2014年安徽高考数学试卷评析和思考

此文发表在 2014 8 期 中学数学 湖北大学和湖北省数学会主办 初等 中等教育类核心期刊 ISSN 1002 7572 CN42 1167 01 朴实中呈现特色朴实中呈现特色 创新中凸显思维创新中凸显思维 2014 年安徽高考数学试卷评析和思考 合肥市教学研究室 许晓天 经过了 2013 年高考数学 难 题的 洗礼 安徽省广大高中数学教师对 2014 年高考数学试卷充满着太多的惶恐 更有一份期待 直到当大部分学生走 出考场露出久违的笑容之时 教师们提着的 心 才终于放下 纵观文 理两套 试卷 倍感安徽省高考自主命题日臻成熟 整个试卷朴实中呈现鲜明的特色 特色中尽显思维的绽放 1 1 评析评析 2014 年安徽省数学文理试题以教育部 考试大纲 为依据 以本省高考 考试说明 为准绳 充分尊重本省不同地区使用不同版本教材的实际 科学 有效地考查了考生继续学习所应具备的基本数学素养和潜能 试题背景公平 呈现朴实 图文和谐 解法普适 特色分明 思维彰显 命 题专家综合考虑了中学生数学的知识 思想 方法和能力等方面的情况 使得 试题更加切合考生的实际 试题多数寓于教材 内涵充盈 对中学数学教育起到 了积极的导向作用 1 11 1 试题朴实试题朴实 1 1 1 考点常见 理科 题号 考点 1 复数代数形式下的共轭的概念和四则运算 2 对数的意义和充要条件的判断 3 程序框图 即算法流程图 的阅读与理解 循环结构 4 极坐标与参数方程 交汇点在直线截圆所得弦长的计算上 5 简单的线性规划知识以及对 直线及其方程 的灵活运用 6 函数值的计算 三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值 7 三视图的识别和正方体的割补变换 多面体的表面积计算 8 组合知识及其运用 空间直线所成角 9 含绝对值的函数的最值 10 平面向量的综合运用 圆的位置关系 11 三角函数图象的平移变换 12 等差 等比数列的概念以及方程思想 13 二项式展开式的通项 14 直线与椭圆的位置关系 坐标法以及方程思想 15 平面向量的模与数量积 共线与垂直等的综合运用 排列 重组 配对 构造 分类讨论 化归与转化等数学素养 16 三角形内的三角函数问题 正余弦定理以及两角和与差的三角函数 17 古典概型 独立事件的概率以及离散型随机变量分布列 18 三次函数背景下的单调性的探讨及给定区间上最值的讨论 19 直线与抛物线的位置关系以及坐标法 简单的平面几何方法 20 空间平行关系的转化 空间几何体体积的计算及二面角大小的计算 21 数学归纳法的运用以及数列的单调性与有界性的证明 文科 题号 考点 1 复数代数形式下的四则运算 2 全称命题的否定 3 抛物线的准线方程的确定 4 程序框图 即算法流程图 的阅读与理解 循环结构 5 指数 对数的大小比较 6 直线与圆的位置关系以及直线倾斜角范围的确定 7 三角函数图像的平移及其性质 8 三视图的识别和正方体的割补变换 多面体体积的计算 9 含绝对值的函数的最值 10 平面向量的模与数量积的综合运用 重组 配对 构造 化归与 转化等数学素养 11 指数 对数的化简与计算 12 平面几何背景下递推数列通项的确定 13 线性平面区域的面积 14 综合利用函数的周期性与奇偶性求函数值 15 在新定义的情境下 利用导数研究函数图像在某点处的 切过 性质 16 三角形内的三角函数问题 余弦定理以及三角形的面积公式 17 频率分布直方图 分层抽样方法以及独立性检验 18 利用递推关系判定等差数列 错位相减法求数列的前 n 项和 19 空间平行关系的证明 垂直关系的转化及截面面积的计算 20 三次函数背景下的单调性的探讨及给定区间上最值的讨论 21 椭圆的定义 余弦定理以及椭圆离心率的计算 1 1 2 源于教材 2014 年的安徽高考数学试题进一步强化了与课本的联系 如文科第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 