陕西中考数学第24题综合分类复习

德智教育 陕西中考数学第陕西中考数学第 24 题综合分类复习题综合分类复习 一 二次函数与等腰三角形一 二次函数与等腰三角形 1 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时 针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点 的三角形是等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 二 二次函数与直角三角形二 二次函数与直角三角形 2012 广州 24 如图 抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意 一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积 时 求点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时 求直线 l 的解 析式 1 令 y 0 即 2 33 30 84 xx 解得 12 4 2xx A B 点的坐标为 A 4 0 B 2 0 2 1 9 2 ACB SAB OC A 在 Rt AOC 2222 435ACOAOC 设 ACD 中 AC 边上的高为 h 则有 1 9 2 AC h A 解得 18 5 h 如答图 1 在坐标平面内做直线平行于 AC 且到 AC 的距离 为 18 5 h 这样直线就有 2 条 分别是 l1 和 l2 则直线与对称轴 x 1 的两个交点即为所求的点 D 设 l1 交 y 轴于 E 过 C 作 CF l1 于 F 则 CF 18 5 h 18 9 5 4 sinsin2 5 CFCF CE CEFOCA 设直线 AC 的解析式为 y kx b 将 A 4 0 B 0 3 坐标代入 得 40 3 kb b 解得 3 4 3 k b 直线 AC 解析式为 3 3 4 yx 直线 l1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位而形成的 直线 l1 解析式为 3933 3 4242 yxx D1 在对称轴 x 1 上 将 x 1 代入解析式 解得 339 1 424 y 所以 D1 的坐标为 1 9 4 同理 直线 AC 向上平移 9 2个长度单位得到 l2 可求得 D2 1 27 4 综上 D 点坐标为 1 9 4 或 1 27 4 3 如答图 2 以 AB 为直径做 F 圆心为 F 过 E 点作 F 的切线 这样的切线有 2 条 连接 FM 过 M 作 MN x 轴于点 N A 4 0 B 2 0 F 1 0 F 半径 FM FB 3 又 FE 5 则在 Rt MEF 中 ME 4 在 Rt FMN 中 MN FM sin MFE 3 4 5 12 5 FN FM cos MFE 3 3 5 9 5 提示 对于 以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 条件的理解 这可以 从直线与圆的位置关系方面入手解决 本题难度较大 需要同学们对所学知识融会贯通 灵活运用 三 二次函数与面积问题三 二次函数与面积问题 2012 铜仁 25 如图 已知 直线 3 xy 交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 B 抛物线 y ax2 bx c 经过 A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线 3 xy 上有 一点 P 使 ABO 与 ADP 相似 求出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存 在点 E 使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积 如果 存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 解答 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过 A B C 三点 把 A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 2 yaxbxc 得方程组 0 3 039 cba c cba 解得 3 4 1 c b a 抛物线的解析式为 2 43yxx 2 由题意可得 ABO 为等腰三角形 如图所示 若 ABO AP1D 则 1 DP OB AD AO DP1 AD 4 P1 1 4 21 若 ABO ADP2 过点 P2 作 P2 M x 轴于 M AD 4 ABO 为等腰三角形 ADP2 