2009年全国初中数学竞赛试题参考答

1 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报数学周报 杯杯 2009 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一一二二三三 题题 号号 1 56 101112 1314 总总 分分 得得 分分 评卷人评卷人 复查人复查人 答题时注意 1 用圆珠笔或钢笔作答 2 解答书写时不要超过装订线 3 草稿纸不上交 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分分 以下每道小题均给出了代以下每道小题均给出了代 号为号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选请将正确选 项的代号填入题后的括号里项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 已知非零实数 a b 满足 则 2 242 3 42ababa 等于 ab A 1 B 0 C 1 D 2 2 如图 菱形 ABCD 的边长为 a 点 O 是对角线 AC 上的一点 且 OA a OB OC OD 1 则 a 等于 A B C 1 D 2 51 2 51 2 3 将一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子 先 后投掷两次 记第一次掷出的点数为 第二次掷出的点数为 则使关于ab x y 的方程组 只有正数解的概率为 3 22 axby xy A B C D 12 1 9 2 18 5 36 13 4 如图 1 所示 在直角梯形 ABCD 中 AB DC 动点 P 从90B 点 第 2 题 2 B 出发 沿梯形的边由 B C D A 运动 设点 P 运动的路程为 x ABP 的 面积为 y 把 y 看作 x 的函数 函数的图像如图 2 所示 则 ABC 的面积为 A 10 B 16 C 18 D 32 5 关于 x y 的方程的整数解 x y 的组数为 22 229xxyy A 2 组 B 3 组 C 4 组 D 无穷多组 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分 分 6 一个自行车轮胎 若把它安装在前轮 则自行车行驶 5000 km 后报废 若把它安装在后轮 则自行车行驶 3000 km 后报废 行驶一定路程后可以交换 前 后轮胎 如果交换前 后轮胎 要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废 那么这辆车将能行驶 km 7 已知线段 AB 的中点为 C 以点 A 为圆心 AB 的长为半径作圆 在线 段 AB 的延长线上取点 D 使得 BD AC 再以点 D 为圆心 DA 的长为半径作 圆 与 A 分别相交于 F G 两点 连接 FG 交 AB 于点 H 则的值为 AH AB 8 已知是满足条件的五个不同的 12345 aaaaa 12345 9aaaaa 整数 若是关于 x 的方程的整数b 12345 2009xaxaxaxaxa 根 则的值为 b 9 如图 在 ABC 中 CD 是高 CE 为的ACB 平分线 若 AC 15 BC 20 CD 12 则 CE 的长 等于 第 4 题 图 1 图 2 第 9 题 3 10 10 个人围成一个圆圈做游戏 游戏的规则是 每个人心里都想好一个数 并把自己想好的数如实地 告诉他两旁的两个人 然后每个人将他两旁的两个人 告诉他的数的平均数报出来 若报出来的数如图所示 则报 3 的人心里想的数是 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 20 分 共分 共 80 分 分 11 A 函数的图像与轴的两个交点是否都在直线 22 21 yxkxk x 的右侧 若是 请说明理由 若不一定是 请求出两个交点都在直线1x 的右侧时 k 的取值范围 1x 11 B 已知抛物线与动直线有公共点 2 yx cxty 12 11 yx 22 yx 且 32 22 2 2 1 ttxx 1 求实数 t 的取值范围 2 当 t 为何值时 c 取到最小值 并求出 c 的最小值 第 10 题 4 12 A 在平面直角坐标系中 我们把横坐标为整数 纵坐标为完全xOy 平方数的点称为 好点 求二次函数的图像上所有 好点 2 90 4907yx 的坐标 12 B 已知正整数满足 且 求满足条件的所有a 