6 题 第 13 题 第 16 题 第 17 题 第 18 题和第 20 题 理科第 3 题 第 4 题 第 9 题 第 16 题 第 17 题 第 21 题等均是课本例 习 题的再现 整合 迁移和演变 值得指出的是 今年的试题直接或间接地取自选 修选考的课本例 习题明显增多 如理科第 9 题和第 21 题等 这些问题解题入口宽 路子多 注重通性通法 淡化特殊技巧 让考生平 时的基础练习和积累能发挥用武之地 全卷避免对细枝末节过多的雕琢 每道试 题自然平和 题干简明 设问精巧 关注课本的本质内容 如 理科第 20 题以 一个朴实的四棱柱为载体考查空间想象能力 可采用割补法 向量法 坐标法 综合法等多种方法进行求解 思路灵活 殊途同归 为考生提供了广阔解题空 间和发挥平台 文科第 20 题和理科第 18 题从一个相对简单的三次函数出发 紧紧把握导数 单调性和最值点的本质 为各层次的考生都留有足够的入手空 间 也跳出了各地模考广泛出现的指数函数和对数函数等背景模式 1 1 3 解法常规 文 理全卷中每道试题几乎都可以用常规解法完成 仅举两例 说明解法 的常规性 理科 19 题 如图 已知两条抛物 过点 22 111222 2 0 2 0 Eyp x pEyp x p 的两条直线 和 与和分别交于两O 1 l 2 l 1 l 1 E 2 E 12 A A 点 与和分别交于两点 2 l 1 E 2 E 12 B B 证明 1122 ABA B 过点作直线 异于与和分别交于Ol 12 l l 1 E 2 E 两点 记的面积分别为与 12 C C 111222 ABCA B C 1 S 求的值 2 S 1 2 S S 解 设 2 1 1 2 1 1 y p y A 2 2 2 2 2 2 y p y A 三点共线 即 O 1 A 2 A 2 2 2 2 1 2 1 1 22p y y p y y 2 1 2 1 p p y y 2 1 2 1 p p OA OA 同理可得 2 1 2 1 p p OB OB 2 1 2 1 OB OB OA OA 11B A 22B A 由 知 2 1 2 1 2 1 p p OB OB OA OA 11B OA 22B OA 2 1 22 11 p p BA BA 同理可得 2 1 22 11 p p CA CA 2 1 22 11 p p CB CB 111 CBA 222 CBA 2 2 2 1 2 22 11 2 1 p p BA BA S S 评析 上面的解法中主要用到高中数学的三点共线和初中的相似三角形的知 识 解法非常常规 是学生容易思考的方法 同时摒弃了繁杂的计算 理科 21 题 设实数0 c 整数1 p Nn 证明 当1 x且0 x时 pxx p 1 1 略 此题由于是大于 1 的整数 很自然的想法 用数学归纳法来证明 证明p 非常简单 证明略 1 21 2 特色分明特色分明 1 2 1 文 理内容重叠的考题多 我们注意到 往年安徽省高考文理科数学试题差异很大 甚至有的年份文 理科试卷没有一道内容重叠题 今年不同的是 文理科试卷内容重叠的考题有 8 道 其中 3 道完全相同的试题 5 道部分一致的姊妹题 考虑到文理科学生的现 实差异 这些相同的试题在题序设置和题型分布上作了调整 凸显人文关怀 文理科试卷中完全相同的试题有 3 道 分别是 文科第 4 题与理科第 3 题 文 理科第 9 题 文科第 20 题与理科第 18 题 文理科试卷中部分一致的试题有 5 道 分别是 文科第 7 题与理科第 11 题 文科第 8 题与理科第 7 题 文科第 10 题与理科第 15 题 文科第 13 题与理科第 5 题 文科第 21 题与理科第 14 题 1 2 2 向量题推陈出新 向量题一直是安徽命题的一大 固定 特色 今年理科有两题涉及 分别 是第 10 题和第 15 题 以往考题与几何图形结合密切 但此两题命题的角度新颖 别致 理科第 10 题 