湖南省2016届高考数学理科模拟试卷（四）含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016 年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（四） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z 满足 1+z=（ 1 z） i，则 |z|=（ ） A B 1 C D 2 2已知 R 是实数集， ，则 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 3已知 ，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a c b B c a b C a b c D c b a 4已知等差数列 四项中第二项为 606，前四项和 834，则该数列第 4 项为（ ） A 2004 B 3005 C 2424 D 2016 5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 6 C 14 D 18 6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次 英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 x， y 的值分别为（ ） 第 2 页（共 27 页） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 7下列说法正确的是（ ） A对于任意的 x 都有 |x|2x 恒成立 B同时向上抛掷 2 枚硬币， 2 枚都是反面朝上的概率是 C回归直线必须过（ 0， 0）并呈现一条直线 D在 k 班高三数学期中测试中，平均数能够代表 K 班数学总体水平 8 已知圆 C： x2+4x 4y=0 与 x 轴相交于 A， B 两点，则弦 对的圆心角的大小（ ） A B C D 9将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移 个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（ ） A B C D 10圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 11已知 ， ， ，点 C 在 ， 0则向量 等于（ ） A B C D 第 3 页（共 27 页） 12已知双曲线 =1 （ a 0， b 0）的一条渐近线过点（ 2， ），且双曲线的一个焦点在抛物线 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卷的横线上 . 13已知随机变量 X 服从二项分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20，则 P= 14（ x2+x+y） 5 的展开式中， 系数为 15若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为 16已知函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x），且当 x（ ， 0）时， f（ x） +f（ x） 0， a=20.1f（ b=（ f（ c=（ f（ ，则 a， b， c 的大小关系是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a= （ ）证明： （ ）若 ，且 B 为钝角，求 A， B， C 18退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 20 80 岁（含 20 岁和 80 岁）之间的 600 人进行调查，并按年龄层次 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80绘制频率分布直方图，如图所示若规定年龄分布在 20， 40）岁的人为 “青年人 ”， 40， 60）为 “中年人 ”， 60，80为 “老年人 ” 第 4 页（共 27 页） （ ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平均年龄； （ ）将上述人口分布的频率视为该城市在 20 80 年龄段的人口分布的概率从该城市 20 80 年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到 “老年人 ”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 19在棱长为 2 的正方体 E， F 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求异面直线 成的角的余弦值； （ ）在棱 是否存在一点 P，使得二面角 P B 的大小为 30？若存在，求出 长；若不存在，请说明理由 20已知抛物线 y 的焦点 F 也是椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点， 2的公共弦的长为 2 ，过点 F 的直线 l 与 交于 A， B 两点，与 交于 C， D 两点，且 与同向 （ ）求 方程； （ ）若 |求直线 l 的斜率 21已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调增区间； （ ）证明；当 x 1 时， f（ x） x 1； 第 5 页（共 27 页） （ ）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 1，当 x（ 1， ，恒有 f（ x） k（ x 1） 请考生在第（ 22）、（ 23）（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分，选修422如图所示，已知 交于 A、 B 两点，过点 A 作 ，过点 别交 、 E， 交于点 P （ ）求证： （ ）若 切线，且 ， ， ，求 长 选修 423在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 ， ），直线 l 