3 192191a 2009a 可能的正整数的和 a 5 13 A 如图 给定锐角三角形 ABC AD BE 是它的两条高 BCCA 过点作 ABC 的外接圆的切线 过点 D E 分别作 的垂线 垂足分别为Cll F G 试比较线段 DF 和 EG 的大小 并证明你的结 论 13 B 已知为 的直径 弦 连接 过点作的ABO DCABDODDO 垂线 与的延长线交于点 过点作的平行线交于点 过点BAEEACCDF 作的平行线交于点 求证 DACBFG AGBG 第 13A 题 第 13B 题 6 14 A n 个正整数满足如下条件 12n aaa 12 12009 n aaa 且中任意 n 1 个不同数的算术平均数都是正整数 求 n 的最大 12n aaa 值 14 B 已知正整数 x y 使得是一个奇数 证明 存在一个正整数 4xy xy k 使得 4k 1 整除 4xy xy 7 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报数学周报 杯杯 2009 年全国初中数学竞赛试题参考答年全国初中数学竞赛试题参考答 案案 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分分 以下每道小题均给出了代以下每道小题均给出了代 号为号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选请将正确选 项的代号填入题后的括号里项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填都得不填 多填或错填都得 0 分 分 1 已知非零实数 a b 满足 则 2 242 3 42ababa 等于 ab A 1 B 0 C 1 D 2 答 C 解 解 由题设知 a 3 所以 题设的等式为 于是 2 2 3 0bab 从而 1 32ab ab 2 如图 菱形 ABCD 的边长为 a 点 O 是对角线 AC 上的一点 且 OA a OB OC OD 1 则 a 等于 A B C 1 D 2 51 2 51 2 答 A 解 解 因为 BOC ABC 所以 即 BOBC ABAC 第 2 题 8 1 1 a aa 所以 2 10aa 由 解得 0a 15 2 a 3 将一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子 先 后投掷两次 记第一次掷出的点数为 第二次掷出的点数为 则使关于ab x y 的方程组 只有正数解的概率为 3 22 axby xy A B C D 12 1 9 2 18 5 36 13 答 D 解 解 当时 方程组无解 20ab 当时 方程组的解为02 ba 62 2 23 2 b x ab a y ab 由已知 得即或 0 2 32 0 2 26 ba a ba b 3 2 3 02 b a ba 3 2 3 02 b a ba 由 的实际意义为 1 2 3 4 5 6 可得ab 共有 5 2 10 种情况 或共 3 种情况 2 3 4 5 6 12 a b 1 4 5 6 a b 又掷两次骰子出现的基本事件共 6 6 36 种情况 故所求的概率为 36 13 4 如图 1 所示 在直角梯形 ABCD 中 AB DC 动点 P 从90B 点 B 出发 沿梯形的边由 B C D A 运动 设点 P 运动的路程为 x ABP 的 面积为 y 把 y 看作 x 的函数 函数的图像如图 2 所示 则 ABC 的面积为 9 A 10 B 16 C 18 D 32 答 B 解 解 根据图像可得 BC 4 CD 5 DA 5 进而求得 AB 8 故 S ABC 8 4 16 1 2 5 关于 x y 的方程的整数解 x y 的组数为 22 229xxyy A 2 组 B 3 组 C 4 组 D 无穷多组 答 C 解 解 可将原方程视为关于的二次方程 将其变形为x 22 229 0 xyxy 由于该方程有整数根 则判别式 且是完全平方数 0 由 222 4 229 7116yyy 0 解得 于是 2 y 116 16 57 7 2 y014916 11610988534 显然 只有时 是完全平方数 符合要求 2 16y 4 当时 原方程为 此时 4y 2 430 xx 12 1 3xx 当 y 4 时 原方程为 此时 2 430 xx 34 1 3xx 所以 原方程的整数解为 1 1 1 4 x y 2 2 3 4 x y 3 3 1 4 x y 4 4 3 4 x y 