于 例4 判别级数的收敛性 分析 此级数为正项级数 设 而级数收敛 从而级数收敛 或将拆成两个级数 分别判定级数的收敛性 同理极限也不存在 即不能应用比值和根值判别法 由于 解法1 设 而由比值法 易知级数收敛 故由级数的比较判别法知 级数收敛 解法2 因为 所以 分别考虑和的敛散性 对于 由比值法 知收敛 所以 绝对收敛 同理得收敛 可知原级数收敛 收敛 故由比较审敛法 原级数收敛 例5 判别级数的收敛性 分析 此级数为正项级数 由的形式 利用比值 法和根值法均不合适 由于 可采用比较法 解 此级数为正项级数 令 注 应用比较法判断一个正项级数的敛散性 最关键 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性 如几何级数 级数等 然后根据的特点 进行有针对性的放缩 例6 判别级数的收敛性 分析 此级数为正项级数 由于中含有 可用比值审敛法 解 令 所以 原级数发散 由比值审敛法 当时 原级数收敛 当时 原级数发散 当时 比值审敛法失效 注意到 注 在级数一般项中 若含有形如的因子时 适于使用比值审敛法 故由根值审敛法 原级数收敛 例7 判断级数的敛散性 分析 此级数为正项级数 由于中 解 此级数为正项级数 注 在级数一般项中 若含有次方时 适于使用根值审敛法 含有次方 可用根值审敛法 例8 判断级数收敛 如果收敛 是条件收敛还是绝对收敛 分析 本题中 为交错级数 可采用莱布尼兹定理判别法 解 此级数为交错级数 因为 而发散 原级数非绝对收敛 因为为交错级数 由莱布尼玆定理 由比较审敛法知发散 所以此交错级数收敛 故原级数是条件收敛 所以在上单增 即单减 故当时 单减 令 即原级数非绝对收敛 例9 判别级数的敛散性 解 先考虑级数的敛散性 由于当时 而级数发散 故级数发散 即原级数为交错级数 故应用莱布尼兹判别法判别 从而原级数条件收敛 注 在运用莱布尼玆定理判别时 可引入函数 利用函数的导数 判别单调性 因为 其中 所以在内单调递减 得 于是由莱布尼兹判别法可得级数收敛 令 证明 设级数和的部分和分别为和 则 没有具体表达式 只能将看成任意项级数 所以 考虑