的极坐标方程为 ） =a，且点 A 在直线 l 上 （ 1）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； （ 2）若圆 C 的参数方程为 （ 为参数），试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 选修 424已知函数 f（ x） =|x 1|+|x 3|+|x a| （ ）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ ）设函数 f（ x）的最小值为 g（ a），求 g（ a）的最小值 第 6 页（共 27 页） 2016 年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（四） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z 满足 1+z=（ 1 z） i，则 |z|=（ ） A B 1 C D 2 【考点】 复数求模 【专题】 转化思想；综合法；数系的扩充和复数 【分析】 由 1+z=（ 1 z） i，可得 z= ，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出 【解答】 解： 1+z=（ 1 z） i， z= = = =i， 则 |z|=1 故选： B 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题 2已知 R 是实数集， ，则 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 先化简两个集合 M、 N 到最简形式求出 M， N，依照补集的定义求出 按照交集的定义求出 N 【解答】 解： M=x| 1=x|x 0，或 x 2， N=y|y= +1=y|y1 ， x|0x2， 故有 Ny|y1 x|0x2 第 7 页（共 27 页） =1， +） 0， 2 =1， 2， 故选 D 【点评】 本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求集合的补集和交集的方法 3已知 ，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a c b B c a b C a b c D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据指数的运算求出 a 的范围，根据对数的运算性 质得到 b， c 的范围，比较即可 【解答】 解： = = 2， 0， 0 1， 即 a 2， b 0， 0 c 1， 即 a c b， 故选： A 【点评】 本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题 4已知等差数列 四项中第二 项为 606，前四项和 834，则该数列第 4 项为（ ） A 2004 B 3005 C 2424 D 2016 【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 根据等差数列前 n 项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可 【解答】 解：已知 06， 834， 则 S3=a1+a2+818 即 4 834 1818=2016， 故选： D 【点评】 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式和通项公式的应用，比较基础 5阅读如图的程 序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） 第 8 页（共 27 页） A 10 B 6 C 14 D 18 【考点】 程序框图 【专题】 图表型；算法和程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i， S 的值，当 i=8 时满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值为 6 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=20， i=1 i=2， S=18 不满足条件 i 5， i=4， S=14 不满足条件 i 5， i=8， S=6 满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值为 6 故选： B 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次 循环得到的 i， S 的值是解题的关键，属于基础题 6以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 x， y 的值分别为（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 第 9 页（共 27 页） 【考点】 茎叶图 【专题】 概率与统计 【分析】 求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以 5找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式 求解即可 【解答】 解：乙组数据平均数 =（ 9+15+18+24+10+y） 5= y=8； 甲组数据可排列成： 9， 12， 10+x， 24， 27所以中位数为： 10+x=15， x=5 故选： C 【点评】 本题考查了中位数和平均数的计算平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数 7下列说法正确的是（ ） A对于任意的 x 都有 |x|2x 恒成立 B同时向上抛掷 2 枚硬币， 2 枚都是反面朝上的概率是 C回归直线必须过（ 0， 0）并呈现一条直线 D在 k 班高三数学期中测试中，平均数能够代表 K 班数学总体水平 【考点】 线性回归方程；命题的真假判断与应用 【专题】 不等式的解法及应用；概率与统计 【分析】 举出反例 x 0，可判断 A；求出满足条件的事件的概率，可判断 B；根据回归直线的几何特征，可判断 C；根据平均数表示刻画数据总体水平的适用范围，可判断 