重庆大学高数(工学下)期末试题九(含答案)

重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 重庆大学重庆大学 高等数学 工学类 高等数学 工学类 课程试课程试 卷卷 A A卷卷 B B卷卷 20 20 学年学年 第第 学期学期 开课学院开课学院 数统学院数统学院 课程号课程号 考试日期考试日期 考考试试方方式式 开开卷卷闭闭卷卷 其其他他 考试时间考试时间 120 分分 钟钟 题题 号号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总总 分分 得得 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 3 3 分分 共共 1818 分分 1 已知向量与向量则 4 3 4a 2 2 1b a b A B C D 66 13 知识点 向量的内积 难度等级难度等级 1 答案答案 A A 2 设则arctan 4 zxy z x A B 4 1 xy xy 2 4 1 1 xy x C D 2 2 4 1 4 sec xy xyxy 2 4 1 xy y 知识点 多元函数偏导数 难度等级难度等级 1 答案答案 D D 3 两个半径为的直交圆柱体所围立体的表面积是R A B 22 2200 4 RRx R dxdy Rx 22 2200 8 RRx R dxdy Rx C D 22 22 220 4 RRx Rx R dxdy Rx 22 2200 16 RRx R dxdy Rx 知识点 二重积分的应用 难度等级难度等级 2 答案答案 D 分析分析 可设两个圆柱面的方程为由对称性 222222 xyRxzR 为第一卦象的面积的 8 倍 又由对称性 在第一卦限两个曲面部分 面积相等 故可取在第一卦限部分面积的 16 倍 而该面 222 xzR 积为选 D 22 2200 RRx R dxdy Rx 4 设 222 ln uxyz 1 0 1 rot gradu A B C D 1 4 0 0 0 0 1 0 1 知识点 旋度定义 难度等级难度等级 1 答案答案 C 分析分析 经计算 对应的旋度场为无旋场 即任意一点处旋度为选0 C 命题人 组题人 审题人 命题时间 教务处制 学院学院 专业 班专业 班 年级年级 学号学号 姓名姓名 考试教室考试教室 公平竞争 诚实守信 严肃考纪 拒绝作弊公平竞争 诚实守信 严肃考纪 拒绝作弊 封 线 密 考试提示考试提示 1 严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试 2 考试作弊考试作弊 留校察看留校察看 毕业当年不授学位毕业当年不授学位 请人代考 替他请人代考 替他 人考试 两次及以上作弊等人考试 两次及以上作弊等 属严重作弊属严重作弊 开除学籍开除学籍 重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 5 微分方程的一个特解为 2 31 x yye A B 3 1 3 x ye 2 1 3 x ye C D 3 1 3 x ye 2 1 3 x ye 知识点 二阶常系数非齐次线性微分方程 难度等级难度等级 2 答案答案 D D 分析分析 原方程的特解为方程与方程的特31yy 2 3 x yye 解之和 而方程的特解为 方程的31yy 1 1 3 y 2 3 x yye 特解为因此原方程的特解为故应选 2 2 x ye 2 12 1 3 x yyye D 6 设具有连续导数 是曲面与所围成 f u 22 zxy 22 8zxy 立体表面之外侧 则 zdxdydzdx y x f x dydz y x f y 1 1 A B 16 16 C D 因未知 故无法确定 8 f u 知识点 对坐标曲面积分的计算 高斯公式 难度等级难度等级 2 答案答案 A 分析分析 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积 选 A 48 04 16 yy DD Vdydxdzdydxdz 二 填空题二 填空题 每小题每小题 3 3 分分 共共 1818 分分 7 7 微分方程的通解为2yx 知识点 可分离变量微分方程 难度等级难度等级 1 答案答案 2 yxC 8 级数的收敛区间是 2 2 1 1 n n xx n 