7．3多边形及其内角和

多边形及其内角和多边形及其内角和 教学目标 1 了解多边形及有关概念 理解正多边形及其有关概念 2 区别凸多边形与凹多边形 教学重点 难点 1 重点 1 了解多边形及其有关概念 理解正多边形及其有关概念 2 区别凸多边形和凹多边形 2 难点 多边形定义的准确理解 教学过程 一 新课讲授 投影 图形见课本 P79 图 7 3 一 l 你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗 上面三图中让同学边看 边议 在同学议论的基础上 老师给以总结 这些线段围成的图形有何特性 1 它们在同一平面内 2 它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的 这些图形中有三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 那么什么叫做多边形呢 提问 三角形的定义 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗 1 在平面内 由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形多边形 如果一个多边形由 n 条线段组成 那么这个多边形叫做 n 边形 一个多边形由几条线段组成 就叫 做几边形 2 多边形的边 顶点 内角和外角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角多边形的内角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的多边形的 外角外角 3 多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线多边形的对角线 让学生画出五边形的所有对角线 4 凸多边形与凹多边形 看投影 图形见课本 P80 7 3 6 在图 1 中 画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线 整个图形都在这条直线的同一侧 这样的 四边形叫做凸四边形 类似地 画出多边形的任何一条边所在直线 如果整个多边形都在这条直线的同一 侧 这样的多边形称为凸多边形凸多边形 而图 2 就不满足上述凸多边形的特征 因为我们画 BD 所在直线 整 个多边形不都在这条直线的同一侧 我们称它为凹多边形 今后我们在习题 练习中提到的多边形都是凸 多边形 5 正多边形 由正方形的特征出发 得出正多边形的概念 各个角都相等 各条边都相等的多边形叫做正多边形正多边形 二 课堂练习 课本 P81 练习 1 2 三 课堂小结 引导学生总结本节课的相关概念 多边形的内角和多边形的内角和 教学目标 1 使学生了解多边形的内角 外角等概念 2 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式 并会应用它们进行有关计算 教学重点 难点 1 重点 1 多边形的内角和公式 2 多边形的外角和公式 2 难点 多边形的内角和定理的推导 教学过程 一 探究 1 我们知道三角形的内角和为 180 2 我们还知道 正方形的四个角都等于 90 那么它的内角和为 360 同样长方形的内角和也是 360 3 正方形和长方形都是特殊的四边形 其内角和为 360 那么一般的四边形的内角和为多少呢 画一个任意的四边形 用量角器量出它的四个内角 计算它们的和 与同伴交流你的结果 从中你得 到什么结论 同学们进行量一量 算一算及交流 后老师加以归纳得到四边形的内角和为 360 的感性认识 是否成 为定理要进行推导 二 思考几个问题 1 从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线 它们将四边形分成几个三角形 那么四边形的内角 和等于多少度 2 从五边形一个顶点出发可以引几条对角线 它们将五边形分成几个三角形 那么这五边形的内角 和为多少度 3 从 n 边形的一个顶点出发 可以引几条对角线 它们将 n 边形分成几个三角形 n 边形的内角和 等于多少度 综上所述 你能得到多边形内角和公式吗 设多边形的边数为 n 则 n 边形的内角和等于 n 2 180 想一想 要得到多边形的内角和必需通过 三角形的内角和定理 来完成 就是把一个多边形分成几 个三角形 除利用对角线把多边形分成几个三角形外 还有其他的分法吗 你会用新的分法得到 n 边形的 内角和公式吗 由同学动手并推导在与同伴交流后 老师归纳 以五边形为例 分法一 在五边形 ABCDE 内任取一点 O 连结 OA OB OC OD OE 则得五个三角形 其五个三角形 内角和为 5 180 而 1 2 3 4 5 不是五边形的内角应减去 五边形的内角和为 5 180 2 180 5 2 180 540 如果五边形变成 n 边形 用同样方法也可以得到 n 个三角形的内角和减去一个周角 即可得 n 边形 内角和 n l80 2 180 n 2 180 分法二 在边 AB 上取一点 O 连 OE OD OC 则可以 5 1 个三角形 而 1 2 3 4 不是 五边形的内角 应舍去 五边形的内角和为 5 1 180 180 5 2 180 用同样的办法 也可以把 n 边形分成 n 1 个三角形 把不是 n 边形内角的 AOB 舍去 即可得 n 边 形的内角和为 n 2 180 三 例题 例 1 如果一个四边形的一组对角互补 那么另一组对角有什么关系 已知 四边形 ABCD 的 A C 180 求 B 与 D 的关系 分析 本题要求 B 与 D 的关系 由于已知 A C 180 所以可以从四边形的内角和入手 就 可得到完满的答案 解 如图 四边形 ABCD 中 A C 180 A B C D 4 2 360 180 B D 360 A C 180 这就是说 如果四边形一组对角互补 那么另一组对角也互补 例 2 如图 在六边形的每个顶点处各取一个外角 这些外角的和叫做六边形的外角和 六边形的外 角和等于多少 已知 1 2 3 4 5 6 分别为六边形 ABCDEF 的外角 求 1 2 3 4 5 6 的值 分析 关于外角问题我们马上就会联想到平角 这样我们就得到六边形的 6 个外角加上它相邻的内角 的总和为 6 180 由于六边形的内角和为 6 2 180 720 这样就可求得 1 2 3 4 5 6 360 解 六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为 180 六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为 6 180 由于六边形的内角和为 6 2 180 720 它的外角和为 6 180 720 360 如果把六边形推广成 n 边形 n 为不小于 3 的正整数 同样也可以得到其外角和等于 360 即多边形的外角和等于多边形的外角和等于 360 360 所以我们说多边形的外角和与它的边数无关 对此 我们也可以象以下这种 理解为什么多边形的外角和等于 360 如下图 从多边形的一个顶点 A 出发 沿多边形各边走过各顶点 再回到 A 点 然后转向出发时的方 向 在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和 由于走了一周 所得的各个角的和等于一个周角 所以多边形的外角和等于 360 另外 通过探讨多边形外角和与内角和之间的关系也可以说明多边形外角和为 360 1 各内角与相邻外角互补 2 外角和 n 个平角 内角和 n 180 n 2 180 360 四 课堂小结 引导学生总结本节课主要内容 备选题 1 一个多边形少一个内角的度数和为 2300 1 求它的边数 2 求少的那个内角的度数 2 一个八边形每一个顶点可以引几条对角线 它共有多少条对角线 n 边形呢 3 已知多边形的内角和为其外角和的 5 倍 求这个多边形的边数 4 若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的 求这个多边形的边数 5 多边形的一个内角的外角与其余内角的和为 600 求这个多边形的边数 6 n 边形的内角和与