D 【解答】 解：当 x 0 时， |x| 2x，故 A 错误； 同时向上抛掷 2 枚硬币， 2 枚都是反面朝上的概率是 ，故 B 正确； 回归直线必须过（ ， ）并呈现一条直线，但不一定经过（ 0， 0）点，故 C 错误； 如果数学成绩差距较大，则平均数不能够代表 K 班数学总体水平，故 D 错误， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档 第 10 页（共 27 页） 8已知圆 C： x2+4x 4y=0 与 x 轴相交于 A， B 两点，则弦 对的圆心角 的大小（ ） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】 综合题；直线与圆 【分析】 根据条件令 x=0，求出 长度，结合三角形的勾股定理求出三角形 直角三角形即可得到结论 【解答】 解：当 y=0 时，得 4x=0，解得 x=0 或 x=4， 则 0=4， 半径 R=2 ， 2 ） 2+（ 2 ） 2=8+8=16=（ 2， 直角三角形， 0， 即弦 对的圆心角的大小为 90， 故选： C 【点评】 本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先 长度是解决本题的关键 9将 的图象上各点的横坐标 缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移 个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用 y=x+）的图象变 换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴 【解答】 解：将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变， 可得函数 y=2x+ ）的图象； 再把所得图象象左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式为 y=（ x+ ） + =2x+ ）， 第 11 页（共 27 页） 令 2x+ =，求得 x= ， kz，故所得函数的图象的对称轴方程为 x= ， kz 结合所给的选项， 故选： A 【点评】 本题主要考查 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 10圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 立体几何 【分析】 通过三视图可知该几何体是一 个半球拼接半个圆柱，计算即可 【解答】 解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， 其表面积为： 4r2r+2r2r+ 又 该几何体的表面积为 16+20， 56+20，解得 r=2， 故选： B 【点评】 本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题 11已知 ， ， ，点 C 在 ， 0则向量 等于（ ） 第 12 页（共 27 页） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义 【专题】 计算题 【分析】 过点 C 做 到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应边成比例，把 用 表示，代入比例式，求出 值，做出向量之间的关系 【解答】 解：过点 c 做 设 度为 a 有 （ 1） 0 则 = E= 代入（ 1）中化简整理可解： a= = = = 故选 B 【点评】 本题考查平面向量基本定理及其意义，本题解题的关键是构造平行四边形，利用平行四边形法则来解题，本题是一个易错题 12已知双曲线 =1 （ a 0， b 0）的一条渐近线过点（ 2， ），且双曲线的一个焦点在抛物线 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） 第 13 页（共 27 页） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲 线的标准方程 【专题】 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、 b 的另一个方程，求出 a、 b，即可得到双曲线的标准方程 【解答】 解：由题意， = ， 抛物线 x 的准线方程为 x= ，双曲线的一个焦点在抛物线 x 的准线上， c= ， a2+b2=， a=2， b= ， 双曲线的方程为 故选： D 【点评】 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卷的横线上 . 13已知随机变量 X 服从二项分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20，则 P= 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【专题】 概率与统计 【分析】 直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可 【解答】 解：随机变量 X 服从二项分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20， 可得 0， 0， q= ，则 p= ， 故答案为： 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力 第 14 页（共 27 页） 14（ x2+x+y） 5 的展开式中， 系数为 30 【考点】 二项式系数的性质 【专题】 计算题；二项式定理 【分析】 法一：利用分部相乘原理，可以得出 法二：利用二项式展开式的通项公式，先确定 y 的次数，再确定 x 的次数也可 【解答】 解法一：（ x2+x+y） 5 可看作 5 个（ x2+x+y）相乘， 从中选 2 个 y，有 种选法； 再从剩余的三个括号里边选出 2 个 后一个括号选出 x，有 种选法； 系数为 =30； 解法二： （ x2+x+y） 5=（ x2+x） +y5， 其展开式的通项公式为 = （ x2+x） 5 r 令 r=2，得（ x2+x） 3的通项公式为 （ 3 mm， 再令 6 m=5，得 m=1， （ x2+x+y） 5的展开式中， 系数为 =30 故 答案为： 30 【点评】 本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目 15若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为 1 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【专题】 数形结合；综合法；不等式的解法及应用 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的 平面区域如图： 第 15 页（共 27 页） 若表示的平面区域为三角形， 由 ，得 ，即 A（ 2， 0）， 则 A（ 2， 0）在直线 x y+2m=0 的下方， 即 2+2m 0， 则 m 1， 则 A（ 2， 0）， D（ 2m， 0）， 由 ，解得 ，即 B（ 1 m， 1+m）， 由 ，解得 ，即 C（ ， ） 则三角形 面积 S S = |= （ 2+2m）（ 1+m ） =（ 1+m）（ 1+m ） = ， 即（ 1+m） = ， 即（ 1+m） 2=4 解得 m=1 或 m= 3（舍） 【点评】 本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键 第 16 页（共 27 页） 16已知函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x），且当 x（ ， 0）时， f（ x） +f（ x） 0， a=20.1f（ b=（ f（ c=（ f（ ，则 a， b， c 的大小关系是 c a b 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【专题】 方程思想；构造法；导数的综合应用 【分析】 通过构造复合函数，求导，求符合函数单调性，通过单调性判断函数值的大小 【解答】 解：设函数 h（ x） =x），有函数 y=f（ x）是 R 上的偶函数， y=x 是奇函 数， 得 h（ x） =x）是函数 R 上的奇函数， 由 x（ ， 0）时， h（ x） =f（ x） + x） 0 成立， h（ x）在（ ， 0）单调递减，在（ 0， +）单调递增， 3 1， 0 1， 丨 丨 =3 h（ 3） h（ h（ 又 a=20.1f（ b=2） f（ c=（ ） f（ ）， b a c 故答案为 c a b 【点评】 本题考查通过已知条件，构造符合函数，通过求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间比较函数值的大小，属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a= （ ）证明： （ ）若 ，且 B 为钝角，求 A， B， C 【考点】 正弦定 理 【专题】 解三角形 【分析】 （ ）由正弦定理及已知可得 = ，由 ，即可证明 第 17 页（共 27 页） （ ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得 ，由（ 1） 得 ，结合范围可求 B，由 A 的范 围可求 A，由三角形内角和定理可求 C 【解答】 解：（ ）证明： a= = 由正弦定理： ，又 ， = ， ， 证 （ ） （ A+B） =A+B） = ，由（ 1） ， 0 B ， ， B 为钝角， B= ， 又 ， A= ， C= A B= ， 综上， A=C= ， B= 【点评】 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题 18退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 20 80 岁（含 20 岁和 80 岁）之间的 600 人进行调查，并按年龄层次 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80绘制频率分 第 18 页（共 27 页） 布直方图，如图所示若规定年龄分布在 20， 40）岁的人为 “青年人 ”， 40， 60）为 “中年人 ”， 60，80为 “老年人 ” （ ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平均年龄； （ ）将上述人口分布的频率视为该城市在 20 80 年龄段的人口分布的概率 从该城市 20 80 年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到 “老年人 ”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【专题】 概率与统计 【分析】 （ ）由频率分布直方图能估算所调查的 600 人的平均年龄 （ ）由频率分布直方图知 “老年人 ”所点频率为 ，依题意， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由频率分布直方图估 算所调查的 600 人的平均年龄为： 25555558（岁） （ ）由频率分布直方图知 “老年人 ”所点频率为 ， 从该城市 20 80 年龄段市民中随机抽取 1 人，抽到 “老年人 ”的概率为 ， 依题意， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 第 19 页（共 27 页） P = 【点评】 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一 19在棱长为 2 的正方体 E， F 分别为 中点 （ ）求证 ： 平面 （ ）求异面直线 成的角的余弦值； （ ）在棱 是否存在一点 P，使得二面角 P B 的大小为 30？