2011年普通高等学校招生全国统一考试

1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学 参考公式 1 样本数据的方差 其中 12 n x xx 2 2 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 2 直棱柱的侧面积 其中为底面周长 为高 Sch ch 3 棱柱的体积 其中为底面积 为高 VSh Sh 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 请把答案填写在答题卡相应分 请把答案填写在答题卡相应 位置上 位置上 1 已知集合 则 1 1 2 4 A 1 0 2 B AB 2 函数的单调增区间是 12 log 5 xxf 3 设复数满足 为虚数单位 则的实部是 zizi23 1 iz 4 根据如图所示的伪代码 当输入分别为 2 3 时 最后输出的的ba m 值为 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两倍的概率 是 6 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 10 6 8 5 6 则该组数据的方差 2 s 7 已知 则的值为 tan 2 4 x x x 2tan tan 8 在平面直角坐标系中 过坐标原点的一条直线xOy 与函数的图象交于 两点 则线段 x xf 2 PQ 长的最小值是 PQ Read a b If a b Then m a Else m b End If Print m x y O 3 7 12 2 2 9 函数 是常数 的部分图象如图 sin f xAx A 0A 0 所示 则的值是 0 f 10 已知 是夹角为的两个单位向量 若 1 e 2 e 3 2 12 2aee 12 bkee 则实数的值为 0a b k 11 已知实数 函数 若 则的值0 a 1 2 1 2 xax xax xf 1 1 afaf a 为 12 在平面直角坐标系中 已知点是函数的图象上的动点 该xOyP 0 xexf x 图象在处的切线 交轴于点 过点作 的垂线交轴于点 设线段PlyMPlyN 的中点的纵坐标为 则 的最大值是 MNtt 13 设 其中成公比为的等比数列 成公 127 1aaa 7531 aaaaq 642 aaa 差为 1 的等差数列 则的最小值是 q 14 设集合 Ax y 222 2 2 m xym x yR Bx y 若 则实数的取值范围是 2mxy 21m x yR AB m 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在中 角的对边分别为 ABC A B Ccba 1 若 求的值 sin 2cos 6 AA A 2 若 求的值 1 cos 3 A 3bc Csin 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥中 平面平面ABCDP PAD P E F A B C D 3 分别是的中点 ABCDABAD 60BAD E F AP AD 求证 1 直线平面 EFPCD 2 平面平面 BEF PAD 17 本小题满分 14 分 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得 A B C D 四个点 重合于图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上 是被切 去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设 AE FB x cm 1 某广告商要求包装盒的侧面积 S cm2 最大 试问 x 应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积 V cm3 最大 试问 x 应取何值 并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值 A 60 EF B xx C D P 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系中 分别是椭圆的顶点 过坐标xOy M N1 24 22 yx 原点的直线交椭圆于两点 其中点在第一象限 过作轴的垂线 垂足为 P APPx 连接 并延长交椭圆于点 设直线的斜率为 CACBPAk 1 当直线平分线段 求的值 PAMNk 2 当时 求点到直线的距离 2k PABd 3 对任意 求证 0k PAPB x y B P CO A M N 4 19 本小题满分 16 分 已知是实数 函数 和是和 a b 3 f xxax 2 g xxbx x f x g f x 的导函数 若在区间上恒成立 则称和在区间 g x0 xgxfI xf xg 上单调性一致 I 1 设 若和在区间上单调性一致 求实数的取值范0 a xf xg 1 b 围 2 设且 若和在以为端点的开区间上单调性一致 求0a ba xf xg a b 的最大值 ab 解 2 0 2 3 2 bxaxxgxf 若 则对恒成立0 b0 2 3 2 bxaxxgxf bax 但矛盾0 0 0 abgf 若 对恒成0 b02 bx bax 所以对恒成即03 2 ax bax a b a b ba 由线性规划得的最大值为 ab a a a b 0 3 3 ba 3 1 5 20 本小题满分 16 分 设为部分正整数组成的集合 数列的首项 前项的和为 已知M n a1 1 an n S 对任意整数 当时 都成立 kM nk 2 knknkn SSSS 1 设 求的值 1 M 2 2 a 5 a 2 设 求数列的通项公式 3 4 M n a 解 根据题意 1 333 22SSSS nnn 4 n 2 444 22SSSS nnn 5 n 1 再写一次 3 3124 22SSSS nnn 5 n 3 1 得 4 124 2 nnn aaa 4 n 2 再写一次 5 4135 22SSSS nnn 4 n 5 2 得 6 135 2 nnn aaa 5 n 由 4 得 成等差数列公差为 262320171411852 aaaaaaaaa 1 d 成等差数列公差为 2421181512963 aaaaaaaa 2 d 成等差数列公差为 221916131074 aaaaaaa 3 d 当 时 13 kn 1213 1 dkaaa kn 当 时 kn3 233 1 dkaaa kn 当时 13 kn 3413 1 dkaaa kn 由 6 得成等差数列公差为 262218141062 aaaaaaat tdaa tdaa tdaa 34 34 34 31022 2618 1214 tddd 4 3 321 6 所以当 时 13 knt n at n aaa kn 4 2 4 3 1 3 1 2213 当 时 kn3 t n ad n tadkaaa kn 4 2 2 3 2 222263 当时 13 knt n at n tadkaaa kn 4 2 4 10 2 3 2231013 即当时 所以成等差数列2 n 2 4 2 2 nt n aan 65432 aaaaa 在 1 中令得4 n247 2 ad 在 2 中令得 5 n135 2 ad 联立方程组得 2 12 2 3 2 nnada n 因为也适上式即1 1 a 1 12 Nnnnan 7 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学 附加题 2121 选做题选做题 本题包括本题包括 A A B B C C D D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 圆与圆内切于点 其半径分别为与 1 O 2 OA 1 r 2 r 圆的弦交圆于点 不在上 12 rr 1 OAB 2 OC 1 OAB 求证 为定值 AB AC B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 向量 求向量 使得 11 21 A 1 2 2 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 求过椭圆 为参数 的右焦点 且与直线xOy 5cos 3sin x y 为参数 平行的直线的普通方程 42 3 xt yt t D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 解不等式 21 3xx 8 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 22 本小题满分 10 分 如图 在正四棱柱中 1111 ABCDABC D 1 2AA 点是的中点 点在上 1AB NBCM 1 CC 设二面角