知识点 函数项级数的敛散性 难度等级难度等级 2 答案答案 10 x 分析分析 因为幂级数的收敛域为故原级数的收敛域 1n 2 n n y 11 y 为解此不等式组得11 2 xx1 10 x 9 已知曲线弧则 L 2 1 01 yxx 2 L x yds 知识点 曲线对弧长的积分 难度等级难度等级 1 答案答案 1 3 分析分析 1 222 2 0 11 1 13 L x ydsxxdx x 10 设曲线在对应点处的法平面xtytzt 21312 23 t 1 为则点到的距离 S 2 41S d 知识点 曲线的切线与法平面 点到平面的距离 难度等级难度等级 2 答案答案 2 重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 分析分析 先求的方程 法平面的法向量即切线的方向向量 S 2 2 6 1 3 1 2 6 3 n 切点为所以法平面方程为即 1 2 1 2 1 6 2 3 1 0 xyz 故点到的距离263110 xyz 2 41S 000 222222 2 2 6 43 1 11 2 2 6 3 AxByCzD d ABC 11 设为圆周沿逆时针方向一周 则L 22 4xy 22 L y xdyx ydx A 知识点 曲线对坐标的积分 格林公式 难度等级难度等级 2 答案答案 8 分析分析 利用格林公式 积分化为 22 222 00 8 D xy ddrrdr 12 设是球面在第二卦限部分 则 2222 xyzR 2 x dS 知识点 曲面对坐标的积分 对称性 难度等级难度等级 2 答案答案 4 6 R 分析分析 222 x dSy dSz dS 222 1 3 xyzdS 2 24 11 4 386 R RR 三 计算题三 计算题 每小题每小题 6 6 分分 共共 2424 分分 13 将函数展开成 的幂级数 1ln 32 xxxxf x 知识点 幂级数间接展开 难度等级难度等级 2 解解 22 ln 1 1 ln 1 ln 1 f xxxxx 1 1 1 ln 1 1 1 n n n uuu n 11 2 11 1 1 1 1 nn nn nn f xxxx nn 1 1 1 1 1 1 n nn n xxx n 14 设是由曲线绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 2 0 2 x yz z 所围成的空间区域 求 4z 22 d xyzV 知识点 三重积分计算 旋转曲面方程 难度等级难度等级 2 分析分析 旋转体横截面为圆 整个落在一圆柱体内 可用柱坐标计 算 解解 由曲线绕 z 轴旋转一周所成的曲面为 2 0 2 x yz 22 2 xyz 22 2 4 xyz z 22 8 D xy 重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 22 dxyzV 2 284 2 00 2 dd dzz 2 4 28 32 00 2 1 dd 2 zz 256 3 15 计算 其中是锥面被平面和 22 xydS 222 3zxy 0z 截得的部分 3z 知识点知识点 对面积曲面积分 难度等级难度等级 1 分析 投影到坐标面用极坐标进行计算xoy 解 在的投影为 xoy 22 3 xy Dxy 22 12 xy zz 23 22222 00 229 xy D xydSxydxdydr rdr 16 计算其中为球面 333 2 xx dydzy dzdxz dxdy 的外侧 2222 xyza 知识点知识点 高斯公式 三重积分 难度等级 难度等级 2 分析分析 题设曲面为封闭曲面 高斯公式 再用球面坐标化为三次 积分 解解 333 2 xx dydzy dzdxz dxdy 2 222 3 xyzdxdydz dxdydz 2 223 000 53 4 3sin2 3 128 53 a ddrrdra aa 四 解答题四 解答题 每小题每小题 6 6 分分 共共 1212 分分 17 求级数的收敛域 1 12 12 2 1 n n n n x 知识点知识点 幂级数的收敛域 难度等级难度等级 2 解解 令2 xt 考虑级数 21 1 1 21 n n n t n 23 2 21 23 lim 21 n n n t n t t n 当即时 亦即时所给级数绝对收敛 1 2 t1 t31 x 当即或时 原级数发散 