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分 分 第 4 题 图 1 图 2 10 6 一个自行车轮胎 若把它安装在前轮 则自行车行驶 5000 km 后报废 若把它安装在后轮 则自行车行驶 3000 km 后报废 行驶一定路程后可以交换 前 后轮胎 如果交换前 后轮胎 要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废 那么这辆车将能行驶 km 答 3750 解 解 设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k 则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 磨损量为 安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 又设一对新轮 5000 k 3000 k 胎交换位置前走了 x km 交换位置后走了 y km 分别以一个轮胎的总磨损量为 等量关系列方程 有 50003000 50003000 kxky k kykx k 两式相加 得 2 50003000 k xyk xy k 则 2 3750 11 50003000 xy 7 已知线段 AB 的中点为 C 以点 A 为圆心 AB 的长为半径作圆 在线 段 AB 的延长线上取点 D 使得 BD AC 再以点 D 为圆心 DA 的长为半径作 圆 与 A 分别相交于 F G 两点 连接 FG 交 AB 于点 H 则的值为 AH AB 解 解 如图 延长 AD 与 D 交于点 E 连接 AF EF 由题设知 在 FHA 和 EFA 中 1 3 ACAD 1 3 ABAE 90EFAFHA FAHEAF 所以 Rt FHA Rt EFA AHAF AFAE 11 而 所以 AFAB AH AB 1 3 8 已知是满足条件的五个不同的 12345 aaaaa 12345 9aaaaa 整数 若是关于 x 的方程的整数b 12345 2009xaxaxaxaxa 根 则的值为 b 答 10 解 解 因为 且 12345 2009bababababa 是五个不同的整数 所有也 12345 aaaaa 12345 bababababa 是五个不同的整数 又因为 所以 2009117741 12345 41bababababa 由 可得 12345 9aaaaa 10b 9 如图 在 ABC 中 CD 是高 CE 为的平分线 若ACB AC 15 BC 20 CD 12 则 CE 的长等于 答 60 2 7 解 解 如图 由勾股定理知 AD 9 BD 16 所以 AB AD BD 25 故由勾股定理逆定理知 ACB 为直角三角形 且 90ACB 作 EF BC 垂足为 F 设 EF x 由 得 1 45 2 ECFACB CF x 于是 BF 20 x 由于 EF AC 所以 EFBF ACBC 即 20 1520 xx 解得 所以 60 7 x 60 2 2 7 CEx 10 10 个人围成一个圆圈做游戏 游戏的规则是 每个人心里都想好一个数 并把自己想好的数如实地 第 9 题 第 10 题 第 7 题 12 告诉他两旁的两个人 然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出 来 若报出来的数如图所示 则报 3 的人心里想的数是 答 2 解 解 设报 3 的人心里想的数是 则报 5 的人心里想的数应是 x8x 于是报 7 的人心里想的数是 报 9 的人心里想的数是 12 8 4xx 报 1 的人心里想的数是 报 3 的人心里16 4 12xx 20 12 8xx 想的数是 所以4 8 4xx 4xx 解得 2x 三 解答题 共三 解答题 共 4 题 每题题 每题 20 分 共分 共 80 分 分 11 A 函数的图像与轴的两个交点是否都在直线 22 21 yxkxk x 的右侧 若是 请说明理由 若不一定是 请求出两个交点都在直线1x 的右侧时 k 的取值范围 1x 解 解 不一定 例如 当 k 0 时 函数的图像与 x 轴的交点为 0 0 和 1 0 不都在直线的右侧 51x 分 设函数与 x 轴的两交点的横坐标为 则 12 xx 2 1212 21 xxkx xk 当 且仅当满足如下条件 10 分 12 12 0 1 1 0 1 1 0 xx xx 时 抛物线与轴的两交点都在直线的右侧 x1x 由 22 2 21 40 210 20 kk k kk 解之 得 1 4 1 