在平面直角坐标系中 已知向量满足xOy a b 点满足 曲线 1 0aba b Q2 OQab 区域 若 cossin 02 CP OPab 0 PrPQR rR 为两段分离的曲线 则C A B 13rR 13rR C D 13rR 13rR 简解 在平面直角坐标系xOy中 不妨记 则 1 0 0 1 ab 则曲线 C 区域是以点 cos sin 2 2 OPOQ 22 1xy 为圆心 r R 为半径的圆环 包括边界 注意到 又 2 2 Q13PQ 为两段分离的曲线 故 选 A C 13rR 理科第 15 题 已知两个不相等的非零向量 两组向量和 a b 12345 x x x x x 均由 2 个 3 个排列而成 记 12345 y yyyy a b 表示所有可能的最小值 则下列命题中正 1122334455min Sx yx yx yx yx y S S 确的是 填上你认为正确的所有命题的序号 有 5 个不同的值 S 若 则与无关 ab min S a 若 则与无关 ab min S b 若 则 4 ba min 0S 若 则的夹角为 2 min 2 8 baSa a b 4 简解 中的五项可以分为三类 含 3 个 含 2 个和含 1 个 S 2 b 2 b 2 b 所以有 3 种结果 和S 22222 1 Saabbb 222 2 bbabbaaS 于是 命题 假 2 3 bababbabaS 中最小的 22 1223 2SSSSaba b 22 2aba b 2 0ab S 为 若 则与无关 命题 真 3 Sab 2 min3 SSb a 若 则与有关 命题 假 ab min3 4SSa b b 若 则 命题 真 4ba 04cos4 2 2 22 3min bbbbabbaSS 若 则 于是 2ba 222 min3 8cos48SSaaa 2cos1 3 命题 假 应填 以上为向量与的夹角 ab 评析 第 10 题以集合和向量知识为载体 综合考查向量背景下的多学科 知识 对三种数学语言 文字语言 图形语言 符号语言 转换要求较高 综 合考查多种数学思想方法 具体表现为数形结合 化归与转化 函数与方程 一般与特殊等 要求考生能够透过事物的现象看透其本质 生动体现了 从学科 的整体高度和思维价值的高度考虑问题 在知识网络交汇点设计试题 使对数 学基础知识的考查达到必要的深度 的命题指导思想 理科第 15 题是一道新定 义型多选题 考查学生 阅读 理解 迁移 能力和进一步学习的潜能 对学 生的创新意识和能力要求较高 1 31 3 思维凸显思维凸显 试题在对学生的思维的考察方面 兼顾到学生的思维能力 特别是理科压 轴题改变了过去解法单一的命题方式 理科 21 题 设实数0 c 整数1 p Nn 证明 当1 x且0 x时 pxx p 1 1 数列 n a满足 p ca 1 1 p nnn a p c a p p a 1 1 1 证明 p nn caa 1 1 解 pp p p xpx 1 1111 1 1 个 且 1 x0 x01 x 1 1 1 xppx p 当且仅当 即时等号成立 而pxx p 1 1 1 1 p x0 x0 x pxx p 1 1 证明 先证 p n ca 1 当时 时 结论成立1 n p ca 1 1 1 n 假设 时 结论成立 即kn 1 k Nk p k ca 1 则 p a caaa a cap p a p k kkk p k kk 1 1 1 1 1 1 1 p p p k p k c a ca 1 1 1 1 当且仅当 即 时等号成立 而 1 1 p k k a caca p k p k ca 1 p k ca 1 等号不成立 即时 结论成立1 kn 由 知 p n ca 1 再证 由和得 1 nn aa p nnn a p c a p p a 1 1 1 p n ca 1 所以 故 p nn caa 1 1 1 11 1 1 p pp n n n c p c p p a p c p p a a 