1 t3 x1 x 当即时 级数收敛 1 t1 x 1 1 12 1 1 n n n 当即时 级数收敛 1 t3 x 1 12 1 1 n n n 重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 级数的半径为收敛域为 1 R 1 3 18 求函数在由直线所围成 4 2 yxyxyxf 0 0 6 xyyx 的闭区域 D 上的最大值和最小值 知识点知识点 多元函数极值 难度等级 难度等级 2 解解 由得内的驻点为且 0 24 0 1 4 2 2 yxxf xyyxxyf y x D 1 2 0 M 2 1 4 f 又而当时 0 0 0 0 fyf x 0 0 6 yxyx 32 212 06 f x yxxx 令得 32 212 0 x x 12 0 4 xx 于是相应且2 6 21 yy 64 2 4 0 6 0 ff 所以在上的最大值为最小值为 f x yD 2 1 4 f 64 2 4 f 五 五 证明题证明题 每小题每小题 6 6 分分 共共 1212 分分 19 求函数的关于 的幂级数的展开式 并由此证明 1 x de dxx x 1 1 1 n n n 知识点 幂级数的展开和求和 难度等级难度等级 2 分析分析 本题首先应用间接展开法把函数展开成 的幂级数 然后x 再把 取定特殊的值便可得到所求的和 x 证明证明 因为 所以从而 01 1 nn x nn xx e nn 1 1 1 xn n ex xn 1 x de dxx 1 1 n n dx dxn 1 12 2 1 1 k kn n k kx n xn x 又因为 1 x de dxx 2 1 xx xee x 所以 1 1 1 n nx n n 2 1 x exe xx x 令得 1 x 1 1 1 n n n 20 设为恒大于零的连续函数 f x 222 22 t D t f xyzdv F t f xyd 22 2 D t t t f xyd G t f xdx 其中 2222 tx y zxyzt 222 D tx yxyt 重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 证明 1 在区间内单调递增 F t 0 2 当时 0t 2 F tG t 知识点 重积分计算 变限函数求导 导数性质 难度等级难度等级 3 分析分析 分别将函数表示为关于 的变限函数 利用导数判断单调t 性 证明证明 分别在球坐标及极坐标下计算三重及二重积分 1 2 2222 0000 2 22 000 sin2 tt tt ddf rrdrf rr dr F t df rrdrf rrdr 22 0 2 2 0 t t f ttf rr tr dr Ft f rrdr 2 在上 0 F t 0 在区间内单调递增 F t 0 2 因只需证时 即 22 2 D t t t f xyd G t f xdx 0t 2 0 F tG t 2 2222 000 0 ttt f rr drf rdrf rrdr 令为左边函数 则 g t 222 0 0 t g tf tf rt rdr 因为在处连续 所以当时从而当时 g t0t 0t 0 0 g tg 0t 2 F tG t 六 应用题六 应用题 每小题每小题 8 8 分分 共共 1616 分分 21 求向量场沿闭曲线的环流量 其中 222222 Ayzzxxy 是球面与柱面的交线 从轴正方向 xzyx4 222 xyx4 22 Oz 看进去为逆时针 0 z 知识点知识点 对坐标的曲线积分 斯托克斯公式 极坐标 难度等级难度等级 3 分析分析 用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分 并计算此曲面 积分 解解 222222 L yz dxzxdyxydz 2 yz dydzzx dzdxxy dxdy 2 2 xy xy D D xy dxdy xdxdy 4cos 2 2 0 2 2cosdrdr 3 4 2 2 2 4 cos 3 16 d 重庆大学 高等数学 工学类 课程试卷 第 1 页 共 1 页 重庆大学 2015 版试卷标准格式 22 一根位于平面沿半圆 的弯曲金属弧 见图 yoz0 1 22 zzy 弧上点处的密度为 即该金属弧由下至上其 x y zzzyx 2 密度逐渐减少 求该弧的质心 知识点