2012初中数学竞赛

1 2012 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一一二二三三 题题 号号 1 1011 151617 1819 总总 分分 得得 分分 评卷人评卷人 复查人复查人 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 60 分分 每道小题均给出了代号为每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的请将正确选项的 代号填入题后的括号里代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 如果实数 a b c 在数轴上的位置如图所 示 那么代数式可以化 22 aabcabc 简为 A 2c a B 2a 2b C a D a 2 如果 那么的值为 22a 1 1 1 2 3a A B C 2 D 2 22 2 3 如果正比例函数 y ax a 0 与反比例函数 y b 0 的图象 x b 有两个交点 其中一个交点的坐标为 3 2 那么另一个交点的坐标为 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 4 在平面直角坐标系中 满足不等式 x2 y2 2x 2y 的整数点坐标xOy x y 的个数为 A 10 B 9 C 7 D 5 5 如果为给定的实数 且 那么这四ab 1ab 1121aabab 个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 A 1 B C D 21 4 a 1 2 1 4 6 如图 四边形 ABCD 中 AC BD 是对角线 ABC 是等边三角形 AD 3 BD 5 30ADC 2 则 CD 的长为 A B 4 23 C D 4 552 7 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币 小倩对小玲说 你若给我 2 元 我的钱数将是你的 n 倍 小玲对小倩说 你若给我 n 元 我的钱数将是你的 2 倍 其中 n 为正整数 则 n 的可能值的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 8 如果关于 x 的方程 是正整数 的正根小于 3 那 2 0 xpxqpq 么这样的方程的个数是 A 5 B 6 C 7 D 8 9 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1 2 3 4 5 6 掷两次骰子 设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余 数分别是 0 1 2 3 的概率为 则中最大的是 0123 pppp 0123 pppp A B C D 0 p 1 p 2 p 3 p 10 黑板上写有共 100 个数字 每次操作先从黑板上 111 1 23100 的数中选取 2 个数 然后删去 并在黑板上写上数 则经过ab ab abab 99 次操作后 黑板上剩下的数是 A 2012 B 101 C 100 D 99 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 6 分 共分 共 30 分 分 11 按如图的程序进行操作 规定 程 序运行从 输入一个值 x 到 结果是否 487 为一次操作 如果操作进行四次才 停止 那么 x 的取值范围是 12 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 15 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 与 DE DB 分别交于点 M N 则 DMN 的面积是 3 13 如果关于 x 的方程 x2 kx k2 3k 0 的两个实数根分别为 4 39 2 1 x 那么 的值为 2 x 2012 2 2011 1 x x 14 2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛 比赛为单循环 即所有参赛者彼此恰好比赛一场 记分规则是 每场比赛胜者得 3 分 负者得 0 分 平局各得 1 分 比赛结束后 所有同学的得分总和为 130 分 而且平局数 不超过比赛局数的一半 则 m 的值为 15 如图 四边形 ABCD 内接于 O AB 是直径 AD DC 分别延长 BA CD 交点为 E 作 BF EC 并与 EC 的延长线 交于点 F 若 AE AO BC 6 则 CF 的 长为 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 15 分 共分 共 60 分 分 16 已知二次函数 当时 恒有 2 32yxmxm 13x 0y 关于 x 的方程的两个实数根的倒数和小于 求的 2 320 xmxm 9 10 m 取值范围 17 如图 O 的直径为 O 过点 且与 O 内切于点 AB 1 OAOB 为 O 上的点 与交于点 且 点在上 且COC 1 OADODCD EOD BE 的延长线与交于点 求证 BOC DCDE 1 OAF 1 DO F 18 已知整数 a b 满足 a b 是素数 且 ab 是完全平方数 4 当 a 2012 时 求 a 的最小值 19 求所有正整数 n 使得存在正整数 满足 122012 xxx 且 122012 xxx 122012 122012 n xxx 2012 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题一 选择题 1 C 解 解 由实数 a b c 在数轴上的位置可知 且 0bac bc 所以 22 aabcabcaabcabc a 2 B 解 解 111 111 11 221 22 312a 1 11212 21 3 D 解解 由题设知 所以 2 3 a 3 2 b 2 6 3 ab 解方程组得 2 3 6 yx y x 3 2 x y 3 2 x y 所以另一个交点的坐标为 3 2 注 注 利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性 可知两个交点关于 原点对称 因此另一个交点的坐标为 3 2 4 B 解 解 由题设 x2 y2 2x 2y 得 0 2 22 1 1 xy 因为均为整数 所以有xy 5 2 2 1 0 1 0 x y 2 2 1 0 1 1 x y 2 2 1 1 1 0 x y 2 2 1 1 1 1 x y 解得 1 1 x y 1 2 x y 1 0 x y 0 1 x y 