是等腰三角形 由三线合一可得 DM AM 2 P2M 即点 M 与点 C 重合 P2 1 2 3 不存在 如图设点 E x y 则 1 2 2 ADE SAD yy A 当 P1 1 4 时 11 4 ACPACEAPCE SSSy 四边形 24yy 4y 点 E 在 x 轴下方 y 4 代入抛物线解析式中 得 2 434xx 4 2 4 7 12 0 此方程无解 当 P2 1 2 时 22 2 ACPACEAP CE SSSy 四边形 22yy 2y 点 E 在 x 轴下方 y 2 代入抛物线解析式中 得 2 432xx 即 054 2 xx 4 2 4 5 4 0 此方程无解 综上所述 在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E 2012 济宁 如图 抛物线 y ax2 bx 4 与 x 轴交于 A 4 0 B 2 0 两点 与 y 轴 交于点 C 点 P 是线段 AB 上一动点 端点除外 过点 P 作 PD AC 交 BC 于点 D 连接 CP 1 求该抛物线的解析式 2 当动点 P 运动到何处时 BP2 BD BC 3 当 PCD 的面积最大时 求点 P 的坐标 考点 二次函数综合题 转化思想 分析 1 该抛物线的解析式中有两个待定系数 只需将点 A B 的坐标代入解析式中求解即可 2 首先设出点 P 的坐标 由 PD AC 得到 BPD BAC 通过比例线段可表示出 BD 的长 BC 的长易得 根据题干给出的条件 BP2 BD BC 即可求出点 P 的坐标 3 由于 PD AC 根据相似三角形 BPD BAC 的面积比 可表示出 BPD 的面积 以 BP 为底 OC 为高 易表示出 BPC 的面积 BPC BPD 的面积差为 PDC 的面 积 通过所列二次函数的性质 即可确定点 P 的坐标 解答 1 由题意 得 16440 4240 ab ab 解得 1 2 1 a b 所以抛物线的解析式为 2 1 4 2 yxx 2 设点 P 运动到点 x 0 时 有 BP2 BD BC 点 C 的坐标为 0 4 PD AC BPD BAC BDBP BCBA 2222 242 5BCOBOC BA 6 BP x 2 5 2 3 BPBCx BD BA BP2 BD BC 2 5 2 2 2 5 3 x x 解得 12 4 2 3 xx 舍 点 P 的坐标是 4 3 0 3 BPD BAC 2 BPD BAC SBP SAB 2 22 21 2 64 623 BPDBAC BPxx SS AB A 2 2 1 2 1 2 4 1 3 233 PCDBPCBPD x SSSxx 当 x 1 PCD 的面积最大 最大值为 3 即点 P 的坐标为 1 0 时 PDC 的面积最大 点评 该题综合了相似三角形 图形面积的求法等知识 难度系数大 3 题中 将所求 三角形的面积进行适当的转化是解题的关键所在 四 二次函数与平行四边形四 二次函数与平行四边形 2012 娄底 24 已知二次函数 y x2 m2 2 x 2m 的图象与 x 轴交于点 A x1 0 和点 B x2 0 x1 x2 与 y 轴交于点 C 且满足 12 111 2xx 1 求这个二次函数的解析式 2 探究 在直线 y x 3 上是否存在一点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 如果有 求 出点 P 的坐标 如果没有 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 欲求抛物线的解析式 关键是求得 m 的值 根据题中所给关系式 利用一元 二次方程根与系数的关系 可以求得 m 的值 从而问题得到解决 注意 解答中求得两个 m 的值 需要进行检验 把不符合题意的 m 值舍去 2 利用平行四边形的性质构造全等三角形 根据全等关系求得 P 点的纵坐标 进而得 到 P 点的横坐标 从而求得 P 点坐标 解答 1 二次函数 y x2 m2 2 x 2m 的图象与 x 轴交于点 A x1 0 和点 B x2 0 x1 x2 令 y 0 即 x2 m2 2 x 2m 0 则有 x1 x2 m2 2 x1x2 2m 2 12 1212 1121 22 xxm xxx xm 化简得到 m2 m 2 0 解得 m1 2 m2 1 当 m 2 时 方程 为 x2 2x 4 0 其判别式 b2 4ac 12 0 此时抛物线与 x 轴没有交点 不符合题意 舍去 当 m 1 时 方程 为 x2 x 2 0 其判别式 b2 4ac 9 0 此时抛物线与 x 轴有两个不同的交点 符合题意 m 1 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 假设在直线 y x 3 