1 nn aa 评析 此题的解法多样 首先可以用数学归纳法或导数法证明第一问 第 二问可以应用第一问的结论 也可以直接构造函数 利用单调性完成 上述方法 利用的知识简单 元均值不等式 但要求学生有很好的整体驾驭能力 才能够 p 个1 p 想到和应用此方法 此题是一个难得的人口宽 思维要求高而合理的好题 1 41 4 力求创新力求创新 文理试卷在多题上体现情景新颖 创新点多 理科的 10 13 15 17 和 20 等 都体现了创新性 理科 20 题 如图 四棱柱 1111 DCBAABCD 中 AA1 底面 ABCD 四边形ABCD为梯形 BCAD 且BCAD2 过DCA 1 三点 的平面记为 1 BB与 的交点为Q 证明 Q为 1 BB的中点 求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比 若AA14 2 CD 梯形ABCD的面积为 6 求平面 与 底面ABCD所成二面角大小 评析 此题 问是多线共点和中位线题 问是割补法求体积的 问题 前两问都是常规题 但 问是一道底面不确定的梯形问题 与以往常 考的确定形相比 对学生思维和创新能力有较高的要求 此问题旨在考察不定中 的确定性 即底面是面积固定的梯形 解法可以用割补法 补形法都较易解决 但用坐标法解题 运算较复杂 2 2 思考思考 从前面安徽省高考数学的试题评析 可以看出有四大特色 试题朴实 特 色分明 思维凸显和力求创新 试卷得到学生 教师和社会的普遍好评 笔者有 幸参加了今年安徽省高考数学改卷工作 为了便于我们很好地把握考题与考情 的关系 也方便对照思考 把理科在此文中已经呈现的三大题考试的统计结果 择录如下 考生数缺考不含缺考考生数 理科 312148人2519人309629人 平均分难度系数满分数零分 19题 解析几何 2 740 211469 118788人 20题 立体几何 1 030 08 38人144217人 21题 数列 0 410 03 12人256103人 上面三题的统计结果却令人大跌眼镜 几乎非常基础和常规的解析几何 难 度系数只有 0 21 零分 118788 人 超过参考人数的三分之一 满分只有 1469 人 体现创新和思维 但要求不高的立体几何和数列 难度系数分别为 0 08 和 0 03 零分分别为 144217 人和 256103 人 满分分别只有 38 人和 12 人 如 此结果的终结性评价 我们不得不对教学和命题提出如下思考 2 1 中学数学教育怎么了 今年高中新课程改革已满十载 已经取得了大家公认的成果 广大教师的专 业化发展取得了令人瞩目的成绩 如 教师论文发表和课题研究的数量和质量 都空前的增加和提高 也就是说老师的理论水平有了较大的提升 与此同时 在 较高理论指导下的广大教师 比以前的教师也更加辛苦的教学 用 累死累活 来表达教师的劳作并不为过 大批学生在 辛勤园丁 的引导下更加努力 几乎 没有休息日的 苦学 并且家庭和社会的付出也达到了 大家都知道 的程度 但 最后竟得到如此的结果 难道不值得我们深思 当然 成绩的好差是一个综合 的问题 但我想作为一线的教师能够和应该做到的是 站在学生全面和终身发 展上进行教育教学 只关注 高考 这个 短期目标 的教学 一定是急功近利 题型 方法 是必然选择的教法 新课程的理念和教学理论与实践一定是两张 皮 永远谈不上在理论指导下的教学活动 由于中学数学的题型是没有止境的 方法也会因教师和学生的理解不同也会有很多种 因而 茫茫题海 与不同方法 的 组合 的教学 教师只能 点 到为止 因而基础和常规题都没有教授透 彻 创新和思维要求高的问题更没有时间让学生思考和探究 教师只好 代劳 因而 教师和学生教与学太多的辛 苦 是付出的代价 高考数学评价的成绩 结 下的一定是 苦 果 2 2 高考命题应该怎么办 对于以上高考试题分析 考情和对教与学的一点反思 以及将在 2017 年左 右全国高考数学实施文 理合卷的大趋势下 高考命题应该怎么办