0 0 x y 0 2 x y 2 1 x y 2 0 x y 2 2 x y 以上共计 9 对 xy 5 D 解 解 由题设知 所以这四个数据的平均数为1112aabab 1 1 1 2 342 44 aababab 中位数为 1 1 442 24 aabab 于是 4423421 444 abab 6 B 解 解 如图 以 CD 为边作等边 CDE 连接 AE 由于 AC BC CD CE BCD BCA ACD DCE ACD ACE 所以 BCD ACE BD AE 又因为 所以 30ADC 90ADE 在 Rt 中 ADE53AEAD 于是 DE 所以 CD DE 4 22 4AEAD 7 D 解 解 设小倩所有的钱数为 x 元 小玲所有的钱数为 y 元 均为非负整xy 数 由题设可得 2 2 2 xn y ynxn 消去 x 得 2y 7 n y 4 2n 72 15 1 72 15 72 yy y 6 因为为正整数 所以 2y 7 的值分别为 1 3 5 15 所以 y 的值只 15 27y 能为 4 5 6 11 从而 n 的值分别为 8 3 2 1 x 的值分别为 14 7 6 7 8 C 解 解 由一元二次方程根与系数关系知 两根的乘积为 故方程的根0q 为一正一负 由二次函数的图象知 当时 所以 2 yxpxq 3x 0y 即 由于都是正整数 所以 1 q 5 2 330pq 39pq pq 1p 或 1 q 2 此时都有 于是共有 7 组符合题2p 2 40pq pq 意 9 D 解 解 掷两次骰子 其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个 其 和除以 4 的余数分别是 0 1 2 3 的有序数对有 9 个 8 个 9 个 10 个 所 以 因此最大 0123 98910 36363636 pppp 3 p 10 C 解 解 因为 所以每次操作前和操作后 黑板上的1 1 1 ababab 每个数加 1 后的乘积不变 设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 则x 111 1 1 1 1 1 1 23100 x A A 解得 1101x 100 x 二 填空题二 填空题 11 7 x 19 解 解 前四次操作的结果分别为 3x 2 3 3x 2 2 9x 8 3 9x 8 2 27x 26 3 27x 26 2 81x 80 由已知得 27x 26 487 81x 80 487 7 解得 7 x 19 容易验证 当 7 x 19 时 487 487 故 x 的取值范围是32x 98x 7 x 19 12 8 解 解 连接 DF 记正方形的边长为 2 由ABCDa 题设易知 所以BFNDAN 2 1 ADANDN BFNFBN 由此得 所以 2ANNF 2 3 ANAF 在 Rt ABF 中 因为 所以2ABaBFa 22 5AFABBFa 于是 2 5 cos 5 AB BAF AF 由题设可知 ADE BAF 所以 AEDAFB 00 18018090AMEBAFAEDBAFAFB 于是 2 5 cos 5 AMAEBAFa 24 5 315 MNANAMAFAMa 4 15 MND AFD SMN SAF 又 所以 2 1 2 2 2 2 AFD Saaa 2 48 1515 MNDAFD SSa 因为 所以 15a 8 MND S 13 3 2 解 解 根据题意 关于 x 的方程有 k2 4 0 2 39 3 42 kk 由此得 k 3 2 0 又 k 3 2 0 所以 k 3 2 0 从而 k 3 此时方程为 x2 3x 0 解得 4 9 x1 x2 3 2 8 故 2012 2 2011 1 x x 2 1 x 2 3 14 8 解 解 设平局数为 胜 负 局数为 由题设知ab 23130ab 由此得 0 b 43 又 所以 于是 1 2 2 mm ab 22 1 2 abmm 0 43 130 1 2 bmm 87 130 1 2 mm 由此得 或 8m 9m 当时 当时 不合8m 405ba 9m 2035ba 55 22 ab a 题设 故 8m 15 2 23 解 解 如图 连接 AC BD OD 由 AB 是 O 的直径知 BCA BDA 90 依题设 BFC 90 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 所以 BCF BAD 所以 Rt BCF Rt BAD 因此 BCBA CFAD 因为 OD 是 O 的半径 AD CD 所以 OD 垂直平分 AC OD BC 于是 因此2 DEOE DCOB 223DECDADCEAD 由 知 因为 AEDCEBDE ECAE BE 3 22 BA AEBEBA 所以 BA AD 故 3 23 22 BA ADADBA 22 9 AD CFBC BA 3 2 22 2 BC 三 解答题三 解答题 16 解 解 因为当时 恒有 所以13x 0y 2 3420mm 即 所以 2 10m 1m 3 分 当时 当时 即1x y03x y0 2 1 3 1 2mm 0 且 2 33 3 2mm 0 解得 m5 8 分 设方程的两个实数根分别为 由一元二次方 2 320 xmxm 12 xx 程根与系数的关系得 1212 32xxmx xm 因为 所以 12 119 10 xx 12 12 39 210 xxm x xm 解得 或 12m 2m 因此 12m 15 分 17 证明 证明 连接 BD 因为为的直径 所以OB 1 OA 又因为 所以 CBE 是等腰三90ODB DCDE 角形 5 分 设与交于点 连接 OM BC 1 OAM 则 又因为 所以90OMB OCOB 10 22BOCDOMDBC 1 2 DBFDO F 10 分 又因为分别是等腰 等腰 的顶角 所以 1 BOCDO F BOC 1 DO F BOC 1 DO F 15 分 18 解 解 设 a b m m 是素数 ab n2 n 是正整数 因为 a b 2 4ab a b 2 所以 2a m 2 4n2 m2 2a m 2n 2a m 2n m2 5 分 因为 2a m 2n 与 2a m 2n 都是正整数 且 2a m 2n 2a m 2n m 为素数 所以 2a m 2nm 2 2a m 2n1 解得 a 2 1 4 m n 2 1 4 m 于是 a m b 2 1 4 m 10 分 又 a 2012 即 2012 2 1 4 m 又因为 m 是素数 解得 m 89 此时 a 2025 4 1 89 2 当时 2025a 89m 1936b 1980n 因此 a 的最小值为 2025 15 分 19 解 解 由于都是正整数 且 所以 122012 xxx 122012 xxx 1 2 2