若存在，求出 长；若不存在，请说明理由 【考点】 异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 【专题】 综合题；转化思想；综合法 【分析】 如图分别以 在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D 写出各点坐标： （ I）取 点 G，则 G（ 1， 0， 1）， =（ 1， 2， 1），又 =（ 1， 2， 1），证明 与共线即可； （ 出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可，易求； （ 设存在，设出点 P 的空间坐标，根据题设中所给的条件二面角 P B 的大小为 30利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可，若求得的参数 符合题意，则说明存在，否则说明不存在 【解答】 解：如图分别以 在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D 已知得 D（ 0， 0， 0）、 A（ 2， 0， 0）、 B（ 2， 2， 0）、 C（ 0， 2， 0）、 2， 2， 2）、 0， 0， 2）、 E（ 1， 0， 2）、 F（ 0， 2， 1） 第 20 页（共 27 页） （ I）取 点 G，则 G（ 1， 0， 1）， =（ 1， 2， 1），又 =（ 1， 2， 1），由 ， 与 共线 从而 面 面 平面 （ =（ 0， 2， 0） = （ 设满足条件的点 P 存在，可设点 P（ 2， 2， t） ，（ 0 t2）， =（ 0， 2， t）， =（ 2，2， 0） 平面 一个法向量为 则 取 =（ 1， 1， ），易知平面 一 个法向量 =（ 0， 0， 2）依题意知 |= = 解得 t= （ 0， 2） 在棱 存在一点 P，当 长为 时，二面角 P B 的大小为 30 【点评】 本题考查用向量法证明线面平行，求异面直线所成的角以及二面角，用向量方法解决立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用，学习时注意总结向量法解立体几何题的规律，此方法也是近几年高考比较热的一个考点 第 21 页（共 27 页） 20已知抛物线 y 的焦点 F 也是椭圆 + =1（ a b 0）的一个焦点， 2的公共弦的长为 2 ，过点 F 的直线 l 与 交于 A， B 两点，与 交于 C， D 两点，且 与同向 （ ）求 方程； （ ）若 |求直线 l 的斜率 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【专题】 开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ ）通过 ，通过 2的公共弦的长为 2 且 图象都关于 y 轴对称可得 ，计算即得结论； （ ）设 A（ B（ C（ D（ 通过 = 可得（ x1+24 x3+2 4直线 l 方程为 y=，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可 【解答】 解：（ ）由 （ 0， 1）， F 也是椭圆 一个焦点， ， 又 公共弦的长为 2 ， 2 的图象都关于 y 轴对称， 易得 2的公共点的坐标为（ ， ）， ， 又 ， ， ， =1； （ ）如图，设 A（ B（ C（ D（ 第 22 页（共 27 页） 与 同向，且 | = ， x2= （ x1+2 4 x3+2 4 设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程： y=， 由 ，可得 44=0， 由韦达定理可得 x1+k， 4， 由 ，得（ 9+8664=0， 由韦达定理可得 x3+ ， ， 又 （ x1+2 4 x3+2 4 16（ ） = + ， 化简得 16（ ） = ， （ 9+82=169，解得 k= ， 即直线 l 的斜率为 【点评】 本题是一 道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题 第 23 页（共 27 页） 21已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调增区间； （ ）证明；当 x 1 时， f（ x） x 1； （ ）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 1，当 x（ 1， ，恒有 f（ x） k（ x 1） 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【专题】 综合题；开放型；导数的综合应用 【分析】 （ ）求导数，利用导数大于 0，可求函数 f（ x）的单调增区间； （ ）令 F（ x） =f（ x）（ x 1），证明 F（ x）在 1， +）上单调递减，可得结论； （ ）分类讨论，令 G（ x） =f（ x） k（ x 1）（ x 0），利用函数的单调性，可得实数 k 的所有可能取值 【解答】 解：（ ） f（ x） =， f（ x） = 0（ x 0）， 0 x ， 函数 f（ x）的单调增区间是（ 0， ）； （ ）令 F（ x） =f（ x）（ x 1），则 F（ x） = 当 x 1 时， F（ x） 0， F（ x）在 1， +）上单调递减， x 1 时， F（ x） F（ 1） =0， 即当 x 1 时， f（ x） x 1； （ ）由（ ）知， k=1 时，不存在 1 满足题意； 当 k 1 时，对于 x 1，有 f（ x） x 1 k（ x 1），则 f（ x） k（ x 1）， 从而不存 在 1 满足题意； 当 k 1 时，令 G（ x） =f（ x） k（ x 1）（ x 0），则 第 24 页（共 27 页） G（ x） = =0，可得 0， 1， 当 x（ 1， ， G（ x） 0，故 G（ x）在（ 1， 单调递增， 从而 x（ 1， ， G（ x） G（ 1） =0，即 f（ x） k（ x 1）， 综上， k 的取值范围为（ ， 1） 【点评】 本题考查导数知识 的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键 请考生在第（ 22）、（ 23）（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修422如图所示，已知 交于 A、 B 两点，过点 A 作 ，过点 别交 、 E， 交于点 P （ ）求证： （ ）若 切线，且 ， ， ，求 长 【考点】 圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线 与圆的位置关系；与圆有关的比例线段 【专题】 计算题；证明