2 20 k k kk 或 15 分 13 所以当时 抛物线与轴的两交点在直线的右侧 2k x1x 20 分 11 B 已知抛物线与动直线有公共点 2 yx cxty 12 11 yx 22 yx 且 32 22 2 2 1 ttxx 1 求实数 t 的取值范围 2 当 t 为何值时 c 取到最小值 并求出 c 的最小值 解 解 1 联立与 消去 y 得二次方程 2 yx cxty 12 2 21 0 xtxc 有实数根 则 所以 1 x 2 x 1212 21 xxtx xc 222 121212 1 2 cx xxxxx 22 1 21 23 2 ttt 2 1 364 2 tt 5 分 把 式代入方程 得 22 1 21 364 0 2 xtxtt 10 分 t 的取值应满足 0 222 12 23ttxx 且使方程 有实数根 即 0 22 21 2 364 ttt 2 287tt 解不等式 得 3 或 1 解不等式 得 tt 2 2 2 t 2 2 2 所以 t 的取值范围为 2 2 2 t 2 2 2 14 15 分 2 由 式知 22 131 364 1 222 cttt 由于在 时是递增的 所以 当 2 31 1 22 ct 2 2 2 t 2 2 2 2 2 2 t 时 20 分 2 min 32111 6 2 21 2224 c 12 A 在平面直角坐标系中 我们把横坐标为整数 纵坐标为完全xOy 平方数的点称为 好点 求二次函数的图像上所有 好点 2 90 4907yx 的坐标 解 解 设 m k 都是非负整数 则 2 ym 22 90 xk 22 7 7011 4907km 即 10 分 7 7011 4907km km 则有 701 4907 7 1 kmkm kmkm 解得 12 12 354 2454 347 2453 kk mm 所以 3124 1234 2544 444 264 2364 120409 120409 6017209 6017209 xxxx yyyy 故 好点 共有 4 个 它们的坐标是 444 120409264 1204092544 60172092364 6017209 20 分 12 B 已知正整数满足 且 求满足条件的所有a 3 192191a 2009a 可能的正整数的和 a 解 解 由可得 且 3 192191a 3 1921a 6 1923 2 15 3 11 1 1 1 1 1 aaa aaa aa 5 分 因为是奇数 所以等价于 又因为 11a a 63 21a 6 21a 所以等价于 因此有 于是可得3 1 1 aa a 3 31a 31a 1921a 1921ak 15 分 又 所以 因此 满足条件的所有可能的正整数02009a 0110k 的和为a 11 192 1 2 10 10571 20 分 13 A 如图 给定锐角三角形 ABC AD BE 是它的两条高 BCCA 过点作 ABC 的外接圆的切线 过点 D E 分别作 的垂线 垂足分别为Cll F G 试比较线段 DF 和 EG 的大小 并证明你的结论 解法解法 1 结论是 下面给出证明 5 分DFEG 因为 所以 Rt FCD Rt EAB 于是可得FCDEAB CD DFBE AB 同理可得 CE EGAD AB 10 分 又因为 所以有 于是可得tan ADBE ACB CDCE BE CDAD CE 20DFEG 分 解法解法 2 结论是 下面给出证明 DFEG 5 分 连接 DE 因为 所以90ADBAEB A B D E 四点共圆 故 10 分CEDABC 又 l 是 O 的过点 C 的切线 所以 15 分ACGABC 第 13A 题 第 13A 题 16 所以 于是 DE FG 故 DF EG CEDACG 20 分 13 B 已知为 的直径 弦 连接 过点作的ABO DCABDODDO 垂线 与的延长线交于点 过点作的平行线交于点 过点BAEEACCDF 作的平行线交于点 求证 DACBFGAGBG 证明证明 连接 AD BC 因为四边形是平行四边形 AEFC 所以 AEFC 由于 因此有ADCBDAEBCF 于是可得DAE BCF 10 分ADECBF 又因为与 相切于点 所以 结合 可DEODDCAADE DGAC 得 GDCDCAADEGBC 于是四点共圆 因此点在 上 从而有 DBCG GOAGBG 20 分 14 A n 个正整数满足如下条件 12n aaa 12 12009 n aaa 且中任意 n 1 个不同的数的算术平均数都是正整数 求 n 的最大 12n aaa 值 解 解 设中去掉后剩下的 n 1