上存在一点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 如图所示 连接 PA PB AC BC 过点 P 作 PD x 轴于 D 点 抛物线 y x2 x 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 A 2 0 B 1 0 C 0 2 OB 1 OC 2 PACB 为平行四边形 PA BC PA BC PAD CBO APD OCB 在 Rt PAD 与 Rt CBO 中 Rt PAD Rt CBO PD OC 2 即 yP 2 直线解析式为 y x 3 xP 1 P 1 2 所以在直线 y x 3 上存在一点 P 使四边形 PACB 为平 行四边形 P 点坐标为 1 2 点评 本题是代数几何综合题 考查了二次函数的图象与性质 抛物线与 x 轴的交点 一 元二次方程根的解法及根与系数关系 一次函数 平行四边形的性质以及全等三角形的判 定与性质等方面的知识 涉及的考点较多 有一定的难度 2 巧解 若四边形 PACB 为平行四边形 根据对角线互相平分的性质 可求 P 点坐标 具体如下 设 P 点坐标为 t t 3 分情况讨论 以 PA BC 为对角线的平行四边形 设对角线的交点为 O x y 则 O 即是线段 BC 的中点 也是线段 PA 的中点 B 1 0 C 0 2 由中点坐标公式得 101 22 x 02 1 2 y 所以 O 1 1 2 A 2 0 P t t 3 线段 AP 的中点 O 的坐标为 1 1 2 12 22 0 3 1 2 t t 无解 以 PC AB 为对角线的平行四边形 A 2 0 B 1 0 得对角线的交点为 O 1 2 0 C 0 2 P t t 3 同理得 10 22 2 3 0 2 t t 解得 t 1 P 1 2 以 PB AC 为对角线的平行四边形 A 2 0 C 0 2 得对角线的交点为 O 1 1 B 1 0 P t t 3 同理得 1 1 2 0 3 1 2 t t 无解 综上 在直线 y x 3 上存在一点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 P 点坐标为 1 2 五 二次函数与相似三角形 2012 福州 22 满分 14 分 如图 已知抛物线 y ax2 bx a 0 经过 A 3 0 B 4 4 两 点 1 求抛物线的解析式 2 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后 得到的直线与抛物线只有一个公共点 D 求 m 的值及点 D 的坐标 3 如图 若点 N 在抛物线上 且 NBO ABO 则在 2 的条件下 求出所有满 足 POD NOB 的点 P 的坐标 点 P O D 分别与点 N O B 对应 考点 二次函数综合题 分析 1 利用待定系数法求出二次函数解析式即可 2 根据已知条件可求出 OB 的解析式为 y x 则向下平移 m 个单位长度后的解析式为 y x m 由于抛物线与直线只有一个公共点 意味着联立解析式后得到的一元二次方程 其根的判别式等于 0 由此可求出 m 的值和 D 点坐标 3 综合利用几何变换和相似关系求解 方法一 翻折变换 将 NOB 沿 x 轴翻折 方法二 旋转变换 将 NOB 绕原点顺时针旋转 90 特别注意求出 P 点坐标之后 该点关于直线 y x 的对称点也满足题意 即满足题意的 P 点有两个 避免漏解 O B D x y 第 22 题图 A B D Ox y 第 22 题图 N 解答 1 抛物线 y ax2 bx a 0 经过点 A 3 0 B 4 4 解得 9a 3b 0 16a 4b 4 a 1 b 3 抛物线的解析式是 y x2 3x 2 设直线 OB 的解析式为 y k1x 由点 B 4 4 得 4 4k1 解得 k1 1 直线 OB 的解析式为 y x 直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为 y x m 点 D 在抛物线 y x2 3x 上 可设 D x x2 3x 又点 D 在直线 y x m 上 x2 3x x m 即 x2 4x m 0 抛物线与直线只有一个公共点 16 4m 0 解得 m 4 此时 x1 x2 2 y x2 3x 2 D 点坐标为 2 2 3 直线 OB 的解析式为 y x 且 A 3 0 点 A 关于直线 OB 的对称点 A 的坐标是 0 3 设直线 A B 的解析式为 y k2x 3 过点 B 4 4 4k2 3 4 解得 k2 直线 A B 的解析式是 y x 3 1 4 1 4 NBO ABO 点 N 在直线 A B 上 设点 N n n 3 又点 N 在抛物线 y x2 3x 上 n 3 n2 3n 1 4 1 4 解得 n1 n2 4 不合题意 会去 点 N 的坐标为 3 4 3 4 45 16